一題多變：典型教材習(xí)題的探究與拓展

一題多變的變式教學(xué)和訓(xùn)練有助于學(xué)生掌握知識和提升能力.以“一核、四層、四翼”高考評價(jià)體系為指引，一題多變教學(xué)策略主要體現(xiàn)在“四層、四翼”的教學(xué)評價(jià)體系中.在這種評價(jià)體系中，“一題多變”的教學(xué)策略可以作為一種教學(xué)方法，有助于幫助學(xué)生理解問題、掌握知識、提高思維能力和創(chuàng)新能力.同時(shí)，“一題多變”也符合“四翼”中關(guān)于教學(xué)評價(jià)的思路，即多元化評價(jià)，包括過程性評價(jià)、表現(xiàn)性評價(jià)等多種評價(jià)方式.通過一題多變的變式教學(xué)和訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生從不同角度理解問題，從而更好地掌握知識，提高發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.

一題多變的變式教學(xué)和訓(xùn)練較好地適用于解析幾何中定點(diǎn)問題、角度或斜率問題、面積或面積最值問題的思考.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生面對的主要問題之一就是如何在數(shù)學(xué)中提升自己的思維能力與問題解決能力.圓錐曲線部分可以較好地考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)對直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等關(guān)鍵學(xué)科核心素養(yǎng)的考核，是高考的重要考點(diǎn)，在高考中所占比重非常大.筆者通過搜索和查找2014年到2023年高考全國新課標(biāo)I卷、新課標(biāo)II卷、新課標(biāo)Ⅲ卷、甲卷文理科和乙卷文理科解析幾何解答題的考題和考點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解析幾何中定點(diǎn)問題、角度或斜率問題、面積或面積最值問題是高頻考點(diǎn)，三類重要考點(diǎn)幾乎覆蓋所有年份，分別統(tǒng)計(jì)如下：

（1）.定點(diǎn)問題：2023年新課標(biāo)Ⅱ卷理科21、2023年全國乙卷理科20文科21、2022年全國乙卷理科20文科21、2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理科20文科21、2019年新課標(biāo)Ⅲ卷理科21、2017年新課標(biāo)Ⅰ卷理科20.

（2）.角度或斜率問題：2021年新課標(biāo)Ⅰ卷理科21、2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理科19文科20、2015新課標(biāo)Ⅰ卷理科20.

（3）.面積或面積最值問題： 2023年全國甲卷理科20文科21、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷理科21、2021年全國乙卷理科21、2020新課標(biāo)Ⅱ卷理科21、2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科20文科21、2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科21、2019年新課標(biāo)Ⅲ卷理科21、2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科20、2014年新課標(biāo)Ⅰ卷理科20.

一題多變的變式教學(xué)和訓(xùn)練蘊(yùn)含著巨大的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)價(jià)值.美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“一個(gè)專心地認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的問題去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域”.新教材中的一些典型例題或課后習(xí)題，都是我們可鉆研的資源，這些題目典型、知識豐富、綜合性強(qiáng)、靈活度高，如果有針對性地加以運(yùn)用、有理論性地加以引導(dǎo)、有目標(biāo)性地加以探索、有思維性地加以擴(kuò)展，則能夠全面提升和培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1. 源于教材

圖1

例題" "（人教A版選擇性必修第一冊第138業(yè)習(xí)題3.3第6題）如圖1，直線y=x－2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

證明" "聯(lián)立y=x－2，

y2=2x， 消去x整理可得y2-2y-4=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=－4.所以kOA ·kOB" = y1x1·y2x2 = y1y2y122·y222 = 4y1y2 =- 1，故OA⊥OB.

以上問題的實(shí)質(zhì)就是拋物線的弦對頂點(diǎn)張直角，可利用拋物線與直線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理證出結(jié)論.下面，筆者以該題為載體進(jìn)行變式探究與拓展，研究圓錐曲線點(diǎn)線面位置關(guān)系?？贾R點(diǎn)—定點(diǎn)問題、角度或斜率問題、面積或面積最值問題的解題方法和策略，結(jié)合邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到相關(guān)問題的一些優(yōu)美結(jié)論.

