聚焦抽象函數的性質及應用的探究

【摘要】抽象函數是高中數學教學中的重點和難點，它涉及函數的定義域、值域、單調性、奇偶性和周期性等多個方面.同時，抽象函數也是培養學生數學抽象思維、數學運算能力和邏輯推理能力的重要載體.因此，與抽象函數相關的問題成為近年來高考的熱點考查內容.本文通過梳理知識點、分析學生在解決抽象函數問題中存在的問題，提出相應的解題方法，并展示解題策略的具體應用，以幫助學生積累解題策略應用經驗.

【關鍵詞】抽象函數；高中數學；解題技巧

1引言

抽象函數是數學中一種重要的工具，它能夠將具體問題轉化為抽象表達形式，從而更好地揭示問題的本質和規律.抽象函數不僅是高中函數部分的難點，也是大學高等數學函數部分的一個銜接點．由于抽象函數沒有具體的解析式作為載體，因此理解起來比較困難，所以求解抽象函數的問題需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及對函數知識靈活運用的能力．學生有必要認真探究有關抽象函數及其導函數的常用性質，以便在選擇題或填空題中直接運用，同時也有利于提高解題的準確性，進而提升數學核心素養．

2應用探究

例1函數y=fx在區間－∞，+∞上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足f3+x－f3－x+6x=0，函數f1－2x的圖象關于點0，1對稱，則（）

（A）fx的圖象關于點1，1對稱.

（B）8是fx的一個周期.

（C）fx一定存在零點.

（D）f101=－299.

解析由于f1－2x的圖象關于點0，1對稱，所以f1－2x+f1+2x=2，故f1－x+f1+x=2，所以fx的圖象關于點1，1對稱，故（A）正確.

由f3+x－f3－x+6x=0得f3+x+3x=f3－x－3x，令gx=f3+x+3x，所以g－x=f3－x-3x，所以gx=g－x，故gx為偶函數，又fx的圖象關于點1，1對稱，所以fx+f－x+2=2，又fx=gx－3－3x－3，從而gx－3－3x－3+g－x+2－3－3－x+2－3=2gx－3+g－x－1=－10，所以gx的圖象關于－2，－5對稱.在f1－x+f1+x=2中，令x=0，f1=1gt;0，所以g－2=f1－6=－5，所以g2=－5=f5+6f5=－11lt;0，由于y=fx在區間－∞，+∞上的圖象是一條連續不斷的曲線，由零點存在性定理可得fx在1，5有零點，故（C）正確.

由于gx的圖象關于－2，－5對稱以及gx=g－x得gx+g－x－4=－10gx+gx+4=－10，又gx+8+gx+4=－10，所以gx=gx+8，所以gx是周期為8的周期函數，f101=g98－3×98=g2－294=－5－294=－299，故（D）正確.

對于（B），f1=1，f9=g6-18=g-2-18=g2-18=-5-18=-23≠f1，所以8不是fx的周期.

故選（A）（C）（D）.

規律總結本題考查了抽象函數性質的綜合運用，抽象函數的常用性質有奇偶性、單調性、對稱性、周期性等.

常見的抽象函數奇偶性與對稱性結合的結論有：

（1）若函數y=f（x＋a）為偶函數，則函數y=f（x）關于x=a對稱．

（2）若函數y=f（x＋a）為奇函數，則函數y=f（x）關于點a，0對稱．

（3）若f（x）=f（2a－x），則函數f（x）關于x=a對稱．

（4）若f（x）＋f（2a－x）=2b，則函數f（x）關于點a，b對稱．

抽象函數性質的符號化表達通常以函數方程的形式呈現，這種表達方式較為抽象.這就要求學生對函數符號以及解決函數方程常用的“賦值法”有較好的理解.賦值法是解決函數方程的一種常用方法，通過觀察已知與未知的聯系，巧妙地給函數中的變量賦特定的值，把已知條件與所給問題建立溝通的紐帶，推導出函數的性質或解方程.

周期性判斷一個函數是否是周期函數要抓住兩點：一是對定義域中任意的x恒有f（x+T）=f（x）；二是周期函數的定義域均為無限集.

設函數y=fx，x∈R，agt;0，a≠b．

（1）若fx+a=f（x）－a，則函數fx的周期為2a；

（2）若fx+a=－f（x），則函數fx的周期為2a；

（3）若fx+a=－1/f（x），則函數fx的周期為2a；

（4）若fx+a=1/f（x），則函數fx的周期為2a；

（5）若fx+a=f（x）+b，則函數f（x）的周期為a－b；

（6）若函數f（x）的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數fx的周期為2b－a；

（7）若函數f（x）的圖象既關于點a，0對稱，又關于點b，0對稱，則函數f（x）的周期為2b－a；

（8）若函數f（x）的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點b，0對稱，則函數f（x）的周期為4b－a；

（9）若函數f（x）是偶函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）的周期為2a；

（10）若函數f（x）是奇函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）的周期為4a．

解決抽象函數和導函數綜合題型需要熟練掌握抽象函數的性質和導數的計算方法，同時還要靈活運用賦值法、構造函數法等解題技巧，充分利用特殊抽象函數的周期性、對稱性、奇偶性等相關結論進行求解.能力層面培養了抽象思維能力、邏輯推理能力、數學符號運算能力、解決問題的能力和創新思維能力，核心素養層面培養了數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

3結語

抽象函數旨在將復雜的具體問題轉化為簡潔的抽象表達.它不僅簡化了問題的表述，更在深層次上揭示了函數的內在規律.這種深入淺出的轉化方式，無疑使抽象函數在眾多領域中都具有廣泛的應用價值.通過對抽象函數的性質和應用的方法探究，可以更好地理解和運用抽象函數來解決相關函數問題.本文的探究旨在為學生在解題思路方面提供一些啟示和指導.

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