近年高考新課標(biāo)Ⅰ卷三角函數(shù)試題分析及教學(xué)啟示

1.研究緣起

2021-2024年高考新課標(biāo)Ⅰ卷三角函數(shù)試題引起了廣泛關(guān)注，這不僅是因?yàn)樗鼈冊(cè)诟呖紨?shù)學(xué)卷中的穩(wěn)定出現(xiàn)，更重要的是這些試題在命題思路、知識(shí)點(diǎn)考察深度及廣度等方面都展現(xiàn)出顯著的特點(diǎn).三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其試題設(shè)計(jì)在難度、考察重點(diǎn)及與其他知識(shí)點(diǎn)的交叉方面不斷變化，反映了教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)的調(diào)整.對(duì)這些試題的系統(tǒng)分析可以幫助教師更好地理解高考命題趨勢(shì)，從而調(diào)整教學(xué)策略，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)高考的能力.

2.考查占比與趨勢(shì)

分析三角函數(shù)試題首先要明確考查占比與趨勢(shì)，因?yàn)檫@能幫助我們準(zhǔn)確把握該知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)試卷中的地位和重要性.了解三角函數(shù)在高考試卷中的考查頻率和比重，有助于制定更有效的教學(xué)和復(fù)習(xí)策略，推動(dòng)學(xué)生更好的掌握重點(diǎn)以及突破高頻考點(diǎn).2021-2024年高考新課標(biāo)Ⅰ卷三角函數(shù)試題的統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1.

表1

真題卷題號(hào)考點(diǎn)考向

2024新課標(biāo)Ⅰ卷

4三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化運(yùn)用

15三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求三角函數(shù)的解析式、求函數(shù)值

2023新課標(biāo)Ⅰ卷

8三角恒等變換給值求值

15三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用余弦型函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

2022新高考Ⅰ卷6三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求三角函數(shù)的解析式、求函數(shù)值

2021新高考Ⅰ卷4三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3.考查重點(diǎn)

在2021-2024年高考新課標(biāo)Ⅰ卷中，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.每年的試題中都會(huì)涉及到三角函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、對(duì)稱性等.這類(lèi)題目要求學(xué)生不僅能夠準(zhǔn)確記憶和理解三角函數(shù)的基本性質(zhì)，還能將其應(yīng)用到具體問(wèn)題的解答中，如求解三角方程以及不等式等.結(jié)合題型來(lái)看，相較于2021年和2022年試題，2023新課標(biāo)Ⅰ卷和2024新課標(biāo)Ⅰ卷在選擇題和問(wèn)答題中均考查了三角函數(shù)，這反映了三角函數(shù)知識(shí)考查的穩(wěn)定性和重要性

4.考查特點(diǎn)例析

例1" （2023新課標(biāo)Ⅰ卷第15題）已知函數(shù)f（x）=cosωx-1（wgt;0）在區(qū)間［0，2π］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是""" ．

析解" 本題考查了余弦型函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，令f（x）=0，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解．令f（x）=cosωx-1=0，得cosωx=1，又x∈［0，2π］，則ωx∈［0，2ωπ］，所以4π≤2ωπ＜6π，得2≤ω＜3故答案為［0，3）

例2" （2024新課標(biāo)Ⅰ卷第15題）記△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.（1）求B；（2）若的面積為3+3，求c．

析解" （1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC，sinC，最后結(jié)合已知sinC=2cosB得cosB的值即可；（2）首先求出A，B，C，然后由正弦定理可將a，b均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.具體解答過(guò)程為：（1）由余弦定理有a2+b2－c2=2abcosC，對(duì)比已知a2+b2－c2=2ab，可得cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22因?yàn)镃∈0，π，所以sinCgt;0，從而sinC=1－cos2C=1－222=22，又因?yàn)閟inC=2cosB，即cosB=12，注意到B∈0，π，所以B=π3.

（2）由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈0，π，從而C=π4，A=π－π3－π4=5π12，而sinA=sin5π12=sinπ4+π6=22×32+22×12=6+24，由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，從而a=6+24·2c=3+12c，b=32·2c=62c，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為3+3，可得3+38c2=3+3，所以c=22.

