依托導數工具，研究函數性質

摘要：利用導數來研究函數的基本性質問題，是導數應用中最為突出的一個內容.筆者結合復雜函數問題場景，從零點分析法研究含參函數的單調性、二次求導研究函數的單調性，以及利用導數研究含參函數的極值或最值等方面入手，結合實例剖析與應用，歸納總結解題技巧與規律，以期引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：導數；函數性質；極值；最值

在解決函數的綜合應用問題與基本性質問題中，經常離不開導數及其應用.依托導數這一基本工具，利用函數的求導運算，通過導函數的正負取值情況與函數的單調性、極值或最值的聯系，合理實現轉化與應用，巧妙彰顯導數方法的突出應用與創新應用，成為解決函數基本性質問題的一種基本思維方式．

1零點分析法研究含參函數的單調性

在解決一些含參函數的單調性及其綜合應用問題時，往往要借助函數的導函數，利用導函數為零時的方程，確定導函數的零點，進而來判定原函數的單調性.要注意的是，根據含參的特定條件，經常要借助分類討論法來分析與應用.

例題（1）已知函數f（x）=lnx+ax+1－2a（a∈R），討論函數f（x）的單調性.

（2）已知函數g（x）=axx（a＞0且a≠1），討論g（x）的單調性．

解析：（1）由題可知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x2+（2-a）x+1x（x+1）2.

令f′（x）=0，得x2+（2－a）x+1=0.

當a≤2，x＞0時，f′（x）＞0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當a＞2時，方程x2+（2－a）x+1=0的Δ=a2－4a=a（a－4），

①當2＜a≤4時，Δ≤0，則f′（x）＞0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當a＞4時，Δ＞0，令x2+（2－a）x+1=0，得x1=a-2-a2-4a2＞0，x2=a-2+a2-4a2，

當x∈（0，x1）∪（x2，+∞）時，滿足f′（x）＞0；當x∈（x1，x2）時，滿足f′（x）＜0，則知f（x）在a-2-a2-4a2，a-2+a2-4a2上單調遞減，在0，a-2-a2-4a2和a-2+a2-4a2，+∞上單調遞增.

綜上所述，當a≤4時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a＞4時，f（x）在0，a-2-a2-4a2和a-2+a2-4a2，+∞上單調遞增，在a-2-a2-4a2，a-2+a2-4a2上單調遞減.

（2）由題可知，函數g（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），g′（x）=axxlna-axx2=ax（xlna-1）x2，令g′（x）=0，解得x=1lna.

當a＞1時，令g′（x）＞0，得x＞1lna；令g′（x）＜0，得0＜x＜1lna或x＜0.

當0＜a＜1時，令g′（x）＞0，得x＜1lna；令g′（x）＜0，得1lna＜x＜0或x＞0.

綜上所述，當a＞1時，g（x）的單調遞增區間為1lna，+∞，單調遞減區間為（－∞，0）和0，1lna；當0＜a＜1時，g（x）的單調遞增區間為－∞，1lna，單調遞減區間為1lna，0和（0，+∞）.

點評：借助零點分析法研究含參函數的單調性時，通過分類討論法研究函數的單調性是解決問題的關鍵，可以從以下四個層面來切入與應用：①導函數中的二次函數（可能是局部）開口方向；②導函數是否存在零點；③導函數的零點是否在定義域范圍內；④導函數若干零點之間的大小關系．

2二次求導研究函數的單調性

研究含參函數的單調性時，由于導函數關系式的復雜性或導函數的零點不易確定，這時一次求導無法解決問題，經常可以借助二次求導來研究函數的單調性.二次求導研究函數的單調性時，有時直接對導函數進行二次求導，有時借助導函數中的部分關系式來設置函數再進行求導處理.

例題（1）判斷函數g（x）=ex+cosx－ax－2（x≥0）的單調性.

（2）已知函數f（x）=ln（x+1）－xex－a－1，且0是f（x）的一個極值點，求f（x）的單調區間．

解析：（1）由題可知，g′（x）=ex－sinx－a，令函數p（x）=g′（x）=ex－sinx－a，則p′（x）=ex－cosx.

當x≥0時，p′（x）≥1－cosx≥0，故函數p（x）在［0，+∞）上單調遞增.此時p（x）min=p（0）=1－a.

①當a≤1時，p（x）≥p（0）=1－a≥0，即g′（x）≥0，故g（x）在［0，+∞）上單調遞增；

②當a＞1時，p（0）=1－a＜0，且p［ln（a+1）］=1－sin［ln（a+1）］≥0，故存在x0∈（0，ln（a+1）），使得p（x0）=g′（x0）=0.

