置身函數的矩形

函數、矩形是初中階段學習的重要內容，當矩形置身于函數中時，有利于考查學生利用矩形性質和函數性質綜合解決問題的能力，培養學生數形結合思想等，進而提升學生的核心素養.

1 置身一次函數中的矩形

在平面直角坐標系中的矩形，當矩形的一邊與坐標軸平行時，由矩形兩個頂點的坐標，根據矩形性質可以求出其他兩個頂點的坐標；坐標平面內的直線與矩形相交，根據矩形頂點的坐標及直線解析式，可以求出交點坐標.

從點Ｏ開始，沿著ＯA-AＢ的路線運動，速度為2單位長度/s，到達點Ｂ時停止.設△PDE的面積為S，點P的運動時間為t（單位：s）．

（1）求點D和點E的坐標；

（2）求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

解析：（1）D（3，0），E（1，3）.具體過程略.

（3）如圖3所示，作點Ｄ關于直線AＢ的對稱點D′，則點D′（5，0）.連接D′E與AB交于點P，由“將軍飲馬”模型可得此時PＤ+PＥ的值最小.設直線ED′的表達式為y＝kx+b，則有0=5k+b，3=k+b，解得k=－34，b=154.

所以直線PＥ的解析為y＝-34x+154．

點評：當一動點在矩形的邊上運動，運動到不同位置時，與其他兩個頂點形成的圖形的面積計算方法是不一樣的，所以要分類討論，逐段分析，不能遺漏.

2 置身反比例函數中的矩形

求反比例函數解析式，只需一個點的坐標即可，當雙曲線經過矩形一邊的中點時，根據矩形各頂點坐標，可以求得中點坐標，從而可求得反比例函數解析式.對于雙曲線與矩形其他邊的交點，根據反比例函數解析式及矩形性質可求得.

（1）分別求反比例函數與直線AＥ的解析式；

（2）如果x軸上一點P到點Ｅ，Ｆ的距離之和最小，那么點P的坐標是多少？

（3）在問題（2）的條件下，作△PＥＦ，在直線AＥ上找一點Ｑ，當S△QEF＝S△PEF時，求點Ｑ的坐標.

PF的值最小，由點Ｅ，Ｆ′的坐標，得直線EF′的解析式為y＝2x+10.令y＝0，得點P的坐標為（-5，0）.

點評：在坐標平面內，求任一邊都不與坐標軸平行的三角形的面積時，需要過其中一個頂點作坐標軸的平行線，將這個三角形分割為兩個三角形，這樣這兩個三角形的底邊與高都可以用對應點坐標的絕對值來表示.

3 置身二次函數中的矩形

把矩形放在拋物線所在的平面內，通常矩形的兩個頂點在拋物線上，這兩個頂點可利用拋物線解析式求得，另兩個頂點是動點，需要利用矩形性質求得.此類問題，符合題意的矩形可能有多種情況，要逐一討論.

例3 如圖6所示，A，C是直線y＝x+3與兩坐標軸的交點，過A，C兩點作拋物線y＝ax2-2x+c，該拋物線與x軸的另一個交點為B.

（1）求拋物線的函數解析式與頂點Ｅ的坐標；

（2）設P是直線AＥ上一動點，過點P作ＦP∥y軸交AC于點Ｆ，作△PEF，求S△PEF的最大值，并求此時點P的坐標.

（3）設M為坐軸上一點，N是平面內任意一點，當以A，E，M，N為頂點的四邊形是矩形，且AＥ是對角線時，求此時點N的坐標.

解析：（1）因為點A，C是直線y＝x+3與坐標軸的交點，所以點A，C的坐標分別為（-3，0），（0，3）.把點（-3，0），（0，3）代入y＝ax2-2x+c，得0=9a+6+c，c=3，解得a=－1，c=3，所以拋物線的解析式為y＝-x2-2x+3.頂點E（-1，4）.過程略.

綜上，置身函數中的矩形，一方面可借助圖形性質得到數量關系，另一方面可借助函數的解析式對圖形進行準確定位，是數形結合的較好實例，有利于培養學生的核心素養.