指向推理意識(shí)培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究

孫源彬 / 黔南民族師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，從事小學(xué)教育研究；周武雷 / 黔南民族師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，教授，從事基礎(chǔ)教育課程與教學(xué)論研究；王鈺 / 黔南民族師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，從事小學(xué)教育研究（都勻 558000）；*通訊作者，E-mail：11995409@qq.com

【基金項(xiàng)目】2023年黔南州“揭榜掛帥”教科研項(xiàng)目“新課標(biāo)下小學(xué)數(shù)學(xué)教師課堂提問的有效性研究”（2023B012）；黔南民族師范學(xué)院2023年研究生質(zhì)量工程項(xiàng)目“指向核心素養(yǎng)培育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例開發(fā)研究”（23yjszl028）；黔南民族師范學(xué)院重大專項(xiàng)項(xiàng)目“論證內(nèi)核驅(qū)動(dòng)的理科教育實(shí)踐研究”（QNSY2018JS012）

【摘 要】推理意識(shí)作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)之一，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展和理性建構(gòu)具有關(guān)鍵作用。文章分析推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要價(jià)值，并提出創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境、鼓勵(lì)大膽猜想、遵循認(rèn)知規(guī)律、注重有序觀察和精心設(shè)計(jì)提問等具有可操作性的教學(xué)策略，為教師落實(shí)學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)提供借鑒。

【關(guān)鍵詞】推理意識(shí) 小學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G623.5" " 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A" 【文章編號(hào)】1002-3275（2024）08-45-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）總結(jié)了核心素養(yǎng)的三個(gè)方面，其中“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)能力——邏輯推理［1］，在小學(xué)階段主要表現(xiàn)為推理意識(shí)。經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）公布的PISA 2022數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架中，將數(shù)學(xué)推理置于問題解決的核心地位。可見，數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要趨勢(shì)。在小學(xué)階段培育學(xué)生的推理意識(shí)，有利于他們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成推理能力，進(jìn)行有邏輯、有條理的數(shù)學(xué)思考，從而提升核心素養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師了解基于推理意識(shí)培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略，既響應(yīng)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的要求，又有利于探索出培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的新方向。

一、推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的價(jià)值

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的命題得出另一個(gè)新命題的思維形式。從推理的分類來看，小學(xué)階段的推理主要包括歸納推理與演繹推理。歸納推理主要出現(xiàn)在學(xué)習(xí)新知的過程中，表現(xiàn)為通過觀察得出猜想，列舉發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，得出假設(shè)性結(jié)論。演繹推理主要用于證明數(shù)學(xué)法則、規(guī)律，以及驗(yàn)證某結(jié)論的正確性等。

課程標(biāo)準(zhǔn)將小學(xué)數(shù)學(xué)推理意識(shí)界定為“對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟”。具備推理意識(shí)的學(xué)生，能從已有事實(shí)出發(fā)，基于較嚴(yán)密的邏輯，作出合乎規(guī)則的推論，從而得出能用于解決數(shù)學(xué)問題的新結(jié)論。推理對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的價(jià)值，具體體現(xiàn)如下。

（一）推理有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出“三會(huì)”的核心素養(yǎng)，具體是指會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。這三者分別主要對(duì)應(yīng)抽象、推理、建模三種數(shù)學(xué)能力。從三者的關(guān)系來看，抽象是推理的基礎(chǔ)，它將數(shù)學(xué)從外部世界現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成了內(nèi)部思維活動(dòng)，為推理提供了數(shù)學(xué)對(duì)象。推理是抽象的手段，是在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部將條件進(jìn)行理性分析、合理推導(dǎo)，從而得出某數(shù)學(xué)結(jié)論的進(jìn)一步抽象。建模是對(duì)具體問題進(jìn)行抽象和推理之后，用數(shù)學(xué)的語言所總結(jié)出的解決問題的工具，通過遷移可以將其廣泛應(yīng)用于解決同類型的數(shù)學(xué)問題。由此可見，推理作為三大數(shù)學(xué)能力之一，貫穿了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全過程。要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，離不開推理過程的精心設(shè)計(jì)；要讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)并建立數(shù)學(xué)模型，離不開推理過程的嚴(yán)密完整。因此，學(xué)生推理意識(shí)的養(yǎng)成過程也就自然而然地契合了“三會(huì)”核心素養(yǎng)的內(nèi)在邏輯，可有效促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面培養(yǎng)。

