中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的研究綜述及實(shí)踐建議

摘 要：在中國(guó)知網(wǎng)中，檢索得到237篇關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的文獻(xiàn)。采用文獻(xiàn)計(jì)量法統(tǒng)計(jì)各年的發(fā)文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機(jī)構(gòu)、論文作者和論文關(guān)鍵詞共現(xiàn)、突現(xiàn)的知識(shí)圖譜，進(jìn)行分析；采用內(nèi)容分析法，分理論基礎(chǔ)、內(nèi)涵、原則、方式、存在的問(wèn)題、優(yōu)化的策略六個(gè)主題梳理論文的主要觀點(diǎn)。進(jìn)而，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的實(shí)踐提出建議；巧借數(shù)學(xué)史料，豐富留白內(nèi)容；構(gòu)建評(píng)價(jià)體系，調(diào)控留白行為。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂；留白；研究綜述；文獻(xiàn)計(jì)量；內(nèi)容分析

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷推進(jìn)，“以學(xué)生發(fā)展為本”理念的逐步增強(qiáng)，留白在數(shù)學(xué)課堂中顯得越來(lái)越重要，課堂留白成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一個(gè)重要話(huà)題。目前，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的研究成果豐碩，但是，該領(lǐng)域研究成果的綜述還很少。尹超采用質(zhì)性研究的方法，從內(nèi)涵、價(jià)值、教學(xué)策略、教學(xué)原則等方面回顧了中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的研究成果，并展望了未來(lái)的研究方向，但是，沒(méi)有深入剖析課堂留白的理論基礎(chǔ)以及存在的問(wèn)題，也缺少更加量化和直觀的梳理。［1］

基于此，筆者在中國(guó)知網(wǎng)的高級(jí)檢索中輸入“數(shù)學(xué)課堂留白”“數(shù)學(xué)課堂布白”“數(shù)學(xué)課堂空白”三個(gè)主題，用“or”連接，設(shè)置截止時(shí)間為2023年12月31日（不設(shè)置起始時(shí)間），進(jìn)行“主題”檢索，得到294篇文獻(xiàn)；剔除關(guān)于職業(yè)教育的和主要內(nèi)容不是數(shù)學(xué)課堂留白的文獻(xiàn)，得到237篇關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的文獻(xiàn)。對(duì)此，采用文獻(xiàn)計(jì)量法統(tǒng)計(jì)各年的發(fā)文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機(jī)構(gòu)、論文作者和論文關(guān)鍵詞的知識(shí)圖譜，進(jìn)行分析；采用內(nèi)容分析法，分主題梳理論文的主要觀點(diǎn)。進(jìn)而，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的實(shí)踐提出一些建議。

一、 研究綜述

（一） 年發(fā)文量分析

統(tǒng)計(jì)各年的發(fā)文量，可以整體把握研究的變化趨勢(shì)。有關(guān)文獻(xiàn)的年發(fā)文量的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示。由圖可知，1996—2023年，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白的研究總體呈現(xiàn)“先波動(dòng)增加，后波動(dòng)下降”的趨勢(shì)，具體可以分為三個(gè)階段：（1） 穩(wěn)定保持期（1996—2008年），這一階段年發(fā)文量都很小，保持在1—2篇；（2） 快速增長(zhǎng)期（2009—2014年），這一階段年發(fā)文量開(kāi)始大幅增加，6年內(nèi)增加到28篇；（3） 波動(dòng)下降期（2015—2023年），這一階段年發(fā)文量起伏較大，且整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。

（二） 研究機(jī)構(gòu)和論文作者分析

分析研究機(jī)構(gòu)和論文作者，可以明確主要研究力量的分布及合作關(guān)系，對(duì)進(jìn)一步關(guān)注相應(yīng)領(lǐng)域的研究發(fā)展方向具有重要意義。

繪制研究機(jī)構(gòu)的知識(shí)圖譜（圖略），分析發(fā)現(xiàn)，研究機(jī)構(gòu)主要有兩大類(lèi)。第一類(lèi)是中小學(xué)，其占比更高，集中在江蘇地區(qū)，偶爾有廣西地區(qū)和福建地區(qū)的；第二類(lèi)是高等院校，其占比較低，所在的地區(qū)較為廣泛，主要有蘇州大學(xué)、南京師范大學(xué)、重慶師范大學(xué)、西南大學(xué)、華中師范大學(xué)等。同時(shí)，研究機(jī)構(gòu)之間的合作關(guān)系較為薄弱。

