初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題解題技巧

【摘要】函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的核心組成部分，在中考數(shù)學(xué)試卷中扮演著舉足輕重的角色.本文旨在通過分析研究，提供一系列針對(duì)性的教學(xué)參考和啟示，以助于同行們?cè)诤瘮?shù)教學(xué)中取得更好的成效.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)應(yīng)用；解題策略

函數(shù)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)體系中占據(jù)著舉足輕重的地位，無論是在課程設(shè)置中還是中考中都顯得尤為關(guān)鍵，并占據(jù)了相當(dāng)大的分值比重.這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中，幫助學(xué)生深入理解和掌握函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，讓他們能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.這樣，才能為他們?cè)谥锌贾腥〉脙?yōu)異成績(jī)做好充分準(zhǔn)備，也為他們未來的學(xué)習(xí)之路奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1剖析概念聯(lián)系，尋找解題思路

數(shù)學(xué)題中的各個(gè)概念彼此緊密相連，因此必須重視它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將其有效地整合起來.這樣做有助于系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).函數(shù)應(yīng)用題這類題目往往側(cè)重于考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，其涵蓋的內(nèi)容廣泛而深入.在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)應(yīng)用題往往具備高度的綜合性.這類題目不僅要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，還強(qiáng)調(diào)解題思路的構(gòu)建.

例1如圖1所示，已知拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，同時(shí)該拋物線還經(jīng)過點(diǎn)C（5，4）.求出系數(shù)a的值，并求出拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析首先，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，4），將這個(gè)坐標(biāo)代入拋物線方程中，可以求得系數(shù)a的值為1.進(jìn)一步觀察拋物線的圖象，由于它是開口向上的，可以確認(rèn)a的值確實(shí)大于0.因此，確定系數(shù)a的值為1.

然后，有了a的值就可以確定拋物線的具體方程為y=x²-5x+4.根據(jù)題目信息，這條拋物線與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0）和B（x₂，0）.接下來，可以利用二次方程的求根公式或者配方法求解x₁和x₂的值.經(jīng)過計(jì)算，得到x₁的值為1，x₂的值為4.

最后，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的中點(diǎn).因此，可以輕松計(jì)算出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.5.然后，將這個(gè)橫坐標(biāo)代入拋物線方程中，就可以求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo).經(jīng)過計(jì)算，得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2.5，-2.25）.

這道題目綜合考查了函數(shù)問題的多個(gè)方面，包括拋物線的坐標(biāo)問題、頂點(diǎn)問題以及系數(shù)問題.題目中的這些問題相互關(guān)聯(lián)，形成了一個(gè)完整的解題思路.

2設(shè)定待定系數(shù)，優(yōu)化解題策略

當(dāng)題目指出兩個(gè)變量之間存在二次函數(shù)關(guān)系，并提供了若干具體的變量值時(shí)，可以通過這些給定的條件確定函數(shù)的表達(dá)式.在這種情況下，待定系數(shù)法尤為高效與實(shí)用.通過巧妙地運(yùn)用這一方法，能夠準(zhǔn)確地確定滿足題目要求的函數(shù)表達(dá)式.利用設(shè)定的待定系數(shù)優(yōu)化解題策略，可以使解題過程更為流暢和精確.

例2在一家大型超市里，有一種商品的進(jìn)貨成本是20元每件.經(jīng)過深入的市場(chǎng)調(diào)研，超市管理人員發(fā)現(xiàn)該商品的銷售量與售價(jià)之間存在一定的關(guān)系.具體來說，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，每天的銷售量ω會(huì)是-2x+80件.超市想要優(yōu)化銷售策略，以最大化每天的利潤(rùn).假設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為y元，我們需要解決以下幾個(gè)關(guān)鍵問題：

（1）請(qǐng)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，描述銷售單價(jià)x與銷售利潤(rùn)y之間的函數(shù)關(guān)系.這樣，我們就可以通過調(diào)整售價(jià)來預(yù)測(cè)并優(yōu)化每天的利潤(rùn).

