圓錐曲線中角的處理方法

摘要：圓錐曲線是高考的重點與難點問題.近三年高考題中不管是主觀題還是客觀題都是以中檔題或者壓軸題為主，計算量大、靈活度高、區分度大.為了提高學生解決圓錐曲線問題的能力，一定要重計算，培養學生透過問題把握本質的能力.

關鍵詞：圓錐曲線；傾斜角；解題探索

圓錐曲線問題是幾何問題，在高中階段處理的方式常常是幾何問題代數化.本文以圓錐曲線中的角的處理方法為例，從多個角度展示了求解圓錐曲線相關問題的常見方法.

1題目呈現

已知拋物線C：y2＝6x的焦點為F，其準線l與x軸相交于點M，過點M作斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，∠AFB＝120°，則k的值為.

2題目解讀

本題以拋物線為載體，從點M出發的直線與拋物線C相交于A，B兩點，因此考查的是直線與拋物線的位置關系.在△AFB中，∠AFB的大小與直線AB的斜率息息相關，本題以∠AFB的處理為基礎建構模型來建立與k有關的方程，從而解決問題.

3本質分析

本題屬于直線與拋物線相交求直線斜率問題.直線是由兩個點或者一個點加一個方向決定.本題拋物線是定的，直線AB過點M，且直線AB與拋物線的兩交點與F的夾角是定的，因此直線的方向是定的，從而直線的斜率為定值.求k的值，從代數上來看要么直接求出，要么建立要求量的方程.題中有一個已知條件∠AFB＝120°，所以只需要將該幾何特征通過代數性質或平面幾何性質轉化成要求量的方程即可.

4多角度探究問題

4.1解三角形處理圓錐曲線有關的角的問題

思路分析：直線AB恒過點－32，0，因此直線AB可以先用點斜式的方式設出，然后將拋物線C：y2＝6x與直線AB聯立，由韋達定理得到A，B橫（縱）坐標的和與積關系，再將∠AFB＝120°放到△AFB中研究.利用弦長公式求出AB，利用拋物線的定義求出AF，BF，再利用余弦定理刻畫∠AFB，這樣得到與A，B橫坐標有關的一個等式.接著，利用配湊、設而不求等數學思想建立k的方程，從而解出k的值.

解析：當AB的斜率不存在時，AB與拋物線無交點，舍去.

當AB的斜率存在時，

在△AFB中，因為∠AFB＝120°，所以由余弦定理得AB2＝AF2＋FB2＋AF·FB.

設直線l的方程為y＝kx＋32，A（x1，y1），B（x2，y2），則

由y2＝6x，

y＝kx＋ 32，消去y整理得k2x2＋（3k2－6）x＋94k2＝0，

所以Δ＝（3k2－6）2－9k4＝36（1－k2）＞0，即－1＜k＜1，

且由韋達定理得x1＋x2＝－3k2－6k2，x1x2＝94.

由余弦定理，可列（k2＋1）（x1－x2）2＝x1＋322＋x2＋322＋x1＋32x2＋32，

所以k2（x1＋x2）2－（4k2＋3）x1x2－92（x1＋x2）－274＝0.

由韋達定理得k2·－3k2－6k22－（4k2＋3）×94－92×－3k2－6k2－274＝0，

化簡得1－4k2＝0，

所以k＝±12.

解后反思：對于已知一點要求直線斜率的問題，往往設點斜式.就本題而言，定點在x軸上，這種設法直線的斜率與縱截距都含有未知量，因此直線與拋物線聯立所得的方程過于復雜，這樣的計算量讓很多學生望而卻步，大大降低了計算的正確率.因此，可以根據已知條件以橫截距為基礎，設直線l的方程.

方法優化：由題知直線l的斜率不為0，設直線l的方程為x＝my－32，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x＝my－32，

y2＝6x，消去x整理得y2－6my＋9＝0，

所以Δ＝36m2－36＝36（m2－1）＞0，即m＜－1或m＞1.

由韋達定理得y1＋y2＝6m，y1y2＝9，

且（m2＋1）（y1－y2）2＝x1＋322＋x2＋322＋x1＋32x2＋32，

所以（m2＋1）（y1－y2）2＝m2（y21＋y22）＋m2y1y2，

即（m2＋1）（y1－y2）2＝m2（y1＋y2）2－m2y1y2，

則36（m2＋1）（m2－1）＝m2·36m2－9m2，解得m＝±2，

所以k＝±12.

解后反思：直線與拋物線相交轉化為代數關系就是兩直線方程聯立，由于本題并未要求求出點A，B的坐標，所以沒有必要利用二次方程求根公式求出兩點橫（縱）坐標.上述的解法抓住∠AFB是△AFB的內角這一幾何特征，聯想到余弦定理來處理角，水到渠成.余弦定理涉及三邊的長度，而弦長公式中還帶有根式，要處理它只能借助于平方，得到的等量關系次數高，化簡過程煩瑣，費時費力.