2. 變式探究與拓展

2.1 定點(diǎn)問題

在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點(diǎn)，這類問題稱為定點(diǎn)問題.證明直線（曲線）過定點(diǎn)的基本思想是確定方程，即使用一個(gè)參數(shù)表示直線（曲線）方程，根據(jù)方程成立與參數(shù)無關(guān)得出關(guān)于x，y的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線（曲線）所過的定點(diǎn).一般來說，“特殊位置法”（先猜想后證明）和“去參數(shù)法”（讓參數(shù)失效）是處理這類問題的常用方法.

變式1" 直線AB與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線AB恒過定點(diǎn).

本題通過交換習(xí)題中的條件和結(jié)論，考查直線與拋物線相交，兩交點(diǎn)與頂點(diǎn)張直角的條件下，直線過定點(diǎn)問題，全面考查解析幾何中解決定點(diǎn)的通性通法，對考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力有一定要求，具有較好的區(qū)分度.

解法1" （代數(shù)法） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

聯(lián)立x=my+t，y2=2x， 消去x整理可得y2-2my-2t=0.由韋達(dá)定理可得y1y2=-2t，所以kOA ·kOB" = y1x1·y2x2 = y1y2y122·y222 = 4y1y2 =- 2t，而由OA⊥OB，可得kOA·kOB=-2t=-1，t=2.直線x=my+2恒過定點(diǎn)（2，0）.

解法2" （齊次化） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為mx+ny=1.

聯(lián)立mx+ny=1，

y2=2x， mx+ny=y22x，得（yx）2-2nyx-2m=0，因?yàn)閗OA=y1x1，kOB=y2x2是方程的兩根.

由韋達(dá)定理可得kOA·kOB=-2m=-1，所以m=12.

直線（12x-1）+yn=0恒過定點(diǎn)（2，0）.

注" 解法1和解法2都是采用代數(shù)法：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理尋找直線中兩個(gè)參數(shù)之間的聯(lián)系，代入直線方程后分離參數(shù)，解關(guān)于x，y的方程組即得定點(diǎn).

結(jié)論1" 直線AB與拋物線y2=2px相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，則直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）.

證明" "設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

聯(lián)立x=my+t，

y2=2px， 消去x整理可得y2-2pmy-2pt=0.由韋達(dá)定理可得y1y2=-2pt，所以kOA ·kOB" = y1x1·y2x2 = y1y2y122p·y222p = 4p2y1y2 =" - 2pt，而由OA⊥OB，可得kOA·kOB=-2pt=-1，t=2p.從而直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）.

推廣" 直線AB與拋物線y2=2px相交于A，B兩點(diǎn)，若kOA·kOB=λ（λ為非零常數(shù)），則直線AB恒過定點(diǎn)（-2pλ，0）.

推廣的證明可參照結(jié)論1的證明加以分析與處理，或可采用齊次化加以證明，這里不多贅述.其中，結(jié)論1是推廣的特例，是當(dāng)常數(shù)λ=-1時(shí)的結(jié)果.類似的高考題還有2017年全國Ⅰ卷理科第20題，作為練習(xí)1供讀者使用.

練習(xí)1 （2017年高考新課標(biāo)Ⅰ卷20）已知橢圓C：x24+y2=1，設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P2（0，2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明： l過定點(diǎn)．

2.2" 角度或斜率問題

圓錐曲線與角度或斜率相關(guān)的問題一直是高考命題的熱點(diǎn).此類問題融合了三角函數(shù)、平面向量、不等式等知識，考查學(xué)生邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決問題的能力.通常，把角度問題轉(zhuǎn)化為斜率、向量、三角函數(shù)等.通過研究斜率的關(guān)系、運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、求解三角函數(shù)值等，或直接通過到角公式，解決與角度相關(guān)的問題.

變式2" 設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A（2，0），B（－2，0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).證明：∠ABM=∠ABN.

本題考查了直線與拋物線相交的基本概念和方法，突出考查了解析幾何的基本思想，全面考查了考生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

解法1" "依題意知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為l：x=my+2，聯(lián)立x=my+2，

y2=2x， 得y2-2my-4=0.