（二）推理有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

小學(xué)數(shù)學(xué)各學(xué)段的知識(shí)學(xué)習(xí)都離不開數(shù)學(xué)推理，小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中都蘊(yùn)含推理這一重要思維形式。例如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域通過演繹推理、運(yùn)用四則運(yùn)算等一般性前提來解決許多具體數(shù)學(xué)問題；“圖形與幾何”領(lǐng)域借助歸納推理觀察并概括多邊形的特征，通過不同的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)多邊形面積公式；“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域通過整理數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖、分析數(shù)據(jù)，來推測(cè)事物發(fā)展趨勢(shì)，作出合理決策；“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域在現(xiàn)實(shí)情境下抽象出數(shù)學(xué)信息，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并解決問題等。從核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視角來看，以上提到的課程內(nèi)容又包含了運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)等具體表現(xiàn)。在學(xué)習(xí)以上相關(guān)知識(shí)的過程中，學(xué)生借助推理從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中歸納總結(jié)出數(shù)學(xué)猜想，再將未知與已知相聯(lián)系，證明猜想的正確性，從而得出數(shù)學(xué)結(jié)論。這樣的過程有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，最終實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的育人目標(biāo)。

（三）推理有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力

數(shù)學(xué)課堂始于問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)始于從真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，而問題的解決過程則需要用到數(shù)學(xué)推理。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和規(guī)律類知識(shí)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中，常常需要采用問題鏈（也稱問題串）來推動(dòng)數(shù)學(xué)推理教學(xué)。從歸納的視角來看，在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，具備推理意識(shí)的學(xué)生可以想到通過列舉、觀察等方式發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)對(duì)象的某種規(guī)律，并提出相應(yīng)的假設(shè)。從演繹的視角來看，具備推理意識(shí)的學(xué)生可以想到利用已學(xué)的數(shù)學(xué)規(guī)律、法則去嘗試驗(yàn)證假設(shè)的正確性，知道能將一般化的法則運(yùn)用于特殊的問題情境，將新問題轉(zhuǎn)化為已知問題，從而順利解決問題。借助推理，學(xué)生在分析題目已知條件、尋求解題依據(jù)的過程中形成一種求解數(shù)學(xué)問題時(shí)的思維模式，在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在求知欲的驅(qū)動(dòng)下通過自主思考來解決數(shù)學(xué)問題，而不是依賴于教師給出的提示，從而提升數(shù)學(xué)問題解決能力。

總之，在以核心素養(yǎng)培養(yǎng)為目標(biāo)的課程改革背景下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落實(shí)依托于學(xué)生在具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知發(fā)展，認(rèn)知發(fā)展的核心是邏輯性思維的發(fā)展，推理顯然是發(fā)展學(xué)生邏輯性思維的重要手段，同時(shí)作為一種思維方式貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程。［2］它既是學(xué)生具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)之一，也是培養(yǎng)核心素養(yǎng)其他具體表現(xiàn)所必須經(jīng)歷的過程。因此，從學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看，研究并實(shí)踐指向推理意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)策略十分必要。

二、指向推理意識(shí)培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

（一）創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生思維活躍性

來源于生活又具備一定挑戰(zhàn)性的問題情境是學(xué)生開展推理的動(dòng)機(jī)。基于推理意識(shí)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課應(yīng)始于現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)問題情境，從學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生在真實(shí)情境中領(lǐng)悟到這一節(jié)課將要學(xué)習(xí)的知識(shí)在生活中的價(jià)值，從而為接下來的推理過程提供活躍的思維基礎(chǔ)。

