拋物線形狀、位置與系數關系解讀及應用探析

［摘 要］二次函數是初中數學學習的重難點之一，它的圖象是一條拋物線。文章通過解讀拋物線的形狀、位置與拋物線表達式中的系數的關系，并結合具體實例，探討了這些關系在實際應用中的體現，以提高學生解決二次函數問題的能力，提升學生的思維品質。

［關鍵詞］二次函數；拋物線；位置；形狀；應用

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0030-03

二次函數是初中數學學習中的重要函數，它的圖象是一條拋物線。拋物線開口的大小和方向與二次項系數密切相關，拋物線在坐標系中的位置由二次項系數及一次項系數共同決定，拋物線與[y]軸相交的位置則由常數項確定。

一、拋物線形狀、位置與系數關系的解讀

1.關于[a]：二次函數[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象是一條拋物線。當[agt;0]時，拋物線開口向上；當[alt;0]時，拋物線開口向下。[a]的絕對值大小決定了拋物線開口的大小，[a]的絕對值越大，拋物線的開口越小；[a]的絕對值越小，拋物線的開口越大。

3.關于[c]：[c]的符號決定了拋物線與[y]軸的交點位置。當[cgt;0]時，拋物線與[y]軸交于正半軸；當[c=0]時，拋物線過原點；當[clt;0]時，拋物線與[y]軸交于負半軸。

4.關于[b2-4ac]：[Δ=b2-4ac]決定了拋物線與[x]軸的交點情況。當[Δ=b2-4acgt;0]時，拋物線與[x]軸有兩個交點；當[Δ=b2-4ac=0]時，拋物線與[x]軸有唯一交點；當[Δ=b2-4aclt;0]時，拋物線與[x]軸沒有交點。

5.其他：對于二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]，令[x=1]；可以得到代數式[a+b+c]；令[x=-1]，可以得到代數式[a-b+c]。拋物線上關于對稱軸對稱的兩點縱坐標相等，拋物線上縱坐標相等的點一定關于對稱軸對稱；如果拋物線與[x]軸有兩個交點，那么這兩點一定關于對稱軸對稱；如果拋物線上關

二、拋物線形狀、位置與系數關系的應用

應用1：由某一函數的圖象確定其他函數的圖象。

［例1］如圖1所示，一次函數[y1=x]與二次函數[y2=ax2+bx+c]的圖象相交于[P]、[Q]兩點，則函數[y=ax2+（b-1）x+c]的圖象可能是（ ）。

分析：由一次函數[y1=x]的圖象與二次函數[y2=ax2+bx+c]的圖象有兩個交點，得方程[ax2+（b-1）x+c=0]有兩個不相等的實數根，則[y=ax2+（b-1）x+c]圖象與[x]軸有兩個交點，討論其對稱軸所在直線的方程判斷對稱軸的位置，即可進行判斷。

評注：本題實際上考查了二次函數與一元二次方程的關系，通過兩個函數圖象交點情況得到聯立的方程根的情況，而由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應的二次函數的圖象與[x]軸的位置關系。

應用2：判斷多個函數圖象在同一坐標系中的位置。

分析：采用排除法逐個作出判斷，先由拋物線的位置得到系數[a]、[b]、[c]的符號，再根據[bc]的符號得到雙曲線應該位于的象限，從而得到正確的選項。

評注：本題采用了排除法，由拋物線的位置確定系數的符號繼而得到雙曲線的位置。本題還可以先由雙曲線所在的象限判斷出反比例系數bc的符號，繼而根據拋物線的位置驗證，即判斷二次函數系數中[b]、[c]與反比例函數表達式中bc的符號情況是否一致。

應用3：由函數圖象得到函數的系數大小關系。

［例3］設函數[y1=（x-a1）2]，[y2=（x-a2）2]，[y3=（x-a3）2]。直線[x=b]的圖象與函數[y1]，[y2]，[y3]的圖象分別交于點[A（b，c1）]，[B（b，c2）]，[C（b，c3）]，（ ）。

A.若[blt;a1lt;a2lt;a3]，則[c2lt;c3lt;c1]

B.若[a1lt;blt;a2lt;a3]，則[c1lt;c2lt;c3]

C.若[a1lt;a2lt;blt;a3]，則[c3lt;c2lt;c1]

D.若[a1lt;a2lt;a3lt;b]，則[c3lt;c2lt;c1]

分析：由選項可知，[a1lt;a2lt;a3]，作出相應圖象，然后分別作直線x=b，其中按[blt;a1]，[a1lt;blt;a2]，[a2lt;blt;a3]，[bgt;a3]分類討論，通過直線x=b與二次函數圖象的交點位置判斷[c1]，[c2]，[c3]的大小。