4.2利用斜率與傾斜角處理圓錐曲線有關的角的問題

思路分析：分析已知條件與要求的量，∠AFB的處理是本題的關鍵.觀察到本題中有直線AF的傾斜角，直線BF的傾斜角，∠AFB，這三者的關系是∠AFB＝直線BF的傾斜角－直線AF的傾斜角.由任意角的三角函數的定義知，角的正切值可以用點的橫、縱坐標表示，再關聯到正切值與斜率之間的關系，從而可以得到與A，B坐標有關的方程.

解析：當k＞0時，即m＞0，不妨設A在B的上方，直線AF，BF的傾斜角分別為α，β.

因為－3＝tan120°＝tan（β－α）＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝ y2x2－32－y1x1－321＋ y2x2－32· y1x1－32，

所以－3·x1－32x2－32－3y1y2＝y2x1－32－y1·x2－32，

整理得－（m2＋1） y1y2＋3m（y1＋y2）－9＝3（y1－y2），

解得m＝2.

同理，m＜0時，得到m＝－2.

綜上所述，m＝±2.

解后反思：上述解法通過將一個角看成另兩個角的差來解決，體現了平面幾何中處理問題的一個常見思想，即圖形割補.利用兩角和差的正切公式，聯系了正切與斜率之間的關系，使得代數與幾何有機的聯系在一起，巧妙地實現了幾何問題代數化.

4.3利用到角公式處理圓錐曲線有關的角的問題

思路分析：題目中的∠AFB可以看成直線AF按逆時針方向旋轉到與BF重合時所轉的角，因此∠AFB也可以用到角公式來刻畫，然后將斜率用坐標表示.

解析：當k＞0時，不妨設A在B的上方，直線AF，BF的斜率分別為k1，k2.

由到角公式得tan120°＝k2－k11＋k1k2＝ y2x2－32－y1x1－321＋ y2x2－32· y1x1－32，接下來化簡，方法同上.

解后反思：任意角三角函數的定義強調始邊與終邊，而到角公式很好地詮釋了這一點.

4.4利用向量與向量夾角處理圓錐曲線有關的角的問題

思路分析：題目中的∠AFB也可以看成向量FA與FB的夾角，接著向量FA，FB坐標化，再根據向量夾角公式將∠AFB＝120°代數化，從而得到關于x1， x2，y1，y2的方程.

解析：設直線AB的方程為x＝my－32，A（x1，y1），B（x2，y2）.

因為FA·FB＝－12FA·FB，

所以x1－32x2－32＋y1y2＝－12x1＋32·x2＋32，

即（3m2＋2）×9－6m×6m＋18＝0，

解得m＝±2.

解后反思：向量既是代數也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁.題中A，B兩點已經設出，點F又是已知的，因此FA與FB用坐標表示簡單，從而完成了∠AFB的用向量建構，并且解決了上述方法次數過高的問題.

4.5利用平面幾何知識處理圓錐曲線有關的角的問題

思路分析：利用拋物線的定義將焦半徑AF，BF轉準線，將MB和MA的比值作為橋梁，利用平行線所截得的線段成比例，得到AN＝AF，于是△AFN是一個等腰三角形，再由∠AFB的角度得到∠AFN的角度，此時△AFN為一個已知三角形.直線l的斜率可以看成Rt△AFD的一個正弦值，從而得到與△AFD邊長之間的關系.

解析：不妨設k＞0，如圖1所示.

作AN∥BF，交x軸于N，過A作AD垂直于x軸，交x軸于D.

因為BFAF＝BB1AA1＝MBMA＝BFAN，

所以AN＝AF.又∠FAN＝∠AFB＝2π3，所以∠ANM＝π6，

所以k＝tan∠AMD＝ADMD＝ADAA1＝ADAF＝12，

所以k＝12.

同理，k＜0時，得到k＝－12.

綜上所述，k＝±12.

解后反思：角度的證明與計算是一個幾何問題.幾何問題從難易程度來看是特殊圖形比較簡單，本題正是體現了這樣的思維過程.先利用幾何性質的轉化得到△AFN為特殊的三角形，然后將要求的量往已知三角形轉就可以求解.

5反思總結

解析幾何問題是幾何與代數的結合體.解析幾何的問題基于圖形的理解，求解過程代數化，代數化選擇過程體現了對幾何性質本質的理解.解析幾何代數化的過程普遍存在計算量大、處理問題角度多等問題，這使得學生無法選擇一個最合適的方法.教師要注重問題的分析、模型的建構、算理的講解，讓學生明白問題現在在哪里，要到哪里去，途中會遇到什么，下面該怎么解決，使得問題變得有跡可循、有法可依.總之，教師應該引導學生積極發揮主動性，真正有效地把握問題本質，學會建構模型［1］，增強計算能力，提高問題解決的能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.