當0＜x＜x0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x＞x0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增.

綜上所述，當a≤1時，g（x）在［0，+∞）上單調遞增；當a＞1時，g（x）在［0，+∞）上先減后增.

（2）由題可知，函數f（x）=ln（x+1）－xex－a－1的定義域為（－1，+∞），f′（x）=1x+1－ex－a－xex－a.

因為0是f（x）的一個極值點，所以f′（0）=10+1－e0-a－0×e0-a=0，解得a=0，從而f（x）=ln（x+1）－xex－1，則f′（x）=1x+1－ex－xex=1-ex（x+1）2x+1，x＞－1.

令g（x）=1－ex（x+1）2，x＞－1，則g′（x）=－ex（x+1）2－（2x+2）ex=－ex（x+3）·（x+1），x＞－1.

當x＞－1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，又g（0）=0；當x＞0時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當－1＜x＜0時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，所以x=0為函數f（x）的極大值點.

綜上所述，函數f（x）的單調遞增區間為（－1，0），單調遞減區間為（0，+∞）.

點評：借助二次求導研究函數的單調性時，要正確剖析使用場景，對函數f（x）一次求導得到f′（x）之后，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0難度較大甚至根本解不出.基于此，二次求導研究函數的單調性的基本解題步驟為設g（x）=f′（x），再求g′（x），解g′（x）＞0和g′（x）＜0，得函數g（x）的單調性與最值，則可得f′（x）的正負情況，即可知函數f（x）的單調性．

3利用導數研究含參函數的極值或最值

研究含參函數的極值或最值是在利用導數研究函數的單調性基礎上的進一步分析與應用，利用函數單調性的確定來深入探究函數相關的極值或最值.函數極值或最值問題的探究與應用，是函數單調性的深入與拓展.

例題（1）已知函數f（x）=ex－ax2－2，a∈R，試討論函數f（x）的極值點的個數.

（2）已知函數f（x）=xaex-1和g（x）=a+lnxx有相同的最大值，求實數a的值．

解析：（1）當a=0時，f（x）=ex－2是增函數，無極值點；

當a≠0時，f′（x）=ex－2ax，由f′（0）=1，得x=0不是極值點.

令ex－2ax=0（x≠0），得2a=exx，令函數h（x）=exx，則h′（x）=ex（x-1）x2.當x＜0時，h（x）＜0，且h′（x）＜0，當a＜0時，方程2a=exx有唯一小于零的解，故函數f（x）存在一個極值點；

當0＜x＜1時，滿足h′（x）＜0；當x＞1時，滿足h′（x）＞0，故h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，則知h（1）=e為h（x）的極小值，所以當0＜a＜e2時，方程2a=exx無解，函數f（x）無極值點.

當a=e2時，方程2a=exx有一個解，但當0＜x＜1時，exx＞2a，f′（x）=ex－2ax＞0；當x＞1時，exx＞2a，f′（x）=ex－2ax＞0，故函數f（x）無極值點.

當a＞e2時，方程2a=exx有兩解，函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點.

綜上所述，當a＜0時，函數f（x）存在一個極值點；當0≤a≤e2時，函數f（x）無極值點；當a＞e2時，函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點.

（2）由題可知，f′（x）=1aex-1-ex-1x（ex-1）2=1a·1-xex-1，令f′（x）=0，得x=1.

因為f（x）有最大值，所以a＞0，且函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以f（x）max=f（1）=1a.

g′（x）=1-a-lnxx2，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e1-a，易知函數g（x）在（0，e1-a）上單調遞增，在（e1-a，+∞）上單調遞減，所以g（x）max=g（e1-a）=1e1-a .

因為f（x）與g（x）有相同的最大值，所以1a=1e1-a，即lna=1－a，可得a=1，經檢驗符合題意.

點評：利用導數研究含參函數的極值或最值時，解題時要注意以下基本事項：①不能忽略函數f（x）的定義域；②f′（x0）=0是可導函數在x=x0處取得極值的必要不充分條件；③函數的極小值不一定比極大值小；④若函數在開區間上能取到最值，則最值點一定是極值點．

4結語

依托復雜函數，特別是融入冪函數、指數函數、對數函數、三角函數以及基本初等函數間的線性關系于一體，進而研究函數的基本性質問題，解題時充分借助導數方法，通過求導并結合函數的基本性質來分析與轉化，合理鏈接起不同數學知識之間的本質與聯系，突出函數與導數之間的靈活應用與巧妙轉化，對于提升學生的數學解題能力、培養數學核心素養等方面都有很好的啟智和導向功能．