繪制論文作者的知識(shí)圖譜（圖略），分析發(fā)現(xiàn)，論文作者主要包括中小學(xué)教師、碩士研究生。中小學(xué)教師是數(shù)學(xué)課堂留白研究的核心力量，其研究成果大多數(shù)與課堂實(shí)例相結(jié)合，具有實(shí)踐性；碩士研究生主要對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白進(jìn)行獨(dú)立研究，其研究?jī)?nèi)容各具特色。綜合看來(lái)，研究者對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白的研究較為獨(dú)立、分散，研究者之間的協(xié)作程度有待提高。

（三） 論文關(guān)鍵詞分析

關(guān)鍵詞共現(xiàn)知識(shí)圖譜中，節(jié)點(diǎn)和字體越大，說(shuō)明相應(yīng)關(guān)鍵詞出現(xiàn)的頻次越多，即受到的關(guān)注越多；連線越多，說(shuō)明相應(yīng)關(guān)鍵詞的中心性越大，即重要性（影響力）越大。分析關(guān)鍵詞出現(xiàn)的頻次和中心性，可以明確研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。有關(guān)文獻(xiàn)的關(guān)鍵詞共現(xiàn)知識(shí)圖譜如圖2所示。其中，出現(xiàn)頻次居于前20位的關(guān)鍵詞（出現(xiàn)的頻次、中心性）分別是留白（56、0.29）、課堂留白（44、0.35）、課堂教學(xué)（31、0.41）、高中數(shù)學(xué)（27、0.17）、小學(xué)數(shù)學(xué)（25、0.83）、初中數(shù)學(xué)（20、0.48）、留白藝術(shù)（13、0.56）、數(shù)學(xué)教學(xué)（13.0.50）、數(shù)學(xué)（10、0.16）、數(shù)學(xué)課堂（7、0.09）、課堂（7.0.05）、教學(xué)策略（7、0.14）、空白（5、0.08）、空白藝術(shù)（5、0.27）、藝術(shù)（5、0.02）、策略（5、0.10）、數(shù)學(xué)思維（5、0.02）、深度學(xué)習(xí)（3、0.09）、探究（3、0.10）、反思（3、0.13）。合并同義/近義詞，分析發(fā)現(xiàn)，研究者主要關(guān)注課堂留白（藝術(shù)）、課堂教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)等關(guān)鍵詞，并對(duì)留白進(jìn)行了顯性、隱性、綜合等的分類(lèi)，導(dǎo)入、提問(wèn)、探究、評(píng)價(jià)、反思、總結(jié)等方式的介紹，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、鍛煉數(shù)學(xué)思維、激發(fā)求知欲望等價(jià)值的論述，同時(shí)研究全面關(guān)注了小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課堂的留白（藝術(shù)）。

關(guān)鍵詞突現(xiàn)知識(shí)圖譜能夠顯示關(guān)鍵詞出現(xiàn)的時(shí)間分布和動(dòng)態(tài)變化，可以用來(lái)預(yù)測(cè)研究的發(fā)展趨勢(shì)。有關(guān)文獻(xiàn)突現(xiàn)強(qiáng)度居于前12位的關(guān)鍵詞的突現(xiàn)知識(shí)圖譜如圖3所示。合并同義/近義詞，分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)課堂留白領(lǐng)域的核心研究?jī)?nèi)容幾乎沒(méi)有改變；2011年以后突現(xiàn)的關(guān)鍵詞逐漸增多，主要原因可能是數(shù)學(xué)課堂留白研究開(kāi)始進(jìn)入激增階段；近4年突現(xiàn)的關(guān)鍵詞“數(shù)學(xué)思維”“深度學(xué)習(xí)”等是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)話(huà)題，體現(xiàn)出研究者開(kāi)始關(guān)注現(xiàn)代教育理念下數(shù)學(xué)課堂留白的發(fā)展，從不同的視角對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白進(jìn)行了深入的研究。

