雙“線”合璧 “玩轉”幾何

摘要：角平分線和垂直平分線是初中幾何部分非常重要的雙“線”，在許多幾何證明和計算題中會出現(xiàn).但是，如果一道幾何題中同時出現(xiàn)角平分線和垂直平分線，那么這樣的題目往往非常經(jīng)典，值得教師和學生“玩味”.本文中對這樣的題進行分析，尤其是其解決思路的探究.

關鍵詞：角平分線；垂直平分線；幾何；轉化思想；思辨

角平分線和垂直平分線原本是獨立的知識點，然而當角平分線和垂直平分線出現(xiàn)在一個問題中，解決這樣的問題需同時應用二者的性質(zhì)及判定.所以，這樣的題目往往非常經(jīng)典，因為僅用一道題就考查了多個重要知識點.對于這樣的題目，教師不僅要讓學生多接觸，而且要會分解知識點，進而實現(xiàn)各個擊破.本文中對這種雙“線”合璧的幾何題進行分析，嘗試探究這類問題的解決方法.

1 知識放映

在解決雙“線”合璧的幾何題時，首先要求學生對角平分線和垂直平分線的相關知識點具有一定了解，為解題奠定理論基礎[1].

1.1 與角平分線有關的知識點

與角平分線有關的知識點比較多，如角平分線的定義、角平分線的性質(zhì)、角平分線的判定定理、角平分線的尺規(guī)作圖等.

首先，如圖1所示，如果OP平分∠AOB，根據(jù)角平分線的定義，就可得∠AOP=∠BOP.

其次，角平分線的性質(zhì)即“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”非常重要.如圖2所示，如果OP是∠AOB的平分線，

HN⊥OA于點N，HM⊥OB于點M，那么HM=HN，這在解決與角平分線有的關問題中能發(fā)揮關鍵作用.

對于角平分線的判定定定理，華師大版八年級上冊教材上是這樣敘述的——角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.該判定有三個地方需注意：一是定理中的“距離”是指從角平分線上任何一點（不包括頂點）向角兩邊所作垂線段的長度，是一個正實數(shù)，“距離”兩字不能漏掉；二是不可忽視“在一個角的內(nèi)部”這一條件，因為在角的外部也存在到角的兩邊距離相等的點；三是證明角平分線時，只需從要證的線上的某一點向角的兩邊作垂線，再證明垂線段相等即可.這樣把證“某線是角的平分線”的問題轉化為證“垂線段相等”的問題，體現(xiàn)了轉化思想.

最后，角平分線的尺規(guī)作圖方法也是非常重要的知識點，在與垂直平分線結合時，往往需同時考慮二者的性質(zhì).解決這樣的問題，關鍵在于抓住角平分線的性質(zhì)，即“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，而不是到線段兩端的距離相等.

1.2 與垂直平分線有關的知識點

首先，如圖3所示，如果AN=BN且ON⊥AB，那么OA=OB，這就是垂直平分線的性質(zhì)——線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

其次，垂直平分線的判定定理是“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”.需注意的是，利用該判定定理只能證明一個點是否在線段垂直平分線上，由于兩

點才能確定一條直線，所以還需證明另外一個點也在這條線段的垂直平分線上，才能最終證得該直線是線段的垂直平分線[2].

最后，是垂直平分線的尺規(guī)作圖方法.在與角平分線結合時，需同時考慮二者的性質(zhì)，并抓住垂直平分線的性質(zhì)，而不是到角的兩邊的距離相等.

2 例析展播

例1 如圖4，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB，垂足為M，DN⊥AC交AC的延長線于點N，你認為BM與CN在數(shù)量上存在怎樣的關系？試證明你的結論.

分析：觀察圖形可猜想出BM與CN之間在數(shù)量上存在相等的關系.要證明BM=CN，可轉化為證明這兩邊所在的三角形全等，體現(xiàn)了轉化思想.由于DE是線段BC的垂直平分線，所以根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理，可將DE上的點D與線段BC兩個端點連接起來，即連接BD，CD.

解：BM=CN.

理由如下：如圖5所示，連接BD，CD.

∵AD平分∠BAC，

DM⊥AB，垂足為M，

DN⊥AC交AC的延長線于點N，

∴DM=DN.

∵DE是線段BC的垂直平分線，

∴BD=CD.

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）.

∴BM=CN.

評析：本題應用了轉化思想，將證明兩邊相等轉化為證明兩邊所在的三角形全等.結合垂直平分線的性質(zhì)得到兩斜邊相等，結合角平分線的性質(zhì)得到兩直角邊相等，最后根據(jù)HL判定兩三角形全等.

例2 兩個城鎮(zhèn)A，B與兩條公路ME，MF的位置如圖6所示，其中ME是東西方向的公路.現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部.那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）.

分析：到城鎮(zhèn)A，B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在這兩條公路所夾角的平分線上.連接AB，作出AB的垂直平分線與∠FME的平分線，它們的交點就是所求作的點C.

解：符合條件的點C其位置如圖7所示.

評析：本題是尺規(guī)作圖題，掌握角平分線和線段垂直平分線的判定定理是關鍵.同時，還應該區(qū)分兩個“距離相等”，不能混淆.第一個“距離相等”是點到角的兩邊，為角平分線；第二個“距離相等”是點到線段的兩個端點，為垂直平分線.

3 總結反思

在初中階段，證明線段相等的方法比較多，常用的依據(jù)如下：

（1）線段中點的定義，即根據(jù)線段的中點證明兩條線段相等.

（2）利用等式的性質(zhì)進行等量代換，即證明兩條線段相等后，根據(jù)等式的性質(zhì)，將等式兩邊同時加上（或減去）同一條（或相等）的線段，等式仍然成立，即證明了另外兩條線段相等.

（3）全等三角形的對應邊相等，這是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得，體現(xiàn)了轉化思想.

（4）等角對等邊，這是根據(jù)等腰三角形的判定證得，將證明兩邊相等轉化為證明三角形為等腰三角形，同樣體現(xiàn)了轉化思想.

（5）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，這是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明.

（6）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，這是根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明.

通過上述分析，轉化思想在證明兩條線段相等中發(fā)揮著重要作用，是這類問題常用的方法[3].另外，區(qū)分兩個“距離相等”是準確應用雙“線”性質(zhì)與判定定理的關鍵，不能混淆，要求學生具有一定的思辨能力.

綜上所述，雙“線”合璧的情況下，為了能準確應用相應的性質(zhì)和判定，不至于搞混淆，學生要在掌握轉化思想的前提下，具備一定的思辨能力，準確區(qū)分兩個“距離相等”.只有這樣，才不至于混淆雙“線”的性質(zhì)和判定，尺規(guī)作圖時才清楚到底是作角平分線還是作線段垂直平分線.

參考文獻：

[1]宋海明.兩線結合 輕松解題——角平分線和垂直平分線的綜合應用[J].中學教學參考，2022（5）：23-25.

[2]王友峰.“三用”線段垂直平分線和角平分線定理解題[J].初中生學習指導：初三版，2012（12）：9-10.

[3]阮秋月.“垂直平分線”和“角平分線”的應用[J].數(shù)理天地：初中版，2022（6）：4-6.