一種混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)振動(dòng)有源控制策略

摘要： 針對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)海水泵振動(dòng)有源控制的魯棒性和穩(wěn)定性問(wèn)題，基于卡爾曼濾波（Kalman filter，KF）算法，提出一種混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)振動(dòng)有源控制策略。建立了系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)方程、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及測(cè)量矩陣等，搭建了混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)振動(dòng)有源控制系統(tǒng)模型。為提高算法的收斂性能，提出一種測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣的在線更新策略。對(duì)多頻激勵(lì)下的頻率突變、幅值突變進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明，所提控制策略可有效減弱參考信號(hào)與振動(dòng)源信號(hào)的強(qiáng)相關(guān)性；實(shí)現(xiàn)了在高斯白噪聲作為參考信號(hào)的前提下，振動(dòng)有源控制仍然有效；魯棒性、穩(wěn)定性和控制效果均優(yōu)于變步長(zhǎng)FxLMS算法。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)有源控制； 多頻激勵(lì)； 卡爾曼濾波

中圖分類號(hào)： TB535；TP273+.2""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）12-2086-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.12.010

收稿日期： 2023-07-27； 修訂日期： 2023-10-10

基金項(xiàng)目："國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51775124）。

引" 言

隨著船舶/海洋平臺(tái)等動(dòng)力機(jī)械對(duì)低頻振動(dòng)控制的要求不斷提高，關(guān)于低頻振動(dòng)控制策略的問(wèn)題受到廣泛關(guān)注［1］。低頻振動(dòng)控制主要采用有源控制（Active Vibration Control， AVC）的方式。振動(dòng)有源控制系統(tǒng)主要由傳感器、控制器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)等組成。一般情況下，在船舶航行過(guò)程中動(dòng)力設(shè)備啟停及運(yùn)轉(zhuǎn)，以及傳感器的精度和適應(yīng)環(huán)境的能力等均會(huì)對(duì)振動(dòng)有源控制系統(tǒng)造成影響。由于傳感器老化、失效等原因，導(dǎo)致采集的參考信號(hào)與振動(dòng)源信號(hào)產(chǎn)生偏差，會(huì)引起頻率及幅值的突變，極易造成有源控制系統(tǒng)的失效。在AVC領(lǐng)域，經(jīng)典的控制策略為濾波?x最小均方算法（簡(jiǎn)稱FxLMS）。但FxLMS算法在處理多頻激勵(lì)源時(shí)，多采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，過(guò)度依賴參考信號(hào)的輸入，致使算法的收斂性和魯棒性較差［2?4］。減弱參考信號(hào)與初級(jí)振源之間的強(qiáng)相關(guān)性需求是提高振動(dòng)有源控制效果的突破口之一。近年來(lái)，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的興起，有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了探索，但由于計(jì)算量過(guò)大導(dǎo)致其很難在實(shí)際中廣泛應(yīng)用，而KF算法在處理動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的噪聲和不確定性方面表現(xiàn)出色，能夠更精確地估計(jì)信號(hào)的狀態(tài)。

梁清等［5］采用FxKalman算法對(duì)單頻、窄帶和寬帶信號(hào)進(jìn)行了仿真及實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了其收斂速度優(yōu)于FxLMS和FxRLS。王磊等［6］針對(duì)有源頭靠噪聲控制問(wèn)題，采用前饋KF算法，有效提高算法的收斂速度并提升控制效果，同時(shí)提出了不確定性協(xié)方差矩陣的在線更新策略，降低了算法計(jì)算復(fù)雜度。

本文基于濾波理論和控制理論思想，結(jié)合KF算法，提出一種混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)振動(dòng)有源控制策略，通過(guò)提高量測(cè)信息包含的信息量，用以減少引入噪聲及后驗(yàn)估計(jì)對(duì)控制效果的影響。本研究提出的控制策略具有更好的控制效果及魯棒性，將本文方法與變步長(zhǎng)FxLMS算法（簡(jiǎn)稱VSSFxLMS）進(jìn)行比較，仿真表明，所提控制策略在收斂速度、控制效果及魯棒性方面均優(yōu)于經(jīng)典算法，為減弱參考信號(hào)與初級(jí)振源的強(qiáng)相關(guān)性需求提供了有效途徑，實(shí)現(xiàn)了對(duì)非平穩(wěn)頻率失調(diào)振動(dòng)的有效抑制。