設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則y1+y2=2m，y1y2=-4，kMB+kNB=y1x1+2+y2x2+2=2my1y2+4（y1+y2）（x1+2）（x2+2）=－8m+8m（x1+2）（x2+2）=0，所以kMB=－kNB，故得∠ABM=∠ABN.

圖2

解法2" "當(dāng)l與x垂直時(shí)，AB為∠MBN的角平分線，所以∠ABM=∠ABN；

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)候，設(shè)l的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），

過M，N分別作x軸的垂線，垂足依次為C，D，如圖2所示.

∠ABM=∠ABNtan∠ABM=tan∠ABNy1x1+2=y2x2+2，則y1x1+2=-y2x2+2y1x1+2+y2x2+2=0，以下同解法1.

解法3" "當(dāng)l與x垂直時(shí)，AB為∠MBN的角平分線，所以∠ABM=∠ABN；

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)候，設(shè)l的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），

圖3

設(shè)點(diǎn)N（x2，y2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C（x2，-y2），如圖3所示.于是，

∠ABM=∠ABNB，C，M三點(diǎn)共線kBC=kBM，即y1x1+2=－y2x2+2y1x1+2+y2x2+2=0，以下同解法1.

注" 變式2即為2018年全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題.解法1采用代數(shù)法，將角度問題轉(zhuǎn)化為證明傾斜角互補(bǔ)，即它們的斜率之和為0，聯(lián)立拋物線和直線，利用韋達(dá)定理可計(jì)算求得結(jié)論；解法2轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，直接證正切值相等；解法3通過對稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化證明三點(diǎn)共線.解法2和解法3都屬于幾何法，但與解法1一樣，都要利用直線與拋物線聯(lián)立，設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理證明相關(guān)的結(jié)論，這是處理直線與圓錐曲線的通法.

結(jié)論2" 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），M（m，0），N（n，0）是x軸上不同的兩點(diǎn)（異于拋物線的頂點(diǎn)）.過點(diǎn)N作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則直線MA和直線MB與x軸所成的角相等的充要條件是m+n=0.

證明" "由條件知l的斜率不為零，設(shè)l的方程為x=ty+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=ty+n，

y2=2px， 得y2－2pty－2pn=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=-2pn.

因直線MA和直線MB與x軸所成的角相等，等價(jià)于kMA+kMB=0.

而kMA+kMB=y1x1-m+y2x2-m=2ty1y2+（n－m）（y1+y2）（x1－m）（x2－m），于是2ty1y2+（n-m）（y1+y2）=2t（-2pn）+（n-m）2pt=-2pt（m+n）.

又t∈R，所以kMA+kMB=0-2pt（m+n）=0m+n=0.

故直線MA和直線MB與x軸所成的角相等的充要條件是m+n=0.

特別的，當(dāng)p=1，n=2，m=-2時(shí)，就變成2018年全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題，即上面的變式2.類似的高考題還有2015年全國Ⅰ卷理科第20題，作為練習(xí)2供讀者使用.

練習(xí)2 （2015年全國卷Ⅰ理科第20題）拋物線C：x2=4y與直線l：y=kx+a（agt;0）交于M，N兩點(diǎn). y軸上是否存在點(diǎn)P，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN請說明理由.

2.3" 面積或面積的最值問題

面積或面積最值問題是?？碱}型，其設(shè)問形式多樣，可以直接設(shè)問求三角形面積或四邊形的面積、可以是三角形或四邊形面積的最值、或是兩個(gè)多邊形的面積關(guān)系探求基本結(jié)果、或探求面積的定值問題.在計(jì)算相應(yīng)多邊形面積的過程中，不僅要求學(xué)生熟練掌握基本公式（如弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式、四邊形面積公式等），還需要找到合適的方法來解決代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換.求出面積的函數(shù)表達(dá)式后，通過基本不等式或基本初等函數(shù)的單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)解決最值問題，所以面積問題的考查也是解析幾何中綜合性較強(qiáng)的一個(gè)考點(diǎn).下面我們就變式3為例，提供解決面積問題的常見方法和策略，僅供參考.

變式3" 已知C：y2=2x，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，M，N為C上兩點(diǎn)，OM·ON=0，則△MON面積的最小值為4.