解：如圖2所示，對選項A，由圖象可知，若[blt;a1lt;a2lt;a3]，當[x=b]時，[c1lt;c2lt;c3]，故選項Ａ錯誤；對選項B，由圖象可知，若[a1lt;blt;a2lt;a3]，當[x=b]時，[c1lt;c2lt;c3]或者[c2lt;c1lt;c3]，故選項B錯誤；對于選項C，由圖象可知，若[a1lt;a2lt;blt;a3]，當[x=b]時，[c3lt;c2lt;c1]或者[c2lt;c3lt;c1]，故選項Ｃ錯誤；對于選項D，由圖象可知，若[a1lt;a2lt;a3lt;b]，當[x=b]時，[c3lt;c2lt;c1]，故選項Ｄ正確。故選D。

評注：由拋物線頂點式[y=a（x-h）2]可知其對稱軸是直線[x=h]，頂點坐標是（[h]，0），拋物線與[x]軸有唯一交點。根據拋物線的表達式畫出拋物線的草圖是必備的基本功。本題運用數形結合的方法，通過畫出函數圖象直觀得出結論，相比代數運算更簡便。

應用4：由函數圖象的位置確定代數式的符號。

［例4］如圖3所示，二次函數[y=ax2+bx+c]的圖象與[x]軸的一個交點坐標是（3，0），對稱軸為直線[x=1]，下列結論①[abclt;0]；②[2a+b=0]；③[4a-2b+cgt;0]；④當[ygt;0]時，[-1lt;xlt;3]；⑤[blt;c]中，正確的個數是（ ）。

A. 2" " " " " " " B. 3" " " " " " " C. 4" " " " " " " D. 5

評注：對于單項式[abc]的符號，可以通過圖象分別確定[a]、[b]、[c]的符號再判斷；對于類似代數式“[4a-2b+c]”的符號判斷，可以代入特殊值，然后根據圖象性質判斷該函數值的符號；而若要判斷[a]、[b]、[c]之間的大小關系，則可以將拋物線與[x]軸的兩交點坐標代入解析式通過消元得到。

應用5：由函數圖象探究方程的解或不等式的解集。

［例5］圖4是拋物線[y1=ax2+bx+c（a≠0）]圖象的一部分，拋物線的頂點坐標[A（1，3）]，與[x]軸的一個交點[B（4，0）]，直線[y2=mx+n]（[m≠0]）與拋物線交于[A]、[B]兩點，下列結論①[2a+b=0]；②[abcgt;0]；③拋物線與[x]軸的另一個交點是（-1，0）；④方程[ax2+bx+c=3]有兩個相等的實數根；⑤不等式[mx+nlt;ax2+bx+c]的解集為[1lt;xlt;4]中正確的是（ ）。

A. ①②③ B. ①④⑤

C. ①③⑤ D. ①④

分析：根據拋物線的對稱軸x=1可判斷①；根據拋物線的開口方向、拋物線與[y]軸的交點位置、對稱軸的位置可判斷②；由拋物線的對稱軸，與[x]軸的一個交點，得到與x軸的另一個交點可判斷③；由拋物線與直線[y=3]的位置關系判斷方程[ax2+bx+c=3]根的情況可判斷④；觀察拋物線與直線[y2]的相對位置關系可判斷⑤。

評注：方程[ax2+bx+c=m]根的情況可以通過拋物線[y1=ax2+bx+c]與直線[y=m]交點情況判斷：有兩個交點，方程有兩個不相等的實數根；有一個交點，方程有兩個相等的實數根；沒有交點，方程沒有實數根。觀察兩個函數圖象的位置，可以得到由兩個函數表達式組成的不等式的解集，圖象位于上方的函數值較大，位于下方的函數值較小，交點處函數值相等。

綜上，拋物線形狀、位置與系數關系可以通過數形結合的思想得到，該知識點所考查的多是由a，b，c，[Δ]的符號確定拋物線的形狀、位置或由拋物線的形狀、位置確定a，b，c，[Δ]等的符號。教師通過引導學生探究拋物線形狀、位置與系數關系，能夠有效提高學生的邏輯推理能力，并培養他們的類比、轉化能力。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 鄭瑞.拋物線中幾何性質的賞析及應用[J].初中數學教與學，2023（19）：8-10.

[2]" 張科如.如何充分利用拋物線圖象所提供的信息[J].初中數學教與學，2013（3）：7-8.