解題教學要注重發展學生思維的靈活性

摘要：習題講評時如果只滿足于就題論題，止步于答案獲取、思路貫通，缺少必要的一題多解、解后回顧或思路優化，往往是“入寶山而空返”，不利于學生思維靈活性的發展.根據林崇德教授對思維靈活性的研究，解題教學中要重視一題多解、多解歸一的訓練；要重視訓練學生組合分析的能力、樹立全局意識、思路監控能力；對于不同解法，還要傳遞和滲透辯證的觀點.

關鍵詞：解題教學；思維靈活性；一題多解；多解歸一；思路監控

1 從圓的習題課聽課說起

筆者聽了一節年輕教師S執教的作業講評課，內容是圓的習題講評.教師S將兩個與圓有關的面積問題放在一起進行講評，請看以下教學過程：

習題1 如圖1，扇形AOB半徑為6，陰影部分的周長為10＋3π，求矩形OCDE的面積.

聽課記錄：學生甲獨立思考之后，教師S請一個學生上臺講解他的思路，

習題2 如圖2，一個半圓與長方形ABCD切于點E，F，半圓直徑的端點G，H分別在AB，BC上，且AG＝1，HC＝2，求半圓的面積.

學生乙解法：設AB＝a，BC＝b，半圓的半徑OG＝OH＝OE＝OF＝r，可得BG＝a－1，BH＝b－2，ON＝a－r，BN＝b－r.由垂

教師S對學生丙的解法表示了肯定，并請學生乙再次復述講解一遍.這樣這道習題就算講好了.

聽課隨感：學生乙為什么沒有能順利進行下去，主要原因是設的參數過多，圖形中很多等量關系沒有厘清，多個參數需要消元，就如同三元一次方程組的求解一樣，學生也往往感覺困難，因為從三元消成二元是難點（這樣也可理解《義務教育數學課程標準（2022年版）》將三元一次方程組的解法列為選學內容）.雖然學生丙完善了解法，貫通了思路，但筆者以為，教師的教學不能止步于思路的貫通，這只是對學生乙解法的修補，滿足了答案的獲得，還應該鼓勵學生進一步思考有沒有其他的方法.以下給出筆者的一種思路.

2 解題教學要注重發展學生思維的靈活性

我國著名心理學研究專家、北京師范大學林崇德教授曾長期研究學生思維能力與智力發展.林崇德教授將思維靈活性的5個特點概括為：“思維起點靈活，即從不同角度、方向、方面，能用多種方法解決問題；思維過程靈活而不死鉆牛角尖；概括—遷移能力強，運用規律的自覺性高；善于組合分析，伸縮性大；思維的結果往往是多種合理而靈活的結論.”[1]以下就圍繞上述角度，結合解題教學談談筆者的一些認識與思考.

2.1 解題教學要注重一題多解與多解歸一

很多數學問題的解法并不唯一，教師在解題教學的備課階段要有一題多解與多解歸一的研究和預設，教師的解題備課不能僅滿足于答案的獲得、思路的貫通，而要基于學情構思一題多解的教學，對于有些不同解法還要思考“殊途何以同歸”，只有課前充分思考，才能夠在課堂上進行必要的追問.上文中年輕教師S沒有能對“習題2”進行一題多解的追問，說明課前的準備不夠，導致課上只是將學生“思路受阻”的方法進行修補、完善，獲得答案后就“輕輕滑過”，沒有借助這道習題切實訓練學生思維的靈活性.

2.2 解題教學要訓練學生組合分析能力

數學解題通常有綜合法、分析法或綜合分析法，綜合法是指從已知條件（題設）出發，步步有據推導出結論；分析法是從待證（求）結論逆向分析，逐步尋求使結論成立的充分條件，直到把要證明的結論判定為一個明顯成立的條件；綜合分析法是以上兩種思路結合起來，從題設出發能得到哪些信息或正確的結論，從結論逆向分析出需要哪些條件，最后接通思路的過程.上文聽課案例中的“習題1”在講評階段，特別是學生講解之后要有解后反思回顧的教學環節，可以運用綜合分析法來和學生進行解法回顧，比如設出長方形的兩邊長，但根據待求目標是長方形的面積，則關鍵是求出兩邊長之積.學生的解法也正是體現了綜合分析法.

2.3 解題教學要引導學生樹立全局意識

對于有些比較復雜的數學問題，在解題初始階段，要引導學生充分審題，看清、看全條件與信息.筆者結合教學經驗與課堂觀察發現，有些學生思路受阻、解題不成功的原因常常是條件沒看全，待教師提示、點撥還有哪個條件沒有使用時，才恍然大悟，很快獲得進展、解題成功.這就提醒我們在解題教學的初始環節，要鼓勵和引導學生充分理解題意，站在全局的高度把問題的條件看清、想透，不要遺漏某些信息.還有一些學生（如上文聽課案例中“學生乙”），只盯住一些復雜問題的一兩個條件就“匆忙上路”，漫無目標地向前推進、演算，待思路受阻后又不及時回頭，卡在某處浪費時間，等等.這些現象都說明解題時要有全局意識.

2.4 解題教學要培養學生思路監控能力

思路監控是一種“元認知”能力，解題教學水平高的學生常常能自發進行思路監控.當思路受阻時，他們會主動反思問題中的條件是否看清、看全、用足；當通過運算得到一個十分繁雜的結果或數據時，他們會代入或再次回看問題中的條件信息是否出現矛盾；當從不同角度思考問題得到不同結果時，他們會質疑問題的條件是否沖突或者是自己想當然地添加了不成立的某個信息.如上種種，都表示學生有較強的思路監控能力.在教學過程中，要注意訓練或發展學生這種思路監控能力.舉例來說，當上文聽課案例中“學生乙”的思路受阻后，教師可以提出以下啟發式問題：“你設出這么多未知數，能否分析問題的條件，把這些未知數消成一個未知數？”“根據圖中長方形對邊相等、垂徑定理帶來的垂直平分、圓的半徑相等，你還能得到哪些等量關系？”這些啟發式問題就是引導學生進行思路監控，直至主動打開思路.

2.5 解題教學要向學生傳遞辯證的觀點

站在哲學的高度看解題教學，審視不同解法，需要結合具體的題例向學生傳遞辯證的觀點.具體來說，上文聽課案例中兩道習題的解法都是通過設未知數來解決問題.“習題1”設出兩個未知數，但設而不全，只是求出它們的積就得到長方形的面積；而“習題2”學生設出多個未知數，卻因為過于繁雜沒有找到足夠的等量關系，消元不成功、思路受阻.這就說明“習題1”設多個未知數的思路是恰當的，而“習題2”如果立足于設一個未知數（對比后設出圓的半徑更合適），進一步用這個未知數表示出其他未知量，最后利用勾股定理得出一元方程，就可順利解決問題.如上分析，教師在講評兩道習題之后，再引導學生從未知數的個數這個角度進行具體分析、辯證看待，也是通過具體題例的解法對比，來向學生傳遞和滲透解題辯證的觀點.

參考文獻：

[1]林崇德.教育的智慧：寫給中小學教師[M].杭州：浙江教育出版社，2019.