投影向量在空間距離問題中的應用

【摘要】“轉化與化歸思想”是解決立體幾何問題的重要思想.空間距離問題是培養學生直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養的良好載體．

【關鍵詞】投影向量；轉化與化歸；高中數學

距離問題是近幾年高考的熱點，考生對這類問題普遍感覺比較困難，究其原因，是學生未能很好地把握幾何體的結構特征，不會應用轉化與化歸思想.

向量在新教材中占據著重要地位，是用來解決立體幾何問題的重要工具．向量的方向可以用來刻畫直線和平面的方向，而大小又可以用來刻畫長度，因此向量是研究空間距離的有力工具；除兩點間的距離，其他距離問題（點到直線的距離、平行直線間的距離、點到平面的距離等）的本質就是“垂直”，而投影向量的產生過程正是通過垂直關系得到的，有了垂直關系，距離問題便可迎刃而解，因此我們可以通過投影向量來研究空間距離問題．法向量是反映垂直方向的最直觀的表達形式，這就形成了求距離問題的通法：確定平面的法向量（或直線的方向向量）——選擇參考向量——求參考向量到平面的法向量（或直線的方向向量）的投影向量的長度——所求距離．

本文通過實例淺談投影向量在空間距離問題中的應用．

1定義

2點到直線的距離、平行線間的距離

2.1點到直線的距離

2.2平行線間的距離

3點到平面的距離、直線到平行平面的距離、平行平面間的距離

3.1點到平面的距離

3.2直線到平行平面的距離

3.3平行平面間的距離

4異面直線間的距離

5結語

向量是溝通代數與幾何的橋梁，借助空間向量能將幾何中一些煩瑣的推理論證轉化成向量坐標的運算，將幾何問題轉化為代數問題，大大降低思維難度，從而凸顯了向量的工具性作用.本文體現了向量作為工具在解決空間距離問題上的優勢，培養“轉化與化歸思想”，領悟“數”與“形”融合的魅力，養成良好的數形結合思維習慣，有助于提升學生的數學抽象、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2020