挖掘問題內(nèi)涵，巧妙思維應(yīng)用

1. 引言

含參不等式恒成立問題融入含參場景下的函數(shù)、方程或不等式等基本要素及其之間的綜合與應(yīng)用，一直是高考命題中的重點與熱點．此類問題形式多樣，創(chuàng)新新穎，內(nèi)涵豐富多彩，知識綜合性強(qiáng)，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好場景，具有較好的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注．

2. 真題呈現(xiàn)

（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·8） 設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（" ）.

A．18""" B．14""" C．12""" D．1

此題以含雙變元的函數(shù)解析式為問題場景，結(jié)合不等式恒成立來創(chuàng)設(shè)條件，進(jìn)而確定雙變元的平方和a2+b2的最值問題．題目涉及雙變元的函數(shù)解析式，直接切入有點困難．該問題中，對應(yīng)兩個函數(shù)有兩個零點，乘積恒大于等于0，一定會有零點相同，接下來就是二次函數(shù)的最值應(yīng)用問題，全面考查轉(zhuǎn)化與化歸思維，以及邏輯推理能力．

基于問題應(yīng)用場景，比較常見的思維方式就是對函數(shù)進(jìn)行直接求導(dǎo)，然后陷入到一個分析雙變元的“怪圈”中去；或者將問題中的雙變元的平方和a2+b2，回歸代數(shù)式的幾何意義，看作對應(yīng)距離的平方，然后陷入到變換主元的陷阱中去．而回歸函數(shù)解析式以及不等式恒成立的題設(shè)條件，或通過分類討論思維來“分拆”相應(yīng)的解析式來討論與應(yīng)用，或通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維來“求導(dǎo)”確定函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，或通過函數(shù)圖象的平移變換思維來“變換”確定簡捷函數(shù)問題下的不等式恒成立問題等，這些基本思維方式都給問題的分析與求解創(chuàng)造一點突破的條件，使得問題得以巧妙轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)問題的解決．

3．真題破解

3．1" 分類討論思維

解法1" 由于不等式f（x）≥0恒成立，則對函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b）而言，

當(dāng)x+a≥0時，可知x≥－a，此時必須滿足ln（x+b）≥0，即x≥1－b；

而當(dāng)x+a≤0時，可知x≤－a，此時必須滿足ln（x+b）≤0，即x≤1－b.

綜上分析，要使不等式f（x）≥0恒成立，即兩者始終同號，則必須滿足－a=1－b，即b－a=1．所以a2+b2=12［（a－b）2+（a+b）2］≥12（a－b）2=12，當(dāng)且僅當(dāng)（a+b）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為12，故選C．

解法2" 同方法1解得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，當(dāng)且僅當(dāng)（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為，故選C．

點評" 根據(jù)函數(shù)解析式的乘積結(jié)構(gòu)特征，合理分類討論，探究不同條件下自變量的取值情況，進(jìn)而結(jié)合不等式恒成立加以統(tǒng)一思維處理，構(gòu)建雙變元之間的關(guān)系式，為問題的進(jìn)一步求解與應(yīng)用創(chuàng)造條件．而在雙變元所滿足的關(guān)系式條件下，或通過代數(shù)式的變形，或利用消元法的處理，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)加以分析與求解．

3．2" 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維

解法3" 函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b）的定義域是{x|xgt;－b}．

考慮到f（－a）=0，以及不等式f（x）≥0恒成立，所以x=－a是函數(shù)f（x）的最小值點，則有－agt;－b，即a＜b．而由f（x）=（x+a）ln（x+b），求導(dǎo)得f′（x）=ln（x+b）+x+ax+b，則有f′（－a）=ln（－a+b）=0，可得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2（a+12）2+12≥12，當(dāng)且僅當(dāng)（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．

所以a2+b2的最小值為12，故選C．

點評" 根據(jù)函數(shù)的定義域以及對應(yīng)的函數(shù)零點，結(jié)合不等式恒成立的條件加以分析，確定函數(shù)的最小值點，這為進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)解決問題創(chuàng)造條件．而利用函數(shù)在最值點處導(dǎo)函數(shù)值為0，給問題的進(jìn)一步求解與應(yīng)用創(chuàng)造條件，這也是導(dǎo)數(shù)法的一大重要作用，要加以熟練理解與掌握，必要時還要判斷最值點處是否存在．

3．3" 平移變換思維

解法4" 由f（x）≥0恒成立，結(jié)合平移變換可知f（x－b）=（x+a－b）lnx≥0恒成立，整理得xlnx≥（b－a）lnx恒成立．

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，h（x）=（b－a）lnx，而g（1）=h（1）=0，即滿足有公切點（1，0）的兩個函數(shù)所對應(yīng)的不等式g（x）≥h（x）恒成立問題，此時應(yīng)該滿足在公切點（1，0）處的切線相同．則g′（1）=h′（1），g（1）=h（1），即g′（1）=h′（1）．

而g′（x）=lnx+1，h′（x）=b-ax，則有l(wèi)n1+1=b-ax，即b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，當(dāng)且僅當(dāng)（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為12，故選C．

點評" 依托不等式恒成立的條件加以合理的平移變換，優(yōu)化函數(shù)解析式，使得雙變元問題轉(zhuǎn)化為以一個整體（b－a）為變元的單變元問題，實現(xiàn)問題的優(yōu)化處理．而考慮單變元不等式的恒成立問題，只要考查不等式兩端所對應(yīng)的函數(shù)解析式，利用這兩曲線有公切點時，其對應(yīng)的公切線是同一條，這樣才能保證不等式恒成立，合理構(gòu)建方程（組），給問題的突破創(chuàng)造條件．

4．變式拓展

根據(jù)解析可知確定代數(shù)式b－a的值是解決問題中最為關(guān)鍵的一環(huán)，從而有如下一個變式問題．

變式1" 設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則b－a=．答案：1

該變式問題更加簡單，可采用原高考真題中的對應(yīng)解析方法來處理，還可通過特殊值法進(jìn)行“小題小做”，巧妙確定代數(shù)式的值．

5．教學(xué)啟示

涉及多變元（雙變元、三變元及以上）不等式恒成立問題，往往問題比較繁雜，以函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等形式出現(xiàn)，而借助恒成立不等式的等價變形與轉(zhuǎn)化，給問題的切入與應(yīng)用提供條件．在具體解題過程中，合理進(jìn)行消元或整體處理，或合理進(jìn)行構(gòu)建函數(shù)處理，或合理進(jìn)行參數(shù)取值的分類討論處理等，都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路．而結(jié)合具體問題的應(yīng)用場景，合理挖掘問題內(nèi)涵與實質(zhì)，采取行之有效的其他思維方法來應(yīng)用，有時也是非常不錯的選擇．

而涉及多變元（雙變元、三變元及以上）的綜合問題，成為近年高考數(shù)學(xué)試卷中的熱門與難點問題之一，形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數(shù)學(xué)基本知識點比較多，對數(shù)學(xué)思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區(qū)分度．同時，借助此類綜合問題的考查與應(yīng)用，可以很好考查學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性與開拓性，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．