基于數學本質 設計學習路徑 建構知識網絡

數學學習的過程是知識建構的過程，數學教學的過程就是為學生的學服務的.如何引導學生更好地學習數學是每個數學教師需要深思熟慮的重要課題.倘若教師能基于數學本質，形成知識生長的一般觀念，則可以把握教學方向，設計對學生學習有利的路徑，讓學生親歷數學深度學習的過程，無痕建構知識網絡，發展數學核心素養，從而使數學教學有的放矢.下面，筆者以“有理數的乘法”教學為例具體闡述，以饗讀者.

1 課前慎思

本節課作為一節概念課，著重引導學生掌握有理數乘法法則，本節課的教學難點主要是如何厘清“負負得正”，從而明晰有理數乘法的意義.作為老教師，我們深知本節課在教學上是存在一定難度的，主要體現在：其一，通過數軸引導學生逐步理解其現實意義在情境創設上有一定的難度，需要慎重考慮；其二，有理數乘法中的“負負得正”無法像加減法一樣直觀揭示，需要給予它客觀實踐的現實背景即數學學科本身發展的思想背景，才能引導學生循著知識發展的視角感知它的發生和發展，進而實現自主建構.因此，在教學的過程中，教師應從數學本質出發，作學生經歷知識發生和發展的過程，讓學生在直觀感知和深度探究中總結和提煉法則，建構知識網絡.

2 教學過程

2.1 以舊知復習為起點，巧妙導入

師：同學們，我們來個小競賽，看誰回答得既對又快！準備好了嗎？

生（興奮地）：準備好了！

師展示題目，如下：

（1）（+3）+（+2）=？

（2）（－3）+（+2）=？

（3）（+3）+（－2）=？

（4）（－3）+（－2）=？

（5）（－3）+0=？

學生根據題目快速說出答案.

師：非常棒！接下來，我們提高難度，比誰說得既正確又簡潔.第一問，你覺得有理數加減的關鍵是什么？

生1：關鍵是正負號的處理.

師：很好.第二問，與小學的加減運算相比較，最大的不同之處是什么？

生2：小學時我們只學了正數的加減，現在有理數包括了正數、負數和0，所以運算時要特別注意正負號的影響.

師：非常準確.第三問，加減法已經完成了從數到有理數的擴充，那乘法呢？也可以擴充嗎？

生3：我認為可以.

師：那請談談你理解的擴充后的有理數乘法運算.

生3：有理數乘法包括正數與正數、正數與負數、負數與正數的乘法.

師：生3解釋得非常清晰.那么，接下來我們就一起深入探討有理數乘法的奧秘吧！

教學說明：本環節通過復習舊知引導學生在回顧和總結中類比遷移，從而水到渠成地引出課題.課始學生就興趣盎然地展開學習，積極性較高.

2.2 以生活問題為載體，引發探究

師：國慶節將至，一般來說我們的國慶節法定假期是幾天？

生（快速回答）：7天.

師：是的，但事實上，有不少工作崗位在法定假日是沒辦法調休的.假如小紅媽媽為了國慶假期可以陪伴小紅而選擇調休，且小紅媽媽單位的崗位每日收入約200元，那么國慶長假過后，小紅媽媽與單位同事的收入情況會如何？請試著填寫表1，用已學正負數表示他們的收入情況.

生（思考交流后回答）：將每日收入200元記作“+200元”，將工作7日記作“+7日”，則有（+200）×（+7）=+1 400，也表示收入增加了1 400元；同樣，將調休7日記作“－7日”，則有（+200）×（－7）=－1 400，也表示少收入了1 400元.

師（追問）：作為學生的你們，并沒有收入，而且在這種長假常常會結伴出游.若每日游玩花費50元，可以將兩種不同情況的花費用正負數表示嗎？請填寫表2.

生（探討交流后回答）：將每日花費50元記作“－50元”，將多玩7日記作“+7日”，則有（－50）×（+7）=－350元；同樣，將少玩7日記作“－7日”，則有（－50）×（－7）=+350元.