（四） 論文內(nèi)容分析

有關(guān)文獻(xiàn)的研究?jī)?nèi)容各有側(cè)重，主要涉及數(shù)學(xué)課堂留白的理論基礎(chǔ)、內(nèi)涵、原則、方式、存在的問(wèn)題、優(yōu)化的策略等。下面，分別對(duì)這些方面的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行分析。

1. 理論基礎(chǔ)分析

數(shù)學(xué)課堂留白的理論基礎(chǔ)深厚，包括美學(xué)、心理學(xué)、教育學(xué)三個(gè)角度的理論依據(jù)。美學(xué)的角度：中國(guó)傳統(tǒng)繪畫(huà)注重虛實(shí)的辯證統(tǒng)一與相生相襯，為數(shù)學(xué)課堂留白賦予了美學(xué)底蘊(yùn)；數(shù)學(xué)課堂中的虛虛實(shí)實(shí)留下了無(wú)盡的想象空間［23］。心理學(xué)的角度：格式塔心理學(xué)派的“完形壓強(qiáng)”理論揭示，有空白或缺陷的事物會(huì)推動(dòng)大腦積極活動(dòng)，以填補(bǔ)這些空白和缺陷［45］；當(dāng)作者在作品中有意留下空白，觀者會(huì)主動(dòng)填補(bǔ)空白，這種心理活動(dòng)叫作“連情心理”［6］；蔡格尼克效應(yīng)揭示，面對(duì)數(shù)學(xué)課堂中留而未講的空白，學(xué)生會(huì)保持深刻的記憶［7］；留白后需等待學(xué)生回答，回答后需等待教師（同學(xué)）評(píng)價(jià)，課堂教學(xué)中的合理留白是“等待時(shí)間”理論的一種重要運(yùn)用［8］。教育學(xué)角度：新課改理念強(qiáng)調(diào)，教師應(yīng)該提供豐富

的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在自主探究與合作交流中，深刻理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本思想和方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［910］；“參與者知識(shí)觀”強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)知識(shí)不是結(jié)論性產(chǎn)品，而是需要個(gè)人參與建構(gòu)、探索的生產(chǎn)性過(guò)程——課堂留白留給了學(xué)生親身從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的機(jī)會(huì)［11］。

總體而言，數(shù)學(xué)課堂留白的理論基礎(chǔ)在于：美學(xué)中，留白創(chuàng)造了自由想象的空間；心理學(xué)中，自主補(bǔ)白能完善有缺陷的事物；教育學(xué)中，留白提供了活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展了多元的能力。

2. 內(nèi)涵分析

數(shù)學(xué)課堂留白的內(nèi)涵沒(méi)有統(tǒng)一的表述，但是，其實(shí)質(zhì)都是留下時(shí)間和空間給學(xué)生。有研究認(rèn)為：數(shù)學(xué)課堂留白是指，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)的某些環(huán)節(jié)，有意留出時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主思考、感悟，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從事數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解提供機(jī)會(huì)［12］；或者說(shuō)，在課堂上不把所有內(nèi)容塞給學(xué)生，而故意留下理解的“缺口”，給學(xué)生時(shí)間和空間填入自己思考的結(jié)果，不以確定的學(xué)習(xí)內(nèi)容填滿(mǎn)整個(gè)教學(xué)時(shí)段，而有意識(shí)地留下一段時(shí)間，讓學(xué)生思考屬于自己的數(shù)學(xué)［13］。

總體而言，數(shù)學(xué)課堂留白是一種“雖無(wú)但有”的教學(xué)方式：在沒(méi)有教師滿(mǎn)堂灌，而有空間時(shí)間、學(xué)習(xí)主體、思考探索的情形下，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升數(shù)學(xué)思維能力和自主學(xué)習(xí)能力。

3. 原則分析

為避免無(wú)效的課堂留白，很多研究者都提出了課堂留白應(yīng)當(dāng)遵循的基本原則。總體看來(lái)，研究者圍繞課堂留白實(shí)踐中出現(xiàn)的問(wèn)題，從教學(xué)和師生的角度提出了相應(yīng)的原則，觀點(diǎn)比較一致。具體來(lái)看，主要包括四大原則：

第一，目的性原則。這是針對(duì)留白目標(biāo)不夠明確、教學(xué)任務(wù)隨意更改、教師放任學(xué)生自流提出的。留白是課堂教學(xué)的組成部分，是為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的。因此，課堂留白要遵循目的性原則，有明確的目的性和鮮明的針對(duì)性。［14］

