三角函數的單調性與最值問題研究

【摘要】三角函數作為高中數學的重要內容，其單調性和最值問題一直是學生學習的難點和考試的熱點.本文探討三角函數的單調性與最值問題，通過分析三角函數的單調性，討論通過三角函數的性質找到三角函數的最值，幫助學生拓展思維，提升核心素養．

【關鍵詞】三角函數；單調性；高中數學

三角函數在數學和生活中具有廣泛的應用，而其單調性和最值問題則是研究三角函數的重要方面，也是學生學習高等數學和應用數學的基礎.通過深入研究和理解三角函數的單調性和最值問題，學生可以更好地理解三角函數的性質，確定其在給定區間內的最值．

1深入研究和理解三角函數

1.1理解基本概念

學生需要深入理解三角函數的基本概念，三角函數包括正弦函數、余弦函數、正切函數等，它們都有自身的定義域、值域和周期性.只有對基本概念有清晰的理解，才能進一步研究其單調性和最值.如，理解三角函數的周期性有助于在解決三角函數的單調性和最值問題時，更快地找到規律和特點.正弦函數和余弦函數的周期都是2π，而正切函數的周期是π.又如，通過對三角函數求導數，可以得到其在某個區間內的單調性.

1.2掌握圖象特點

觀察三角函數的圖象是理解其單調性和最值問題的關鍵.通過觀察三角函數的圖象，可以直觀地了解三角函數的周期性、奇偶性以及單調性.此外，還可以發現函數在特定區間內的最大值、最小值和極值點.這為進一步分析三角函數的單調性和最值問題提供了有力的依據.通過觀察圖象，可以快速解決三角函數的單調性和最值問題.學生應通過繪制三角函數的圖象，觀察其變化趨勢，理解其在哪些區間內單調遞增或遞減，以及何時取得最值[1].

1.3靈活運用公式

三角函數有許多公式，如和差角公式、和差化積公式、積化和差公式等.利用輔助角公式可以將復雜的三角函數問題轉化為簡單的三角函數問題.通過輔助角公式，可以消除函數中的根號，從而更容易地分析函數的單調性和最值.又如，熟練掌握三角函數的恒等變換公式，可以簡化問題，提供更多關于三角函數性質的信息.學生應能靈活運用這些公式，化簡復雜的三角函數[2].

1.4培養解題思路和技巧

解決三角函數的單調性和最值問題需要具備一定的解題思路和技巧.在解題過程中，要善于觀察、分析問題，找到解決問題的切入點.此外，還要熟練運用代數、幾何等知識，將問題轉化為三角函數問題.通過不斷地練習和總結，培養自己的解題能力和技巧[3].

1.5實際應用

通過解決實際應用問題，學生可以加深對三角函數單調性和最值問題的理解.例如，在物理、工程和金融等領域，三角函數都有廣泛的應用.學生可以通過解決這些領域的實際問題，提高自己解決三角函數問題的能力.

2用三角函數的極值求單調區間

點評第（1）問利用輔助角公式進行了化簡，可得到振幅、周期和初相位；第（2）問通過求導，并對a進行分類討論，利用余弦函數的單調性分析導函數在區間（0，π）的正負情況，即可判斷y=f（x）是否為嚴格增函數，進而得到實數a的取值范圍[3]．

3三角函數的單調性與最值的綜合問題

通過對三角函數單調性和最值問題的研究，可以讓學生更好地掌握三角函數的相關知識，學生可以更好地應對高考和其他數學競賽中的相關題目，為后續學習高等數學和實際應用奠定基礎.

參考文獻：

[1]曹鳳山.三角函數的圖像與性質[J].中學數學教學參考，2015（Z1）：61-65．

[2]崔文，侯宇虹.三角函數最值問題的求解策略[J].高中生之友，2015（21）：29-31．

[3]危志剛.對例題教學有效性的思考——“三角函數單調性和最值問題”教學啟示[J].福建教育，2014（36）：52-54．