1 混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)AVC系統(tǒng)

KF算法是根據(jù)貝葉斯估計(jì)推導(dǎo)得出的，是目前最接近貝葉斯濾波的次優(yōu)濾波算法之一，其主要特點(diǎn)為：抗干擾能力強(qiáng)、可跟蹤隨機(jī)信號(hào)。考慮到影響KF算法準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素之一是新息方程，即測(cè)量值與預(yù)測(cè)值的差值，因此新息方程包括的信息量越多、越準(zhǔn)，對(duì)狀態(tài)量的估計(jì)越準(zhǔn)確［7?9］。在振動(dòng)有源控制過(guò)程中只有誤差信息包括了所有的信息量，因此在前饋算法的基礎(chǔ)上，提出一種混合結(jié)構(gòu)。

在最優(yōu)估計(jì)過(guò)程中需重點(diǎn)構(gòu)建以下矩陣方程及統(tǒng)計(jì)信息：狀態(tài)預(yù)測(cè)方程、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、測(cè)量矩陣、新息方程、過(guò)程噪聲激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性、測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)特性等［10?11］。建立混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)AVC系統(tǒng)有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是選取誤差信號(hào)真實(shí)值。在振動(dòng)有源控制模型當(dāng)中，誤差信號(hào)包含了大量信息，以此為真實(shí)值，作為預(yù)測(cè)值的修正更接近實(shí)際，更容易收斂；二是建立輸入信號(hào)與真實(shí)值的關(guān)系，即新息方程?？刂破鞯妮斎虢?jīng)過(guò)次級(jí)通道得到的濾波信號(hào)被定義為觀測(cè)矩陣，控制濾波器階數(shù)為狀態(tài)更新矩陣維數(shù)；三是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在短時(shí)間內(nèi)，控制當(dāng)前時(shí)刻的濾波器權(quán)系數(shù)與下一時(shí)刻近似一樣，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣被定義為單位矩陣。KF算法通過(guò)協(xié)方差矩陣的更新提高預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，該協(xié)方差矩陣包含了各參數(shù)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，在預(yù)測(cè)值隨時(shí)間傳遞的同時(shí)，不確定性也隨之迭代到下一步，不確定性的估計(jì)旨在通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)值與修正值的不斷修正，使其達(dá)到一種動(dòng)態(tài)的平衡?；贙F的混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)AVC系統(tǒng)框圖如圖1所示。

為初級(jí)通道傳遞函數(shù)；為干擾信號(hào)經(jīng)初級(jí)通道后的期望信號(hào)；為次級(jí)通道傳遞函數(shù)，為次級(jí)通道的估計(jì)；xf（n）表示算法反饋結(jié)構(gòu)中的參考信號(hào)；為誤差信號(hào)。和分別為前饋結(jié)構(gòu)和反饋結(jié)構(gòu)的控制濾波器權(quán)系數(shù)；和分別為前饋結(jié)構(gòu)和反饋結(jié)構(gòu)中參考信號(hào)經(jīng)過(guò)次級(jí)通道的輸入，對(duì)應(yīng)KF算法中的測(cè)量矩陣；和分別為前饋結(jié)構(gòu)和反饋結(jié)構(gòu)的輸出。KF算法中的遞推過(guò)程可以劃分為時(shí)間更新和量測(cè)更新兩個(gè)過(guò)程。在時(shí)間更新中，將控制濾波器權(quán)系數(shù)作為狀態(tài)空間變量，則系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為：

（1）

式中" n表示時(shí)刻；為先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)值，由n時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和n-1時(shí)刻狀態(tài)的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)值求得?？紤]模型具有一定的不確定性，用0均值的白噪聲來(lái)表示。由于系統(tǒng)在預(yù)測(cè)過(guò)程中始終處于動(dòng)態(tài)平衡，隨著對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，這種不確定性也隨之進(jìn)行迭代，由協(xié)方差矩陣性質(zhì)可得協(xié)方差預(yù)測(cè)方程為：

（2）

式（1）和（2）統(tǒng)稱為時(shí)間更新方程。

下面通過(guò)量測(cè)信息對(duì)其修正，狀態(tài)更新方程為：

（3）

式中" 為新息方程，通過(guò)新息方程引入誤差信號(hào)包含的噪聲信息。為濾波增益矩陣，表示為：

（4）

式中" 為測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣，主要表示測(cè)量過(guò)程中的不確定性。