本題考查拋物線的基本知識，以向量數(shù)量積為條件，求解與拋物線頂點(diǎn)相關(guān)的三角形面積的最值，涉及到解析幾何的基本思想和基本方法.該變式也是2023年高考全國甲卷理科第20題、文科第21題的題源.

解法1" "顯然，直線MN的斜率不為零，設(shè)直線MN的方程為x=my+t.

聯(lián)立x=my+t，

y2=2x， 消去x整理可得y2-2my-2t=0.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達(dá)定理可得y1y2=-2t，所以O(shè)M·ON=x1x2+y1y2=14（y1y2）2+y1y2=t2－2t，而由OM·ON=0，可得t=0，或t=2，顯然t≠0，所以t=2.即y1+y2=2m，y1y2=-4.

點(diǎn)O到MN的距離d=2m2+1，而MN=（1+m2）（4m2+16）.

S△OMN=12MNd=4m2+16≥4，所以當(dāng)m=0時(shí)，S△MON的最小值為4.

解法2" "以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正向?yàn)闃O軸方向建立極坐標(biāo)系，則y2=2x極坐標(biāo)方程為：ρ2sin2θ=2ρcosθ，即ρ=2cosθsin2θ.

設(shè)M（ρ1，θ），N（ρ2，3π2+θ），故ρ1=2cosθsin2θ，ρ2=2sinθcos2θ，則S△MON=12ρ1ρ2=2sinθcosθsin2θcos2θ=2sinθcosθ=4sin2θ≥4，所以當(dāng)θ=π4時(shí)，S△MON的最小值為4.

注" 解法1聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理（解析幾何的通法通解）、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，合理設(shè)計(jì)參數(shù)并用其表示三角形面積，注意參數(shù)的取值范圍（或滿足的條件），是確定△MON面積最小值的關(guān)鍵.由于△MON的兩直角邊是與原點(diǎn)構(gòu)成的距離，故方法2利用建立極坐標(biāo)系，聯(lián)立拋物線和直線，由韋達(dá)定理之積直接得到△MON面積的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值.

結(jié)論3" 已知C：y2=2px（pgt;0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，M，N為C上兩點(diǎn)，OM·ON=0，則△MON面積的最小值為4p2.

結(jié)論3中的p=1，即為上述變式3的特殊情況.結(jié)論3的證明完全可參照變式3的解法加以分析與處理，這里不多贅述.細(xì)品解題與證明過程，筆者發(fā)現(xiàn)結(jié)論值得進(jìn)一步探究.我們嘗試將結(jié)論3中的原點(diǎn)變?yōu)閽佄锞€的另一特殊點(diǎn)焦點(diǎn)，可以得到以下另一個(gè)結(jié)論：

推廣" 已知C：y2=2px（pgt;0）的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，MF·NF=0，則△MNF面積的最小值為（3-22）p2.

證明" "以F點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正向?yàn)闃O軸方向建立極坐標(biāo)系，

則y2=2px的極坐標(biāo)方程為：ρ=p1－cosθ，設(shè)M（ρ1，θ），N（ρ2，π2+θ），所以ρ1=p1－cosθ，ρ2=p1+sinθ，故S△MFN=12ρ1ρ2=12·p1－cosθ·p1+sinθ=p22·11+sinθ－cosθ－sinθcosθ，令t=sinθ－cosθ，則t∈［－2，2］，sinθcosθ=1－t22.

故S△MFN=p22·11+t－1－t22=p2t2+2t+1=p2（t+1）2，因?yàn)椋╰+1）2≤（2+1）2，所以S△MFN≥p2（2+1）2=（3－22）p2.

2023年高考全國甲卷理科第20題文科第21題為推廣的特殊情形，即為p=2的特殊情形，利用推廣立刻得到△MNF面積的最小值為12－82.下面把該題作為練習(xí)3，供讀者練習(xí)強(qiáng)化使用.

練習(xí)3 （2023年全國甲卷理20）已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px（pgt;0）交于A，B兩點(diǎn)，且AB=415.

（1）求p；

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，MF·NF=0，求△MNF面積的最小值.

參考文獻(xiàn)

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