深度教學意識：讓教學既見樹木又見森林

1 問題的提出

深度教學是深度學習的載體，是培養數學核心素養的抓手，是實現教育目標的源泉.縱觀當前教學，不少教師由于自身缺乏整體把握和深入研究的能力，使得教學過程淺層化、碎片化.如何才能讓教學既見樹木又見森林？筆者認為，教師具有整體觀且具備深度教學意識，并觀照到每一節課，才能讓數學教學既見樹木又見森林.下面以“直角三角形內接矩形的面積最大問題”的復習課教學為例，談談筆者的實踐與思考.

2 教學過程

2.1 問題導入，促發思維

例1 已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.

（1）試求邊AB及邊AB上的高.

（2）若矩形EFGH內接于該Rt△ABC，試著畫出圖形并求矩形EFGH面積的最大值.

師：請同學們試著做例1.

學生自主自發探究，很快得到第（1）問的答案.由于第（2）問有些難度，不少學生陷入沉思.此時教師適時展開點撥.

師（提議）：可以嘗試先畫一畫.

學生嘗試，畫出圖1.

師（追問）：一般情況下，探求矩形面積需要知道什么？

生（快速回答）：長和寬.

師（追問）：很好.原題中矩形邊長是未知的，該如何求解呢？

生（思考后嘗試回答）：可以設EH=x，運用相似性質求出EF的表達式.

師（追問）：如何表示矩形面積？

師：現在可以求矩形面積的最大值嗎？

生（觀察后回答）：兩種圖形面積的最大值均為3.

師：還可以推理出什么結論嗎？

生（思考討論后回答）：該矩形面積是Rt△ABC面積的一半.

評析：深度學習的過程離不開學習者的積極參與.為此，在導入環節教師用較為常見的“直角三角形內接矩形”問題導入，引得每個學生積極參與的同時鞏固舊知，更重要的是在引導學生自主探究內在規律的過程中無痕滲透多種數學思想.

2.2 自主提問，探究漸深

師：例1給出的是一個具體的直角三角形，請大家由此延伸開去，試著提出問題.

生（思考并開始陸續提出問題）：面積最大的情況，都是以中位線作為一邊嗎？面積的最大值都是三角形面積的一半嗎？

師（展示例2）：請大家嘗試做例2.

例2 已知Rt△ABC，AC=b，AB=c，∠C=90°，邊AB上的高CM=h，若矩形EFGH內接于該Rt△ABC，試求矩形EFGH的面積最大值.

師：此時你發現了什么？

生（觀察后回答）：畫法不同，但最大值相同.

師（展示例3）：現在我們看例3.

例3 已知Rt△ABC，AC=3，AB=4，∠C=90°，若有正方形EFGH內接于該Rt△ABC，試求正方形EFGH面積的最大值.

學生思考并自己計算.

師（總結）：類似于以上探究，首先可以畫出圖2，想要面積最大，只要正方形邊長最大即可，通過計算可以得出圖2①中的正方形面積最大.

師（追問）：你還能提出什么問題？

生：所有情況下結果都是圖2①中的正方形面積最大嗎？也就是說，以上結論具有一般性嗎？

師：這個問題很好.現在讓我們先看下例4.

例4 任意的Rt△ABC，什么情況下其內接正方形EFGH的面積最大？請闡明理由.

學生開始思考，但很多表示不知道該怎么求解.

師（提示）：可設正方形的邊長為x，BC=a，AC=b，AB=c，邊AB上的高CM=h.

生（思考討論后回答）：設EH=EF=x……

評析：這一環節中，教師巧設問，誘導學生由特殊到一般展開猜想，這是探究數學本質特征的興趣使然，是數學深度學習的活力爆發.這里，學生多次嘗試了含參數的運算，并獲得了成功的喜悅，也建立了信心，如此深度學習過程是豐富且有效的.如此探究過程一氣呵成，將課堂氛圍推向了高潮，使學生的符號意識和應用意識得到了很大的提升，無限發展了學生的數學核心素養.

2.3 深度探究，高潮迭起

教師趁熱打鐵，展示例5，讓學生根據所學的知識解答.

例5 如圖3，已知Rt△ABC，∠C=90°.

（1）試著在此三角形中作出面積最大的內接正方形；

（2）試著在此三角形中作出面積最大的內接矩形.

評析：這一環節中，為了鞏固一系列探究生成的結論，教師巧妙設計了一道尺規作圖題，一方面鞏固了所學知識，另一方面考查了實踐能力，一舉兩得.

2.4 作業布置，延伸拓展

教師選擇合適的課后作業，如作業1，讓學生課后深入探索.

作業 如圖4所示，探求任意△ABC的內接矩形EFGH面積的最大值和△ABC面積的關系.

評析：一節課的容量是有限的，課堂內掌握了多少知識，提升了哪些能力并非是評判一節課的唯一標準.倘若教師能將課堂進行拓展，不斷延續學生的探究熱情，這才是真正意義上的深度教學，這樣才能真正意義上培養學生的數學核心素養.這里，教師以一個高立意的一般性問題為載體，引領學生站在一個更高層次繼續深入探索，引發學生在思辨中加深對規律的理解，不斷滲透多種數學思想.

3 思考

推進數學深度教學理念，使之從理論走向實踐的路徑很多，需要我們在數學課堂教學實踐中反復嘗試，這樣才能讓教與學的過程既見樹木又見森林，從而真正意義上落實數學核心素養.

對于數學復習課而言，想讓深度教學真實發生，就需要精確細致地設計每一個問題，讓學生在問題鏈的指引下深度思考、深度探究、深度合作，發展高階思維能力.

數學學習并非僅僅是漫步于平原之上，而是要讓學生感受一次又一次的挑戰，翻越一座又一座高山，這樣才能讓學生感受到數學學習的樂趣，從真正意義上喜愛數學.這就需要教師將學科知識看作一個整體，凸顯知識間的內在聯系，促進學生主動形成認知結構.