經歷“方差”概念形成過程，培養學生數據分析能力

“方差”的概念是初中“統計與概率”領域難點之一.筆者所聽一節“方差”的公開課中，授課教師僅抓住了知識點的要求，而忽略了方差的概念形成過程，忽視了方差對學生數據分析觀念的培養作用.本文中通過剖析所聽公開課中的問題，給出“方差”這一節課的教學設計，并提出自己的一些思考.

1 問題剖析

1.1 教材理解不深刻，目標定位不準確

本節課有兩個概念“極差”和“方差”，教材都是采用描述性的定義.會計算簡單數據的方差只是知識層面的要求.而授課教師因為中考對方差的考查比較簡單，故在課堂教學中過于功利化，僅僅要求學生會計算一組數據的方差，忽略了方差概念的形成、公式的得出、意義的理解，不注重學生數據分析觀念的培養.

1.2 教學方法簡單化，機械訓練效益低

本節課中，授課教師主要采用了講述加練習的方式，講解了極差、方差的概念，給出了方差的公式后，就利用題組進行訓練.這種方式下，學生對概念的理解只會停留在表面，概念得來是被動的，教學效益是低下的.這樣的課堂是低效的，也喪失了培養學生數據分析觀念的良機.

本節課應該設計合理的問題，讓學生在問題串的引導下經歷概念的形成過程，體悟數據中蘊含著信息，感受數據分析的必要性.

2 教學過程

2.1 環節1：創設情境，引入課題

問題1 世界公認的中國的“國球”是什么？

生（齊）：乒乓球.

師：那你們知道比賽用球的直徑是多少嗎？

大部分學生搖頭.

師：老師告訴你們，乒乓球的標準直徑是40 mm.

問題2 A，B兩廠準備為奧運會提供比賽用球.質檢員分別從A，B兩廠的產品中抽樣調查了10只乒乓球，它們的直徑（單位：mm）如表1所示：

如果你是奧委會負責比賽用球的官員，根據這些數據，你準備選用哪個廠生產的乒乓球？

學生分組討論，然后回答.

生1：我覺得A，B兩廠都一樣，因為它們的平均數都是40.0 mm.

生2：我也覺得A，B兩廠都一樣，因為它們的中位數都是40.0 mm.

生3：如果從眾數來看，A廠生產的乒乓球直徑的眾數是40.0 mm，而B廠的眾數是40.0 mm和40.1 mm，是不是兩廠也是一樣呢？

師：剛才同學們分別從平均數、中位數、眾數來描述了兩廠生產的乒乓球的直徑，發現兩廠生產的乒乓球的“平均水平”相同，那我們是否還可以從其他因素來考慮呢？

2.2 環節2：比較分析，理解概念

問題3 奧運會比賽需要大量用球，考查一批乒乓球的直徑還需要關注什么因素？

學生分組討論、交流.

生4：A廠乒乓球最大直徑是40.2 mm，最小直徑是39.8 mm，而B廠乒乓球最大直徑是40.3 mm，最小直徑是39.7 mm，我覺得A廠的更好一點.

師：大家是否同意他的看法.

生（齊）：同意.

師：我們把一組數據中最大值與最小值的差叫作極差.極差反映了一組數據的變化范圍，在一定程度上描述了這組數據的離散程度.

問題4 如果C廠也參與了競爭，從該廠抽樣了8個乒乓球，它們的直徑（單位：mm）如表2所示：

又該如何選擇呢？

生5：也可以比較這組數據的極差.

生6：可是這組數據的極差也是0.4，那么應該選A廠的還是選C廠的呢？

師：看來，極差僅能反映這一組數據兩個極端值的離散程度，反映不出其他的數據偏其中心值的程度.

問題5 能否繪制圖表直觀地感受三組數據的“波動大小”？（圖1是A廠乒乓球直徑的離散圖.）

學生分組合作畫出B廠、C廠的乒乓球直徑的離散圖.

師：從離散圖能否直觀地看出哪個廠生產的乒乓球直徑更接近于標準直徑？

生7：我覺得是A廠，因為A廠有4個數據是40.0 mm.

生8：我也覺得是A廠，因為A廠大多數數據接近于40.0 mm.

師：數學學習不能光靠直觀，還需要量化.

問題6 如何用某個具體的數值來刻畫每一組數據的波動情況？

師：每一組數據都是以什么作為比較標準的？

生9：以乒乓球的標準直徑作為比較標準.

師：在這幾組數據中，乒乓球的標準直徑40.0是這每組數據的哪一個量？

生10：都是平均數.

師：如何比較每一個數據與平均數的差異？

生11：可以求每一個數據與平均數的差值.

師：每個小組請把表3填好.

師：這樣能刻畫每一個數據與平均數的波動情況嗎？

生12：我覺得不行.但是能否用偏差的總和來比較各組數據偏離標準直徑的情況？

生13：應該不可以.這些差值的和會出現正負抵消的情況，A，B，C三組數據的差值之和都是0，怎么比較？

師：為量化各組數據偏離平均值的情況，如何進行數學上的處理來避免偏差正負抵消？你有什么方案？

生14：要想不出現正負抵消的情況，能不能求差值的絕對值之和？

生15：我覺得這樣也有問題，A，B兩組數據都有10個，而C組數據只有8個.

生16：那就求這些差值的絕對值的平均數，就可以避免這個問題了.

師：各位同學想得都非常好.要想避免正負抵消，除了取各差值絕對值，還有什么方法嗎？

生17：可以將每個差值平方，再求這些平方的平均數.

師：這兩種方法都可以描述一組數據的離散程度，統計學上將前一種統計量稱為“平均差”，后一種稱為“方差”，本節課我們主要研究方差.如果一組數據為x1，x2，……，xn，你能表示出它的方差嗎？

…………

2.3 環節3：應用概念，解決問題

教師出示例題（略）.

師生共同完成該例題的解答，強調計算、表達、書寫的規范性和準確性，并歸納計算方差的一般步驟.

鞏固練習：（略）

2.4 環節4：歸納小結，提升學力

問題7 通過這一節課的學習，你如何刻畫一組數據離散程度？

問題8 計算方差的具體步驟是什么？你是如何理解方差概念的？

…………

3 反思

3.1 精心設計問題，經歷概念形成過程

“問題是思維的起點，是數學的心臟”.課堂教學要精心設計問題，主要體現在問“好問題”、“問好”問題.“好問題”來源于知識發生、發展的關鍵處和學生理解的困惑處；“問好”問題要注意問題的層次性和邏輯性[1].

3.2 深入挖掘素材，培養數據分析觀念

現今社會是高速發展的社會，到處充斥著海量的信息，時常需要分析大量的數據，因此培養學生數據分析觀念就顯得尤為重要.首先，在統計教學中需要從實際生活背景出發，提出契合學生認知水平的問題，讓學生感受用數據分析的必要性，增強學生用數據分析的觀念.其次，要體會數據蘊含的信息.最后，能利用數據進行判斷分析.根據數據的特征，合理選用統計量來表征數據的集中趨勢或是離散程度.

參考文獻：

[1]石樹偉.核心問題為統領 關鍵問題為線索——以“方差”問題導學為例[J].中國數學教育，2018（17）：17-20.