評(píng)注" 在2021-2024年的高考新課標(biāo)Ⅰ卷中，三角函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)重要的考查內(nèi)容.試題要求學(xué)生深入理解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性等基本性質(zhì)，并能夠應(yīng)用這些性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.例如，利用周期性簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算，或運(yùn)用對(duì)稱性判斷函數(shù)圖像的特征.這種考查方式不僅檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)基本概念的掌握情況，還考查他們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用這些性質(zhì)的能力.②函數(shù)變換與解析技巧的運(yùn)用：三角函數(shù)的函數(shù)變換在高考試題中占據(jù)重要位置，選取的例題考查了三角函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化運(yùn)用，可以看到這類(lèi)題目要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用平移、伸縮、反轉(zhuǎn)等函數(shù)變換，分析并利用這些變換解決復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題.此外，還涉及到圖像的繪制與分析，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解變換對(duì)圖像特征的影響.

例3" （2023新課標(biāo)Ⅰ卷第8題）已知sinα－β=13，cosαsinβ=16，則cos2α+2β=（"" ）．

A. 79" B. 19" C.－19" D.－79

析解" 三角函數(shù)求值的類(lèi)型及方法：“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系；“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．

因?yàn)閟in（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ=13，而cosαsinβ=16，因此sinαcosβ=12，則sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=23，所以cos（2α+2β）=cos2（α+β）=1－2sin2（α+β）=1－2×（23）2=19.故選B.

例4 "（2022新課標(biāo)Ⅰ卷第6題）記函數(shù)f（x）=sin（ωx+π4+b）（ω＞0）的最小正周期為T(mén).若2π3＜T＜π，且y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（3π2，2）中心對(duì)稱，則f（π2）=（" ）.

A.1""" B.32""" C.52""" D.3

析解" 根據(jù)周期范圍，確定ω范圍，再根據(jù)對(duì)稱中心確定ω=23（k-14），k∈Z，二者結(jié)合可得結(jié)果．由題可知T=2πω∈（2π3，π），所以ω∈（2，3）．又因?yàn)閥=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（3π2，2）中心對(duì)稱，所以b=2，且f（3π3）=sin（ω×2π2+π4）+b=2．所以ω=23（k-14），k∈Z，所以ω=52.所以f（x）=sin（52x+π4）+2.所以f（π2=1）．

評(píng)注" 高考新課標(biāo)Ⅰ卷的三角函數(shù)試題還注重知識(shí)融合運(yùn)算能力的應(yīng)用拓展.這包括將三角函數(shù)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域（如向量、解析幾何等）進(jìn)行融合應(yīng)用，解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題.試題通常要求學(xué)生能夠跨學(xué)科地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

5.教學(xué)啟示

5.1.立足教材，夯實(shí)知識(shí)與能力之基

針對(duì)高考新課標(biāo)Ⅰ卷中的三角函數(shù)試題，教師可以從以下兩個(gè)方面著手，以夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)和能力基礎(chǔ)：①深入理解教材要點(diǎn)和考試重點(diǎn)：理解教材中關(guān)于三角函數(shù)的基本概念、性質(zhì)、公式及其推導(dǎo)，例如正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、周期性、奇偶性等特性.確保學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是扎實(shí)的；分析歷年高考試卷，特別是近幾年的新課標(biāo)Ⅰ卷，了解三角函數(shù)試題的出題規(guī)律和重點(diǎn).重點(diǎn)關(guān)注各類(lèi)題型如基本計(jì)算、綜合應(yīng)用、證明題等，確保學(xué)生能夠熟練應(yīng)對(duì)各種形式的考題.②強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)和能力訓(xùn)練：利用系統(tǒng)化的教學(xué)方法，逐步深入講解三角函數(shù)的各個(gè)方面.通過(guò)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)和示例問(wèn)題，幫助學(xué)生建立扎實(shí)的基礎(chǔ)；設(shè)計(jì)多樣化的練習(xí)和應(yīng)用題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問(wèn)題和推理能力.這些練習(xí)不僅要涵蓋基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，還要考驗(yàn)學(xué)生在復(fù)雜情境下的應(yīng)變能力.

5.2.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法和多元知識(shí)的融合

教師要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用，例如正弦和余弦函數(shù)與直角三角形的關(guān)系，以及正弦定理、余弦定理在三角形和多邊形內(nèi)外角的應(yīng)用等.通過(guò)幾何圖形的展示和分析，幫助學(xué)生直觀理解三角函數(shù)的定義和性質(zhì).此外，使用圖形化方法，如函數(shù)圖像、極坐標(biāo)圖等，讓學(xué)生探索三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和變換規(guī)律.通過(guò)對(duì)圖形的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的基本特征，并理解這些特征如何與數(shù)學(xué)概念相互關(guān)聯(lián).

參考文獻(xiàn)

［1］羅瑤，張映輝，王素素.近五年高考全國(guó)卷三角試題分析與備考建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023，（07）：43-46.