由于過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲的引入，協(xié)方差矩陣更新為：

（5）

式（1）～（5）即為應(yīng)用于振動(dòng)有源控制的KF算法。本文僅考慮單通道主動(dòng)控制，總結(jié)各變量釋義如表1所示。

對(duì)KF算法和變步長(zhǎng)FxLMS算法（簡(jiǎn)稱VSSFxLMS）的運(yùn)算量進(jìn)行對(duì)比，其中VSSFxLMS算法參照文獻(xiàn)［12］，單次迭代各算法計(jì)算量詳見(jiàn)表2，其中L和H分別為辨識(shí)過(guò)程和控制過(guò)程的階數(shù)。從表2中可以看出，混合KF算法的計(jì)算量較大。

2 測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣的在線更新策略

考慮到在振動(dòng)有源控制過(guò)程中，觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性會(huì)對(duì)濾波器的估計(jì)精度和收斂速度產(chǎn)生較大的影響。針對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)方程建模的不精確問(wèn)題，利用測(cè)量信息，即誤差信號(hào)，對(duì)測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。

經(jīng)過(guò)時(shí)間更新過(guò)程得到n時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和先驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差矩陣?；贙F算法量測(cè)更新過(guò)程，得到n時(shí)刻的量測(cè)預(yù)測(cè)值：

（6）

式中" M表示數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。

則，n時(shí)刻的新息方程為：

（7）

對(duì)式（7）兩側(cè)求方差，得到n時(shí)刻的量測(cè)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣：

（8）

式中" 。

令·

測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣：

（9）

式中" 在理論上表示隨機(jī)序列的集總平均，然而在自適應(yīng)濾波算法的實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)以時(shí)間平均代替，因此的等加權(quán)遞推估計(jì)可構(gòu)造如下：

利用指數(shù)漸消記憶加權(quán)的方式替代等加權(quán)平均方式以減弱過(guò)去觀測(cè)噪聲的影響，則式（10）變?yōu)椋?/p>

（11）

（12）

由式（12）可以看出，加權(quán)系數(shù)的初值，b為漸消因子，取值范圍為。當(dāng)n足夠大時(shí)，近似有，因此b取值越小，陳舊噪聲的影響越小，通常b在0.9～0.99范圍內(nèi)取值。由式（11）可以看出，如果實(shí)際系統(tǒng)的觀測(cè)噪聲與理論建模值相比偏小，則會(huì)比較??；如果狀態(tài)噪聲設(shè)置偏大，則會(huì)比較大。以上兩種情況都可能導(dǎo)致，從而容易使失去正定性，引起濾波異常。為避免此問(wèn)題的發(fā)生，將的估計(jì)形式修改為漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)。隨著n的增加，會(huì)逐漸減小趨近于零，因此，的漸近無(wú)偏估計(jì)形式如下：

（13）

由式（13）可以看出，只要初始設(shè)置的是正定陣，且滿足，那么在整個(gè)自適應(yīng)估計(jì)過(guò)程中會(huì)一直保持正定，提高了算法的魯棒性。

另一方面，由于對(duì)的估計(jì)采用了漸近無(wú)偏估計(jì)形式，在濾波開(kāi)始階段系統(tǒng)狀態(tài)協(xié)方差陣還未收斂，此時(shí)忽略了項(xiàng)可能會(huì)在估計(jì)過(guò)程中引入較大的誤差，嚴(yán)重時(shí)可能造成濾波器不穩(wěn)定，因此在濾波開(kāi)始階段不宜對(duì)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)?；诖?，將加權(quán)系數(shù)改為如下分段形式：

（14）

式中" N為預(yù)設(shè)的正整數(shù)。

最后，利用測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)值進(jìn)行KF算法量測(cè)更新，即估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)和狀態(tài)協(xié)方差矩陣。