第二，適度性原則。包括留白難度、留白次數(shù)、留白時(shí)間三個(gè)方面的適度。課堂留白的難度要落在學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律；可采取階梯式問(wèn)題串的形式，逐步提升課堂留白的難度。［15］課堂需要留白，但是不能處處留白；留白次數(shù)過(guò)多，會(huì)使學(xué)生疲于應(yīng)對(duì)，無(wú)法提升思維深度；要根據(jù)不同課型、不同教學(xué)重難點(diǎn)，調(diào)整留白的次數(shù)。［16］留白的時(shí)間也要適度，例如：回憶舊知、理解概念、運(yùn)用公式時(shí)，留白的時(shí)間可相對(duì)縮短；探究、變式、拓展時(shí)，留白的時(shí)間可相對(duì)延長(zhǎng)。［17］

第三，主體與主導(dǎo)相協(xié)調(diào)原則。在強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體性的同時(shí)，不能忽視教師的主導(dǎo)性。課堂留白時(shí)，學(xué)生自主、合作的“探究”活動(dòng)增多，學(xué)生的主體性得到充分體現(xiàn)。但是，這不否認(rèn)教師在課堂中的主導(dǎo)作用。因此，學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用在交往互動(dòng)的課堂中缺一不可。［18］

第四，差異性原則。教學(xué)對(duì)象是具有差異性和獨(dú)特性的學(xué)生群體，課堂留白要尊重學(xué)生之間的差異。通過(guò)課堂留白，要使不同層次的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上得到提升，而不要求所有學(xué)生達(dá)到同一高度。因此，課堂留白要面向全體學(xué)生，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，進(jìn)行合理分組，設(shè)置適當(dāng)差異，引發(fā)不同數(shù)學(xué)思維之間的碰撞。［19］

4. 方式分析

數(shù)學(xué)課堂留白方式的研究成果最為豐富。現(xiàn)有研究對(duì)“方式”的含義給出了不同的表述，如“時(shí)機(jī)”“形式”“方式”“種類(lèi)”等。分析有關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學(xué)課堂留白的方式”這一表述更具有包容性，不同表述所關(guān)注的問(wèn)題都是在何時(shí)、何處以怎樣的方式留白，最終指向?qū)W生的補(bǔ)白。對(duì)此，可以從教學(xué)環(huán)節(jié)、課型、呈現(xiàn)形式三個(gè)角度分類(lèi)。

數(shù)學(xué)課堂留白是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方式，因此，根據(jù)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)留白，具有一定的科學(xué)性。從教學(xué)環(huán)節(jié)的角度，數(shù)學(xué)課堂留白可分為新課導(dǎo)入時(shí)、設(shè)問(wèn)（提問(wèn)）后、運(yùn)算時(shí)、板書(shū)時(shí)、重難點(diǎn)處、拓展探究時(shí)、課堂評(píng)價(jià)時(shí)、課堂小結(jié)時(shí)、布置作業(yè)時(shí)的留白。［20］導(dǎo)入留白激發(fā)求知欲，設(shè)問(wèn)留白引發(fā)思考，運(yùn)算留白提升計(jì)算力，板書(shū)留白助力回顧，重難點(diǎn)留白突破認(rèn)知，拓展探究留白增強(qiáng)主體意識(shí)，評(píng)價(jià)留白促進(jìn)自我反思，小結(jié)留白深化理解，作業(yè)留白尊重差異。此外，“錯(cuò)誤”也是研究者關(guān)注的關(guān)鍵留白之處。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不可避免地會(huì)出現(xiàn)一些審題、概念、計(jì)算錯(cuò)誤。此時(shí)，要給學(xué)生留下能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤的空白。［2123］特別是，相似的概念易使學(xué)生混淆。因此，還要在知識(shí)模糊處留白，讓學(xué)生自主反思、對(duì)比，從而澄清模糊認(rèn)識(shí)，正確理解知識(shí)。［2425］