教師可通過深入研讀教材，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，提取教材中與學(xué)生生活密切相關(guān)的要素，借此創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活情境，同時(shí)結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情，如年齡特征、生活經(jīng)驗(yàn)、思維發(fā)展水平等來選擇最適合學(xué)生的問題情境，將推理的起始情境與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活緊密關(guān)聯(lián)。例如“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”是與推理意識(shí)有關(guān)的一節(jié)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”課，基于推理意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)滲透小數(shù)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，即十進(jìn)制的理解。教學(xué)中通常使用的問題情境為由長(zhǎng)度單位引入和由貨幣單位引入。然而，在數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代背景下，學(xué)生在生活中已很少用現(xiàn)金結(jié)賬，大多數(shù)學(xué)生使用手機(jī)掃碼支付。可對(duì)教材中現(xiàn)金支付形式的問題情境進(jìn)行一定改編，如以電子支付后的賬單界面作為情境，引出“認(rèn)識(shí)小數(shù)”這一主題。此外，以測(cè)量長(zhǎng)度為問題情境也是一種可行做法。如課堂伊始讓學(xué)生測(cè)量并表示自己的課桌長(zhǎng)度是多少，由于生活中物體的長(zhǎng)度不一定是整數(shù)，學(xué)生便會(huì)意識(shí)到有必要引入一種不同于整數(shù)的數(shù)來表示，進(jìn)而可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的小數(shù)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，在發(fā)展推理意識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)據(jù)意識(shí)、量感等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（二）鼓勵(lì)大膽猜想，創(chuàng)造推理起點(diǎn)

猜想是推理的前提，是展開推理的思維起點(diǎn)。學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力是推理能力的重要組成要素之一，要發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)，首要任務(wù)應(yīng)是鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想。數(shù)學(xué)大多數(shù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、新概念的認(rèn)識(shí)、創(chuàng)造性問題解決辦法的提出，都是從基本的猜想開始的。在指向推理意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)中，教師應(yīng)把握好學(xué)生提出猜想的契機(jī)，在恰當(dāng)?shù)膯栴}節(jié)點(diǎn)上鼓勵(lì)他們表達(dá)自己的猜想。例如在“3的倍數(shù)的特征”一課中，讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)的2和5的倍數(shù)的特征進(jìn)行初步猜想，設(shè)想3的倍數(shù)可能具備什么特征。學(xué)生可能會(huì)猜想：“或許只需通過個(gè)位數(shù)字（如3、6、9）來判斷某個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)。”顯然這是很容易在教學(xué)中通過反例來推翻的，但如果教師能抓住這一容易引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的契機(jī)，鼓勵(lì)學(xué)生分享猜想、舉出反例、勇敢質(zhì)疑，便可為這一堂課創(chuàng)造推理的起點(diǎn)。在這一過程中，學(xué)生會(huì)初步感知到僅憑個(gè)位數(shù)字難以作出某個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)的推斷，并以此作為推理的思維起點(diǎn)。在表達(dá)與交流中，讓學(xué)生基于證據(jù)反駁，感悟邏輯推理過程中猜想的重要性，從而培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑的數(shù)學(xué)精神。

（三）遵循認(rèn)知規(guī)律，將歸納與演繹相結(jié)合

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，合情推理與演繹推理是相互依存的。［3］小學(xué)階段的合情推理主要體現(xiàn)為歸納推理。歸納推理是從特殊到一般的推理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要用來幫助學(xué)生獲取新信息，提出假設(shè)。演繹推理是從一般到特殊的推理，主要用來驗(yàn)證假設(shè)，得出可靠的數(shù)學(xué)結(jié)論。歸納推理與演繹推理是人類認(rèn)識(shí)客觀世界的兩種普遍思維方法，是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面。依據(jù)自然的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，人在認(rèn)知過程中的思維應(yīng)當(dāng)是從歸納到演繹的，只有從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中歸納概括出有關(guān)假設(shè)，才能具備演繹推理的前提；只有進(jìn)行演繹推理論證了假設(shè)的正確性，才能真正地得出結(jié)論。