教學說明：本環節，溝通學生的現實生活，引導學生在感知有理數乘法的各種情況及結果的同時，自然而然生成“負負得正”的思考.

2.3 以多元表征為過程，有效概括

師：從上述探究中，我們發現“負數×負數”的結果是什么？

生：正數.

師：為什么是正數？你能試著解釋嗎？

生（思考后嘗試解釋）：每個學生都有不同的假期游玩計劃，從而可能得出（－50）×（+7）=－350，（－50）×（+6）=－300，……，（－50）×0=0.從這些變化可以發現每減少1天，積就隨之增加50，從而得出（－50）×（－1）=+50……

師（追問）：還有其他不同的解釋嗎？請大家大膽舉手說一說.

生1：（+200）×（－7）中，可將（－7）看作（0－7），則（+200）×（0－7）=（+200）×0-（+200）×7=0－1400=－1 400.

生2：可以通過圖1所示的數軸生動形象地說明（－50）×（－7）=+350.

生3：為什么從點0處開始移動，而不是“－50”處？

生2：因為數軸上的“－50”所表示的是0朝著“－50”移動的距離，若從“－50”處開始，那表示的就不是（－50）×（－7）.

師（總結）：倘若用有向線段表示“－50”，那么（－50）×（+7）就是將有向線段延長至7倍，而（－50）×（－7）就是將有向線段反向延長至7倍.如圖1.

教師接著提出“請在數軸上表示（+2）×（+3），（+2）×（－3），（－2）×（+3），（－2）×（－3）和（－2）×0的結果”，并要求學生觀察各式后，回答如下問題：正數乘正數的積是什么數？負數乘正數的積是什么數？正數乘負數的積是什么數？負數乘負數的積是什么數？學生一一回答問題后，教師和學生一起歸納有理數乘法法則.

教學說明：本活動，先讓學生在多元表征中理解“負負得正”.進一步，通過有向線段、有向運動等直觀模型動態表征，從而使得“負負得正”生成自然而輕松.就這樣，在新舊知識溝通和數學抽象的過程中切實領悟運算中的奧秘，豐富認知結構.

2.4 以法則運用為歸宿，構建網絡

教師布置以下問題，要求學生基于歸納得到的法則進行計算：

學生獨立完成，教師來回巡視，最后請學生代表板演.此時，有學生提出質疑：若是多個有理數的乘法，且其中有一個因數是0，積又是多少？當沒有0因數時，該如何確定積的符號？教師充分肯定了該生的問題意識，并給出提出了高品質問題的高度評價，進而引導學生合作交流來解決問題.

教學說明：用練習題的方式來鞏固所學和拓展提升，可以讓每個學生擁有理性思考和互動交流的機會，使得枯燥的計算靈動起來.這里，學生的質疑問難就是思維進階和學力提升的最好體現，這種既見樹木又見森林的設計方式極好地促進了知識網絡的建構，提高了學生的思維品質.

2.5 以再探設疑為導向，提升思維

教師布置思考作業：

（1）通過本節課的學習，你對有理數乘法有了怎樣新的認識？

（2）根據有理數乘法的學習，你將如何學習有理數除法、有理數乘方呢？

教學說明：本環節著力于學生已有知識的積累沉淀，幫助學生規劃未知學習的思維路徑，引導學生自我反思、自我探究，從而實現知識衍生和能力的提高.

3 教學反思

強化對數學本質的理解，關注數學概念的實際背景，并從關聯處切入，讓學生認識到現實生活中大量問題都與數學有關，并能夠有意識地用數學概念和方法解決生活中的問題.

在數學教學的過程中，基于知識的本質探尋知識間的聯系，更加有利于學生清晰理解和掌握所學，豐富學習經驗.在本課中，教師引導學生通過類比，進一步發現、生成、聯系，找到問題的本質，助推學生從認識到理解再到應用.

總之，在教學中，教師要基于數學本質，有意識地設計學生的學習路徑，引導學生在深度思考、深度探究、深度合作、深度反思中自主建構知識，促成知識網絡的建構，提升學科素養.