數(shù)學(xué)課因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容的不同，可以分為概念課、定理課、法則課、復(fù)習(xí)課、習(xí)題課、試卷講評(píng)課等。不同課型所使用的留白方式也有所差異。有研究指出：概念課，要在概念生成時(shí)采用停頓留白，讓學(xué)生自己抽象概括出概念［2627］，還要在新舊概念聯(lián)系處、混淆處和概念特征處留白［28］；定理課，要在定理推導(dǎo)和定理運(yùn)用時(shí)留白，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)知道定理的由來(lái)，運(yùn)用定理時(shí)將更加靈活［2930］；習(xí)題課，要在難點(diǎn)處和變式處留白，幫助學(xué)生取得突破；復(fù)習(xí)課，要在基礎(chǔ)知識(shí)和典型例題上留白，幫助學(xué)生建構(gòu)體系；試卷講評(píng)課，要在薄弱處和難點(diǎn)處留白，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺［31］。

數(shù)學(xué)課堂留白還可以按呈現(xiàn)形式分類(lèi)。例如：根據(jù)是否存在明顯停頓和沉默的留白痕跡，將數(shù)學(xué)課堂留白分為顯性留白、隱性留白、綜合留白［3233］；從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)的維度，提出要留出時(shí)間空白給學(xué)生思考，留出空間空白給學(xué)生想象，留出情感空白豐富學(xué)生體驗(yàn)，留出結(jié)果空白尊重學(xué)生個(gè)性［34］；從教師語(yǔ)言和動(dòng)作的維度，提出引導(dǎo)性語(yǔ)言、聲音的短暫中斷、簡(jiǎn)約的手勢(shì)等留白方式［3536］。

5. 存在的問(wèn)題分析

在數(shù)學(xué)課堂留白的研究中，很多研究者還關(guān)注了教學(xué)實(shí)踐中存在的共性問(wèn)題，主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：

第一，數(shù)學(xué)課堂留白的時(shí)間難以把握。留白時(shí)間過(guò)長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致教學(xué)活動(dòng)停滯，學(xué)生思維流暢性受到影響；留白時(shí)間過(guò)短會(huì)導(dǎo)致教學(xué)活動(dòng)匆忙，學(xué)生補(bǔ)白的過(guò)程受阻。對(duì)此，有研究提出：切忌留白時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，讓學(xué)生毫無(wú)所獲地干耗。［37］也有研究提出：要讓學(xué)生的補(bǔ)白有一定的深度，不能一味地為了教學(xué)進(jìn)度或課堂節(jié)奏壓縮學(xué)生的思考時(shí)間。［38］

第二，數(shù)學(xué)課堂留白的目標(biāo)不夠明確。課堂教學(xué)本身帶有目的性，課堂留白也是為了更好地達(dá)到課堂教學(xué)目的。因此，完全以留白為目的、沒(méi)有科學(xué)組織、徒有形式、放任自流的留白都應(yīng)當(dāng)合理摒棄。［39］

第三，數(shù)學(xué)課堂留白的思維含量難以把握。數(shù)學(xué)課堂中，過(guò)于簡(jiǎn)單和過(guò)于困難的問(wèn)題都不適合用于留白。過(guò)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題不能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，如事實(shí)性知識(shí)的問(wèn)答；過(guò)于困難的問(wèn)題會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，如抽象概念的直接概括。課堂留白的思維含量應(yīng)該在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，讓學(xué)生通過(guò)“跳一跳”的積極思考，最終能有效補(bǔ)白。［4041］

第四，數(shù)學(xué)課堂留白數(shù)量偏少，且具有偏向性。在實(shí)際的教學(xué)中，由于時(shí)間緊張、進(jìn)度緊湊，很多教師雖然有課堂留白的意識(shí)，但是沒(méi)有課堂留白的機(jī)會(huì)，常常只能自留自補(bǔ)。還有的教師習(xí)慣于在導(dǎo)入時(shí)、設(shè)問(wèn)后留白，而在重難點(diǎn)處、評(píng)價(jià)時(shí)不留白。因此，有研究者提出：教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用留白藝術(shù)，避免在學(xué)生還未充分思考時(shí)就給予不必要的提示。［42］同時(shí)，課堂留白時(shí)，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，其思維的發(fā)散性和差異性會(huì)導(dǎo)致課堂處于動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程中。因此，教師不可能預(yù)料到學(xué)生的所有想法，而應(yīng)該發(fā)揮教育機(jī)智，利用課堂生成資源進(jìn)行生成性留白。［43］