因此，將歸納與演繹相結(jié)合來探究數(shù)學(xué)問題答案是符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的一種做法。一般來說，學(xué)生在課堂上的數(shù)學(xué)推理過程主要由以下四個(gè)步驟組成：①開始于真實(shí)的情境與相關(guān)的數(shù)學(xué)信息；②觀察情境中的數(shù)學(xué)信息或已有數(shù)據(jù)；③經(jīng)由歸納形成初步假設(shè)；④借助已知的數(shù)學(xué)公理、定理、法則等大前提進(jìn)一步驗(yàn)證假設(shè)。其中第四步屬于演繹推理的方法，而前面歸納推理方法中假設(shè)的得出，為引出演繹推理提供了一種強(qiáng)烈的動(dòng)機(jī)，促使學(xué)生隨后使用演繹推理來驗(yàn)證假設(shè)，以使學(xué)生更加確信經(jīng)由自己努力獲得的結(jié)論，從而發(fā)展元認(rèn)知，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我效能感。

（四）注重有序觀察，提高思維嚴(yán)謹(jǐn)性

有的小學(xué)生在推理過程中常感到困難，如對(duì)于找數(shù)字的規(guī)律無從下手，計(jì)算組合圖形的面積時(shí)出現(xiàn)遺漏，找復(fù)雜圖形中的正方形個(gè)數(shù)時(shí)數(shù)多或數(shù)少，等等。這些問題反映出學(xué)生沒有做到有序觀察。小學(xué)生的抽象邏輯思維仍不夠成熟，對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)更多地源于直接觀察。因此，基于推理意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)格外注重讓學(xué)生學(xué)會(huì)有序觀察，從而使學(xué)生完整提取問題條件與信息，訓(xùn)練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展歸納推理的能力。例如學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，可以讓學(xué)生通過剪拼圓形紙片，意識(shí)到剪的份數(shù)越多，曲邊部分看上去越平直。學(xué)生這個(gè)過程的觀察應(yīng)經(jīng)歷一個(gè)“由少到多”并伴隨著“由曲變直”的認(rèn)知推理過程。教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察將圓等分成4個(gè)小扇形后拼成的圖形的特點(diǎn)，即輪廓有點(diǎn)像平行四邊形，但底邊依然很彎曲。然后將圓8等分、16等分，讓學(xué)生繼續(xù)觀察拼成的圖形，發(fā)現(xiàn)隨著等分份數(shù)的增多，底邊越來越平。接下來可借助多媒體演示32等分、64等分，甚至等分更多份數(shù)的情況，學(xué)生將觀察到拼成的圖形近似長(zhǎng)方形。這樣“由少到多”的有序觀察過程，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷了較為完整的歸納，有利于得出正確結(jié)論，提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而發(fā)展推理意識(shí)。

（五）精心設(shè)計(jì)提問，搭建推理支架

從提出問題到得出結(jié)論可能需經(jīng)歷多輪的猜想與驗(yàn)證，問題解決也較難僅通過一步操作就獲得答案。教師可在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，精心設(shè)計(jì)課堂提問，將課堂要研究的主要問題分解成若干個(gè)子問題，從而在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷多步推導(dǎo)，將得出的結(jié)論組合為推理論證鏈，充分利用題目信息，逐漸縮小可行的解法范圍，通過子問題把學(xué)生的思維引導(dǎo)至正確的方向上，減小結(jié)果與問題之間的差距。教師應(yīng)基于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容生成不同類型的問題串，并向?qū)W生展示問題關(guān)系，從而使學(xué)生明晰問題間的邏輯關(guān)系，有助于他們深度地探究解決各個(gè)子問題。［4］借助若干個(gè)子問題搭建起的支架，促使學(xué)生應(yīng)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理，得到具有根據(jù)的結(jié)論，這樣歸納和論證的過程可以為后續(xù)進(jìn)行更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明打下基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

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