追求深度學習的初中數學課堂實踐與思考

追溯到20世紀50年代，布盧姆等人將認知維度從低到高劃分為識記、理解、應用、分析、綜合和評價，充分展現了學習的深淺.隨著研究的深入，深度學習得到了一些學者的廣泛關注和更深層次的研究，且研究成果也越發深厚.當然，當前對深度學習的認識也沒有一個統一的說法，但認知層面上的理解卻是基本一致的，即識記和理解屬于淺層學習的認知水平，而應用、分析、評價和創造才是深度學習的認知水平.

當下，我們主張深度學習，期待學生以積極主動的情感，將高階思維貫穿學習始終，在思維的主動參與下探尋到知識技能的本質，并達成數學素養的發展.下面以“最短路徑問題”的教學為例，探求初中數學深度學習的可行路徑.

1 教學過程簡析

1.1 教學環節1：問題導入，引發深度思考

師（展示圖1）：同學們，現在我們需要利用“垂線段最短”這個性質來解決實際問題.現在假設你是勘測隊的工作人員，正在河流l（近似筆直）的兩側進行勘測，并設置了3個勘測點，即點A，B和C.現需在A勘測點處修建一個水池并將河中水引入水池中，那么如何選擇河岸的開溝位置才能使得水溝長度最短呢？

生獨立思考后嘗試解決：根據“垂線段最短”的性質，生成如圖2所示的畫法，即過點A作AP⊥l，垂足為點P，則為本題中探尋的開溝位置.

說明：巧妙定位教學并選擇典型素材是教學的關鍵.以適切情境點燃學生的內驅力，激活學生的數學思維，可以讓深度學習自然發展.這里，教師巧妙改編課本例題，用具有整體感的問題情境來調動學生的積極性，引領學生快速、順暢地識別模型，同時為模型的順利遷移奠定基礎.

1.2 教學環節2：巧設活動，激活問題意識

師：我們已經解決了上述問題，那現在請大家運用已學知識試著模仿問題1再設計一個高品質問題，并以小組為單位進行討論和解答.

學生分組討論，提出問題并解答.

師（根據討論結果總結）：大家表現都很棒，提出了各種各樣的問題.老師總結了一下，大家所提問題中最多是“直線上一點到直線異側兩點間最短距離”的相關問題.例如，現需在河岸上開溝（河的寬度忽略不計），那么如何選擇開溝位置才能使得開溝處到A，C這兩個勘測點的水溝長度之和最短？同學們也都給出了正確解法——根據“兩點之間線段最短”，生成了圖3所示的畫法，連接AC交l于點P，則點P即為所求.

師（繼續引導）：上述問題的實質還是“直線上一點到直線異側兩點間距離和最短”的問題，同學們能試著變化其中一點的位置，得到一個新問題嗎？

學生（思考后回答）：現需在河岸上開溝（河的寬度忽略不計），那么如何選擇開溝位置才能使得開溝處到A，B這兩個勘測點的水溝長度之和最短？請作圖探尋該位置并闡明理由.

師：很好，這個問題非常棒！那該怎么解決這個問題呢？

生：老師，這個題跟前面的問題不一樣，沒法直接作垂直線段、也沒法直接利用兩點之間線段最短這個性質選出開溝位置了.

師：是的，現在A，B兩點在河的同一側，這個問題實際是要解決“直線上一點到直線同側兩點間距離和最小”問題.大家想想，該怎么解決呢？

生（思考后回答）：可利用軸對稱.

師：正確.我們只需探尋到A和B這兩點中任意一點關于直線l的對稱點，則可將問題轉化為前一個問題的模型，從而生成了圖4所示的畫法，即作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l相交于點P，則點P即為所求.

師（提出新的問題）：在剛才的探究中均未考慮河流寬度，若將其列入考慮范圍之中，剛才的三個問題會受影響嗎？如果受到影響，請說一說影響了什么？

生（交流探討后回答）：第1個問題和第3個問題未受影響，第2個問題涉及河流兩岸的取點問題，應該會有所影響.

師：那同學們再設計一個新問題吧.

生：如圖5，河的兩岸為平行直線，現需在河上造橋MN，使得該橋與河流方向垂直，則MN造于何處才能使得A到C的路徑AMNC最短？

師：很好，大家說說，這個問題該怎么解決呢？

生：可以先設河流兩岸是直線a，b（如圖6），顯然河的寬度是不變的（MN為定長），從而本題實質上就是探尋使得AM+CN最短的方法.

師：思路是對的，那怎么樣才能使AM+CN最短呢？

生：可以將直線a平移至與直線b重合，即M，N重合，此時AM，CN在同一直線上，就可以利用兩點間線段最短這個性質算出來最短距離了.

師：非常正確！這個問題的解題思路是沿著與直線a垂直的方向（右下）平移MN的長將點A移至點A′（如圖7），連接A′C，與直線b交于點N，再作出MN后予以證明即可.

說明：學生都是渴望創新的個體，教師巧設活動可以激起學生的問題意識，但由于多數學生對于自身所提問題品質沒有十足的把握，因此無論是否高質，學生都渴望被鼓勵，所以教師的激勵性評價應適時且適當.這里，教師通過活動引領和激勵性評價，誘導和啟發學生不斷形成新問題，以增強學生的問題意識，同時在小組合作學習的過程中深度探究，使深度學習真正發生.

1.3 教學環節3：總結提煉，體現深度學習

師：在以上問題的探究中，我們都收獲了什么？

生（討論后回答）：解決最短路徑問題，一般可用軸對稱、平移等方式將未知轉化為已知或轉化為簡單問題.

說明：最短路徑問題的解決中，需要時刻關注的是“變未知為已知、變復雜為簡單”，雖然教學過程中有教師的不斷點撥和啟發，但學生時有忽略也在所難免，唯有通過不斷喚醒，才能深化學生的理解與認識.

1.4 教學環節4：活用策略，深化學生認知

師（展示圖8）：已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，且∠BAD=120°，在BC上探尋一點M，在CD上探尋一點N，使得△AMN的周長最小，并試求∠AMN+∠ANM的度數.

生（根據前面所學內容進行解答）：因為要使△AMN的周長最短，則利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，分別作A關于BC，CD的對稱點A′，A″，如圖9，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°.

2 回顧與啟示

2.1 教學的精確定位

在深度學習中積累活動經驗，提高思維水平，學會舉一反三，是十分重要的，但缺乏思考的問題很難擔此重任.因此，教學時需設計具有思維含量的活動，引導和激勵學生實現深度學習，自主構建知識結構，發展數學核心素養.

2.2 激勵性評價的利用

激勵性評價不僅能調動學生的思維，還能使學生快速樹立信心.在教學中，教師若能適時對學生的學習過程進行激勵性評價，則可以使學生樂意卷入深度思考之中，從而全程思維高度參與，輕松實現深度學習.

2.3 互動交流品質的提高

深度學習離不開數學交流，高品質的數學交流是深度學習的體現.本節課中的數學交流可以說品質較高.教師充分利用學生的可生成性資源，持續地以探究性問題促發學生的深度交流，讓學生愿意提出問題，愿意分享、解釋和澄清自己的想法，最終在師生互動和生生交流中實現深度學習.

總之，引導學生會用數學眼光去觀察、用數學思維去分析、用數學語言去表達，并將數學核心素養的培養貫穿教學始終，這才是深度學習應有的樣態，如此才能讓數學課堂綻放生命光彩.