基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理教學(xué)探討

深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者批判性學(xué)習(xí)新思想、新事實(shí)，并無痕將其納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，解決問題的學(xué)習(xí)過程.

數(shù)學(xué)定理是人類在長期不斷總結(jié)與發(fā)現(xiàn)后得出的結(jié)果，定理是數(shù)學(xué)的基石.數(shù)學(xué)定理教學(xué)是數(shù)學(xué)的靈魂.通過定理學(xué)習(xí)，學(xué)生可以真正理解和解決數(shù)學(xué)問題，從而為長期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ).

1 基于深度學(xué)習(xí)的定理教學(xué)過程

1.1 環(huán)節(jié)1：在問題解決中發(fā)現(xiàn)命題

問題1 我們所學(xué)判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪些？

生（思考后回答）：邊邊邊相等；邊角邊相等；角邊角相等；角角邊相等.

問題2 已知△ABC和△A′B′C′，若AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，則△ABC≌△A′B′C′嗎？請(qǐng)闡明原因.

生（思考后回答）：不全等.因?yàn)樗环衔覀儗W(xué)過的四個(gè)判定方法的任意一個(gè).

問題3 問題2中，若添加條件∠C=∠C′=90°，則△ABC≌△A′B′C′成立嗎？說說你的探究過程.

學(xué)生思考、討論，但未達(dá)成一致結(jié)果.

師（總結(jié)引出命題）：同學(xué)們，接下來我們一起來探究“有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”這個(gè)命題是否成立.

1.2 環(huán)節(jié)2：在深入探究中發(fā)現(xiàn)結(jié)論

探究活動(dòng)：

（1）如圖1，已知Rt△ABC，試著畫Rt△A′B′C′，使得AB=A′B′，BC=B′C′，∠C′=90°.

（2）剪下Rt△A′B′C′，再將其與Rt△ABC重疊在一起，那么Rt△ABC與Rt△A′B′C′完全重合嗎？

（3）猜測(cè)結(jié)論，并試著表述.

學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手探究，發(fā)現(xiàn)結(jié)論是成立的，同時(shí)在師生交流與生生互動(dòng)中提煉得出命題.最終在教師的啟發(fā)下，學(xué)生進(jìn)一步以圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行表述：

如圖2，已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°，則△ABC≌△A′B′C′.

1.3 環(huán)節(jié)3：在合作探究中證明定理

問題4 已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，求證：△ABC≌△A′B′C′.

點(diǎn)撥1：你覺得可運(yùn)用什么判定定理來證明？

生1：若再給出一組邊相等，則可以通過SSS予以證明；若再給出一組角相等，則可以通過AAS、ASA、SAS證明.

點(diǎn)撥2：有哪些方法可以證明一組邊或一組角相等？在合作討論后試著用思維導(dǎo)圖予以呈現(xiàn).

學(xué)生探討、匯總，然后由生2匯報(bào)探討結(jié)果（如圖3所示）.

面對(duì)思路①，學(xué)生有困頓之感.

點(diǎn)撥3：由果索因僅僅是探尋方向的其中一種，由因索果也不失為一個(gè)好的方向.

經(jīng)過思考、聯(lián)想，生3用圖4所示的思維導(dǎo)圖來詮釋他的所思所想.

師：經(jīng)過剛才的引導(dǎo)和分析，大家前后分為一組，再進(jìn)一步討論、探究，最后展示你們具體的證明過程.

合作探究后，小組1利用圖4所示的思路得出證法1.

C′D′，AD=A′D′.

又因?yàn)锳C=A′C′，所以△ACD≌△A′C′D′，則∠A=∠A′.所以△ABC≌△A′B′C′.

小組2的學(xué)生則基于圖4及“計(jì)算得到等量關(guān)系”的思路，得到證法2.

小組3根據(jù)“同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”的思路，探究得到多種封閉圖形（略），同時(shí)得到證法3.

證法3：如圖6，因?yàn)椤螩=∠C′=90°，所以B，C，B′三點(diǎn)共線.又AB=A′B′，則△ABB′為等腰三角形，所以∠B=∠B′.所以△ABC≌△A′B′C′.

教師適時(shí)引導(dǎo)：圖6是直接應(yīng)用定理，而并非所有圖形都是如此.還有什么圖形可能是定理的變式應(yīng)用？

各個(gè)小組又熱烈討論起來，小組1很快有了證法4.

證法4：如圖7，連接CC′，因?yàn)锳C=A′C′，所以∠ACC′=∠AC′C.

又因?yàn)椤螦CB=∠AC′B=90°，

可知∠ACB－∠ACC′=∠AC′B－∠AC′C，即∠C′CB=∠CC′B，所以BC=B′C′.所以△ABC≌△A′B′C′.

師：有小組或同學(xué)用思路“④如果a=b，b=c，則a=c”證明的嗎？

沒有學(xué)生回答.教師接著提示：證明線段相等或角相等，只需探尋第三個(gè)量后借助等量代換即可.比如，能否構(gòu)造一個(gè)三角形與其中一個(gè)三角形全等，再證明構(gòu)造的這個(gè)三角形與另一個(gè)三角形全等？

最后，在師生共同合作下完成了定理的完整證明，得到證法5（這里略）.

1.4 環(huán)節(jié)4：在互動(dòng)交流中應(yīng)用定理

例1 如圖8所示，已知∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE.

證明：點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的一點(diǎn).

師：想證明點(diǎn)P是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，可以通過什么驗(yàn)證呢？

生：連接PO，然后證明∠DOP=∠EOP.

師：那根據(jù)題目中給定的條件，可以怎么證明這兩個(gè)角相等呢？

生：可以證明△DOP≌△EOP.

師：如圖9，已知OP為∠AOB的平分線，OA上有一點(diǎn)D，OB上有一點(diǎn)E，∠PEO=40°，PD=PE，試求出∠PDO的度數(shù).

…………

1.5 環(huán)節(jié)5：在反思提煉中深化理解

問題5 從本節(jié)課定理學(xué)習(xí)的步驟著手試著總結(jié)定理的發(fā)現(xiàn)、提出、證明和應(yīng)用過程，并繪制思維導(dǎo)圖.

2 反思

問題是促成核心素養(yǎng)的有利方式和現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ).定理教學(xué)成功與否很大程度上取決于學(xué)生對(duì)定理探究的興趣，而知識(shí)轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)的有效途徑在于問題，因此，定理教學(xué)中的問題選擇需基于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，且以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)為關(guān)鍵要素.本課中教師設(shè)計(jì)了拾級(jí)而上的問題鏈，從引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知到喚醒類比研究法，層層遞進(jìn)引領(lǐng)學(xué)生有意義地深度學(xué)習(xí)，自主建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終促進(jìn)思維向著深度和廣度發(fā)展.

初中生的邏輯思維處于從經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)型的初級(jí)階段，通過有效方式引領(lǐng)學(xué)生正確探尋思維方向，可以幫助學(xué)生快速理清定理的證明思路，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu).事實(shí)上，在思維導(dǎo)圖的輔助下，學(xué)生能合理、有序地聯(lián)想，最終完成定理的證明.

總之，在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中需以深度學(xué)習(xí)內(nèi)在機(jī)制為依據(jù)設(shè)計(jì)教學(xué)，挖掘各種有效的素材與策略助推深度學(xué)習(xí)的教育價(jià)值，仔細(xì)處理好教學(xué)內(nèi)容與具體學(xué)情的耦合關(guān)系，以進(jìn)一步提高基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理教學(xué)的實(shí)效性，讓學(xué)生在深度思考和探究中學(xué)會(huì)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).