3 仿真與分析

以電機(jī)驅(qū)動(dòng)海水泵為應(yīng)用背景進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。仿真數(shù)據(jù)來(lái)自電機(jī)驅(qū)動(dòng)海水泵振動(dòng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。采樣頻率=1000 Hz。辨識(shí)過(guò)程和控制過(guò)程的濾波器階數(shù)均為256。初級(jí)振源分別為頻率為55，45和35 Hz的正弦信號(hào)，均進(jìn)行4倍頻諧波的仿真，幅值依次設(shè)定為0.2，0.15，0.1和0.08。為驗(yàn)證魯棒性能，參考信號(hào)依次設(shè)為同初級(jí)振源信號(hào)、非相關(guān)頻率60 Hz正弦信號(hào)和高斯白噪聲。為驗(yàn)證穩(wěn)定性，分別對(duì)頻率突變及幅值突變進(jìn)行仿真。為驗(yàn)證所提算法應(yīng)對(duì)非穩(wěn)態(tài)激勵(lì)的控制性能，對(duì)時(shí)變頻率及時(shí)變幅值進(jìn)行仿真，同時(shí)考慮自適應(yīng)的影響以及收斂速度，從而全面分析混合KF算法的振動(dòng)有源控制性能。

在AVC控制之前，首先對(duì)作動(dòng)器與傳感器之間的傳遞函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，辨識(shí)效果如圖2所示。

3.1 魯棒性分析

為驗(yàn)證混合KF算法的有效性，首先與VSSFxLMS算法進(jìn)行對(duì)比。設(shè)置參考信號(hào)為初級(jí)振源，降噪性能用表示，單位為dB，計(jì)算公式如下：

（15）

式中" 為有源控制后誤差信號(hào)的傅氏變換；為初級(jí)振源信號(hào)的傅氏變換。初級(jí)振源和參考信號(hào)均不帶噪。頻域控制效果如圖3所示。

由圖3可知，在自適應(yīng)過(guò)程收斂后，混合KF算法各倍頻處的降噪性能明顯優(yōu)于VSSFxLMS算法，且降噪幅度較大。但前饋KF算法與混合KF算法控制效果相近，主要原因?yàn)閰⒖夹盘?hào)同干擾源信號(hào)，導(dǎo)致混合KF結(jié)構(gòu)中反饋的誤差信號(hào)不再提供新的信息，因此失去了新息方程修正的作用。當(dāng)參考信號(hào)與干擾源信號(hào)出現(xiàn)差異時(shí)，混合KF控制效果將明顯優(yōu)于前饋KF控制效果。下文分析驗(yàn)證混合KF算法的魯棒性能。

為驗(yàn)證混合KF算法的魯棒性能，初級(jí)振源選用45 Hz及4倍頻諧波，參考信號(hào)分別設(shè)置為頻率為60 Hz正弦信號(hào)和均值為零、方差為1的高斯白噪聲（White Gaussian Noise， WGN）），其頻域控制降噪效果如圖4和表3所示。

根據(jù)仿真結(jié)果可知，VSSFxLMS算法控制效果較差，前饋KF算法在控制效果方面略優(yōu)于VSSFxLMS算法，混合KF算法控制效果顯著。

從理論角度分析：基于LMS算法的自適應(yīng)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抵消干擾源信號(hào)中與參考信號(hào)相關(guān)的分量，只保留與其不相關(guān)的分量；基于KF算法的自適應(yīng)過(guò)程是基于貝葉斯估計(jì)，當(dāng)新息方程包含的信息越多，得到的最優(yōu)值越準(zhǔn)。綜上所述，無(wú)論從理論推導(dǎo)，還是仿真結(jié)果分析，混合KF算法的魯棒性能明顯優(yōu)于VSSFxLMS算法的魯棒性能。

3.2 頻率突變

初級(jí)振源在25 s時(shí)，頻率突變量設(shè)置為8%，信噪比約為10∶1，參考信號(hào)分別設(shè)置為突變前信號(hào)和WGN，分別對(duì)VSSFxLMS和混合KF進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

由仿真結(jié)果可知，在降噪性能方面，混合KF算法優(yōu)于VSSFxLMS算法。

由理論分析得，兩種參考信號(hào)相比，當(dāng)參考信號(hào)為WGN時(shí)，測(cè)量值與真實(shí)值的差值較大，導(dǎo)致最優(yōu)估計(jì)偏差變大，因此，當(dāng)參考信號(hào)越接近初級(jí)振源信號(hào)時(shí)，降噪性能越好，理論與仿真結(jié)果吻合?？紤]在頻率突變過(guò)程中，混合KF算法中的測(cè)量噪聲協(xié)方差陣仍為固定值，這不利于降噪性能的提升。因此，下文對(duì)測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，選取突變頻率為45 Hz進(jìn)行仿真。