6. 優(yōu)化的策略分析

數(shù)學(xué)課堂留白存在的問(wèn)題沒(méi)有簡(jiǎn)單機(jī)械的解決辦法，因?yàn)榻虒W(xué)是一項(xiàng)靈動(dòng)的藝術(shù)，其對(duì)象是具有無(wú)限可能的學(xué)生。但是，一些研究者還是基于數(shù)學(xué)課堂留白的內(nèi)涵、原則、方式等，提出了多種優(yōu)化策略。具體可概括為以下幾點(diǎn)：

第一，注意留白時(shí)機(jī)，采用多種留白方式。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可在導(dǎo)入、小結(jié)、探究等多個(gè)環(huán)節(jié)留白，同時(shí)采用知識(shí)性留白、語(yǔ)言留白、手勢(shì)留白、情感留白、評(píng)價(jià)留白等多樣的留白方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

第二，創(chuàng)設(shè)高質(zhì)量問(wèn)題，在主問(wèn)題上多花時(shí)間。高質(zhì)量問(wèn)題基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，指向教學(xué)重難點(diǎn)，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法。［44］主問(wèn)題是教師為了突破教學(xué)的重難點(diǎn)，更好地達(dá)到教學(xué)目標(biāo)所提出的問(wèn)題。［45］高質(zhì)量問(wèn)題能給學(xué)生提供更多的思考空間，是有效留白的前提；在主問(wèn)題上多花時(shí)間，則是課堂留白達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的必要保證。

第三，樹(shù)立正確的留白觀念，增強(qiáng)留白的組織能力。首先，教師要摒棄滿(mǎn)堂灌的傳統(tǒng)教學(xué)模式，充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課堂留白的價(jià)值，給予學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。其次，由于課型、知識(shí)的難易程度和學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握水平等方面的不同，教師既要在備課的過(guò)程中，全面、深入地理解和思考，預(yù)設(shè)課堂留白，又要在上課的過(guò)程中，利用自然生成的資源，隨時(shí)進(jìn)行課堂留白。

二、 實(shí)踐建議

（一） 巧借數(shù)學(xué)史料，豐富留白內(nèi)容

教師可以借助數(shù)學(xué)史料設(shè)計(jì)問(wèn)題，為學(xué)生提供廣闊的思維空間和足夠的探究機(jī)會(huì)，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。［46］數(shù)學(xué)史料為數(shù)學(xué)課堂留白提供了取之不盡、用之不竭的資源，使教師在知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用過(guò)程中都可以進(jìn)行留白設(shè)計(jì)。在新知引入環(huán)節(jié)，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史料中的問(wèn)題背景引發(fā)學(xué)生的思考，例如，引入等比數(shù)列時(shí)，給出“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭”的史料。在定理（公式）證明環(huán)節(jié)，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史料中的多種方法進(jìn)行補(bǔ)充評(píng)價(jià)，例如，證明勾股定理時(shí)，給出歷史上的多種方法。總之，巧借數(shù)學(xué)史料，豐富留白內(nèi)容，是提高課堂留白效果的有效策略。

（二） 構(gòu)建評(píng)價(jià)體系，調(diào)控留白行為

數(shù)學(xué)課堂留白評(píng)價(jià)體系是在教學(xué)過(guò)程中對(duì)留白的內(nèi)容、時(shí)間、次數(shù)和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、參與程度、思維深度等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)的體系。通過(guò)合理的評(píng)價(jià)，教師可以及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問(wèn)題，從而有效調(diào)整教學(xué)策略，調(diào)控課堂行為。汪曉勤等提出了留白創(chuàng)造式教學(xué)評(píng)價(jià)的指標(biāo)體系。借助這個(gè)評(píng)價(jià)體系，可以判斷教師留白設(shè)計(jì)的目標(biāo)是否明確、流程是否合理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中是否有獨(dú)立思考、合作交流、資源利用、自我監(jiān)控，最終的課堂留白成效如何。此外，因?yàn)檎n堂時(shí)間有限，所以，留白評(píng)價(jià)的指標(biāo)要對(duì)留白時(shí)間和留白次數(shù)有所考量。

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（瞿文菊，南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院。）