（2）在所有的可能售價(jià)中，哪一個(gè)售價(jià)x能使每天的利潤(rùn)y達(dá)到最大值？這個(gè)最大利潤(rùn)是多少？

解析這個(gè)問題是一個(gè)經(jīng)典的二次函數(shù)應(yīng)用問題，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在商業(yè)決策中的實(shí)際應(yīng)用.在解決這一問題時(shí)，學(xué)生需要仔細(xì)閱讀和理解題目中的信息，并明確銷售單價(jià)、銷售量與銷售利潤(rùn)之間的關(guān)系.解題過程中，將運(yùn)用待定系數(shù)法來建立銷售利潤(rùn)與銷售單價(jià)之間的二次函數(shù)關(guān)系式.

首先，為了找出x和y之間的函數(shù)關(guān)系式，需要綜合考慮該商品每天的銷售利潤(rùn)和銷售數(shù)量.根據(jù)題意，銷售利潤(rùn)y是銷售單價(jià)x減去進(jìn)價(jià)20元后與銷售量ω的乘積.而銷售量ω與銷售單價(jià)x之間存在線性關(guān)系，即ω=-2x+80.因此，可以將ω的表達(dá)式代入銷售利潤(rùn)的計(jì)算公式中，從而得到y(tǒng)=（x-20）（-2x+80）=-2x²+120x-1600.

接著，在求解最大利潤(rùn)和銷售單價(jià)時(shí)，可以利用上一步中得到的二次函數(shù)關(guān)系式.由于這個(gè)二次函數(shù)的開口方向是向下的（系數(shù)a=-2＜0），其最大值會(huì)出現(xiàn)在對(duì)稱軸上，即x=-b/2a=30.將x=30代入函數(shù)關(guān)系式中，就可以計(jì)算出最大利潤(rùn)y=200元.

3基于數(shù)量關(guān)系，找到解題方法

解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，必須指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀并分析題目的內(nèi)容，深入理解其中的數(shù)量關(guān)系，并基于這些數(shù)量關(guān)系形成解題的思路.

例3為了改善居民的居住環(huán)境，某市計(jì)劃修建一個(gè)獨(dú)具特色的文化廣場(chǎng).廣場(chǎng)的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)為一個(gè)矩形ABCD，其四周則以半圓形擴(kuò)展，這四個(gè)半圓的直徑恰好是矩形的四條邊.已知整個(gè)廣場(chǎng)的周長(zhǎng)為628米，我們?cè)O(shè)矩形的一邊AB為y米，另一邊BC為x米.

圖2

（1）請(qǐng)寫出y關(guān)于x的表達(dá)式.

（2）矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)鵝卵石，每平方米成本428元；半圓形區(qū)域?qū)佋O(shè)花崗巖，每平方米成本400元.

①寫出總成本W(wǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

②若預(yù)算為1000萬(wàn)元，判斷是否能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，并給出設(shè)計(jì)方案或原因.

解析本題目基于實(shí)際建設(shè)場(chǎng)景，關(guān)鍵在于理解和利用題目中的數(shù)量關(guān)系.對(duì)于第（1）小題，可以利用圖形的分割和組合，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式來求解.根據(jù)題目條件，πy+πx=628，化簡(jiǎn)得y+x=200.再結(jié)合x+y=200，可解出y關(guān)于x的表達(dá)式.對(duì)于第（2）小題，需要結(jié)合廣場(chǎng)的幾何特征，計(jì)算鋪設(shè)的總面積，并據(jù)此得出工程的總造價(jià)W.通過計(jì)算，得到W的表達(dá)式，并可以利用配方法找到W的最小值.對(duì)比這個(gè)最小值與1000萬(wàn)元的預(yù)算，可以判斷預(yù)算是否足夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期目標(biāo).經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)即使是最小造價(jià)也超過了預(yù)算，因此投入1000萬(wàn)元的成本是無法實(shí)現(xiàn)預(yù)期的建設(shè)目標(biāo)的，需要考慮調(diào)整設(shè)計(jì)方案或增加預(yù)算，以滿足建設(shè)要求.

4結(jié)語(yǔ)

綜上所述，鑒于函數(shù)知識(shí)內(nèi)容繁雜且難度較大，教師在教學(xué)過程中需傾注更多精力與智慧，助力學(xué)生深入理解和掌握相關(guān)知識(shí).教師應(yīng)緊密結(jié)合中考要求，將函數(shù)知識(shí)的講授與實(shí)戰(zhàn)演練緊密結(jié)合，使學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中能夠?qū)⒗碚撝R(shí)轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題的能力.