圖6給出了Np對(duì)比，調(diào)用自適應(yīng)后，在各倍頻處降噪性能明顯提升。調(diào)用自適應(yīng)前=1，調(diào)用自適應(yīng)后，收斂至較低的值，不確定性范圍縮小，利于收斂和最優(yōu)估計(jì)值。因此，調(diào)用自適應(yīng)后，能夠有效跟蹤信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化。

3.3 幅值突變

初級(jí)振源在25 s時(shí)，設(shè)置幅值突變量為原來(lái)的2倍，信噪比約為10∶1，參考信號(hào)分別設(shè)置為突變前信號(hào)和WGN，分別對(duì)VSSFxLMS和混合KF進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

由仿真結(jié)果得，混合KF算法在降噪性能方面優(yōu)于VSSFxLMS算法。當(dāng)參考信號(hào)為突變前信號(hào)時(shí)，混合KF算法的控制效果最佳，當(dāng)參考信號(hào)為WGN時(shí)，控制效果明顯下降，但仍優(yōu)于VSSFxLMS算法。由理論分析得，當(dāng)參考信號(hào)為WGN時(shí)，引入的白噪聲會(huì)在控制過(guò)程中進(jìn)行傳遞，會(huì)對(duì)有用信號(hào)跟蹤產(chǎn)生影響，因此理論與仿真結(jié)果吻合。

與頻率突變相同，當(dāng)參考信號(hào)越接近初級(jí)振源信號(hào)時(shí)，降噪性能越好。選取幅值突變頻率為45 Hz進(jìn)行測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣仿真。

由圖8可知，調(diào)用自適應(yīng)后，幅值突變頻域控制效果明顯提升，調(diào)用自適應(yīng)前=1，調(diào)用自適應(yīng)后，收斂至較低的值，不確定性范圍縮小，有利于增強(qiáng)初級(jí)振動(dòng)源擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，本文所提的測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣能夠在線更新策略，有效跟蹤信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化。

4 結(jié)" 論

針對(duì)振動(dòng)有源控制算法的魯棒性和穩(wěn)定性問(wèn)題，提出一種混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制策略，不同于經(jīng)典的FxLMS算法，參考信號(hào)可為白噪聲。通過(guò)仿真結(jié)果分析，在初級(jí)振動(dòng)源特性突變情況下，如頻率和幅值的突變，混合KF算法的控制效果均優(yōu)于VSSFxLMS算法。同時(shí)測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣在線更新策略在應(yīng)對(duì)頻率突變、幅值突變時(shí)效果良好。因此，本文搭建的混合結(jié)構(gòu)自適應(yīng)振動(dòng)有源控制策略在魯棒性和穩(wěn)定性方面優(yōu)于VSSFxLMS算法。為振動(dòng)有源控制提供了一種控制策略。

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A hybrid structure adaptive vibration active control strategy

YANG Yu-liang1， ZHOU Jun-cheng2， LIU Xue-guang1， WANG Yan-yan2， FENG feng2

（1.College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China； 2.Yantai Research Institute，Harbin Engineering University， Yantai 264000， China）

Abstract： Aiming at the robustness and stability of the vibration active control of motor-driven seawater pumps， a hybrid structure adaptive vibration active control strategy is proposed based on the Kalman filter （KF） algorithm， which establishes the system state prediction equations， state transfer matrix and measurement matrix， and builds a hybrid structure adaptive vibration active control system model. In order to improve the convergence performance of the algorithm， an online update strategy for the measurement noise covariance matrix is proposed. Simulation results show that the new control strategy effectively overcomes the strong correlation between the reference signal and the vibration source based on the classical Filtered x Least Mean Square algorithm （“FxLMS”）， and realizes effective vibration active control under the premise that Gaussian white noise is used as the reference signal. The robustness， stability， and control effect of the proposed strategy are all superior to that of the FxLMS algorithm with a variable step size. The results provide theoretical support for engineering practice and have certain potential application value.

Key words： active vibration control；multi-frequency excitation；Kalman filter

作者簡(jiǎn)介： 楊玉良（1989―），男，博士研究生。電話：（0535）2607689；E-mail： yliangy90@163.com。

通訊作者： 劉學(xué)廣（1973―），男，博士，教授。E-mail： liuxueguang@hrbeu.edu.cn。