觀察·猜想·交流：助力數學核心素養的落地

現下的數學課堂教學十分重視學生數學核心素養的培養與發展，一線教師需深入研究引導學生主動參與數學學習的方法與策略.筆者認為，教師要不失時機地對學生進行思維的點撥和啟發，讓學生在觀察、猜想和交流中切實經歷數學探究的過程，真切地體驗數學探究的樂趣，積累數學探究的經驗，提升核心素養.在課堂教學中，如何讓學生進行深度的自主探究和合作交流呢？筆者以“打印紙中的數學”教學為例進行了一次嘗試.

1 教學過程

1.1 以生活素材為依托，引發觀察

1.1.1 素材準備

教師提前候課，并打開包裝袋給學生一一分發包裝好的A4紙和A3紙，且A4紙每人1張，A3紙則每2人1張.

1.1.2 構建認知沖突

師（情境導入）：這種A4紙在我們的生活中隨處可見，尤其是上網課的時候我們經常會用它來打印一些資料，想必大家對它已經有了一定的認識和了解.事實上，在當下它流行且通用，更重要的是它蘊含著一些不為我們所知的秘密，今天這節課老師將帶領大家從數學視角去探尋其中的奧秘.

師（提出問題）：如果讓你選擇一個角度著手探索它，你打算從何開始？

生1：我認為可以從形狀、大小及擺放位置著手探索.

生2：我認為可以從周長、面積及體積入手探究.

生3：我認為可以從它的長、寬、高出發.

師（追問）：它的形狀和擺放位置一目了然，且高度太小，看來從長、寬的角度著手，不僅可以得到長和寬，周長、面積也就隨之知曉了.如何得知它的長和寬呢？

生（思考后回答）：用尺子量.

師：那請大家開始測量吧.

學生開始測量，并獲得結果“長297 mm，寬210 mm”.

師（繼續提問）：事實上，在我們的生活中，一旦你擁有了一雙善于觀察的眼睛就能少走很多彎路！我們可以不測量就得出這張A4紙的長與寬嗎？

學生陷入沉思，未有新的結果.

教師通過“再一次打開包裝袋，慢慢地抽出一張A4紙”引導學生思考.

有學生很快領悟，并提出可以從包裝袋上探尋相關數值的想法……

1.2 以不斷追問為契機，引發猜想

師（提出問題）：現在我們已知道了A4紙長和寬的值，那隱藏的秘密究竟是什么呢？藏在哪里呢？

生（思考后回答）：是藏在長與寬的運算中嗎？

師（追問1）：真是不錯的想法！那運算又有哪些？結果是什么？

生（運算后回答）：長＋寬＝507，長－寬＝87，長×寬＝62 370，長/寬＝1.414 2……，寬/長＝0.707 07……

師（追問2）：現在有思路了嗎？

1.3 以探究實踐為方法，體驗驗證

師（提出問題）：猜想已經形成，該如何進一步驗證猜想呢？

生4（火熱的討論后回答）：用3張A4紙拼起來.

師：請詳細說說你的驗證過程.

可.經測量這個角果然是90°，由此驗證了猜想.

師（追問1）：若只用手中的1張A4紙進行驗證，該如何做呢？

生5（脫口而出）：折疊.

師：很好！大家試著折疊來驗證這個猜想.

學生立刻展開操作.

師（追問2）：你們的驗證方法是否相同？是否可以將上述的講解過程通過數學語言描述與表達呢？

學生分組討論并嘗試用數學語言描述與表達，

教師傾聽學生討論情況并適時給予糾正與引導.

學生代表進行討論展示：已知如圖2所示的長方形ABCD，沿著AE折疊使得B點落在邊AD上，再展開它就有了折痕AE；然后沿著AF再折疊使得D，E兩點重合，又一次展開它則有了折痕AF.同時提出與之匹配的驗證思路，即構造一個以A4紙的寬AB為腰的等腰直角三角形，進而驗證A4紙的長AD與AE重合.就這樣，通過文字、符號、圖形的融合，使得問題得到了數學化的驗證.

師（追問3）：有沒有其他的驗證方法呢？

學生6（思考后回答）：可以按照圖3所示的折疊驗證法，即在A4紙上構造等腰直角三角形AGD，再驗證寬AB和AG重合即可.

1.4 以類比探究為突破，深度交流

師（引導）：事實上，A3紙在我們的生活中有著廣泛的應用，那A3紙中又蘊含著什么秘密呢？我們又該從什么角度展開探究呢？

生7：可以類比剛才探究A4紙的方式，先從A3紙的外包裝上探尋長與寬的相關數據.

生8：它或許有著和A4紙相同的特征.

生9：A3紙對折后和A4紙一樣大.

…………

師（提出問題）：請在猜想的基礎上展開驗證.

師（繼續提問）：通過上述認識，你能猜測出A5紙的長與寬及二者之比嗎？

生7（大膽猜測）：既然A3紙沿著長邊對折可得A4紙，那A4紙沿著長邊對折也可以得到A5紙，這應該是折紙的延續性.經過計算可以得出A5紙的長與寬分別為210 mm和148 mm.

生8：那將兩個數相除即可得出答案.

生9：不用這么麻煩，我們只需將圖4中的A3視

1.5 以課外拓展為延伸，深化思維

師（總結并布置課后作業）：在本節課的探究中我們研究了三種打印紙的秘密，事實上A型打印紙有很多型號，那么A型紙的其他型號也具有以上性質嗎？為什么要設置這樣的性質呢？B型紙和K型紙又具備什么性質，它們的長與寬又存在什么關系？請課后大家花時間進一步展開探究.

2 如何落實核心素養

學生在數學探究活動中能體驗數學探究的喜悅，落實數學核心素養.那么，如何在數學課堂上引導學生的數學探究走向深入，逐步落實數學核心素養呢？結合本節課的教學實踐，筆者認為可以努力做好如下幾點.

（1）為學生提供觀察的素材，促發深度探究

課的開始，教師用學生熟悉的打印紙導入，讓學生思考、觀察、猜想、驗證、創新，最終發現和驗證長與寬的比值.事實上，活動的深入源于教師所提供的素材，學生在觀察素材的指引下長驅直下，在觀察中猜想，在猜想后驗證，在驗證后歸納，從而獲得對知識的深刻理解和認識.這樣的過程就是深度探究的過程.在深度探究的過程中，學生不僅獲得了知識本身，更多的是積累了探究經驗，發展了數學思維品質.

（2）為學生提供猜想和交流的過程，體驗數學本質

本課中教師為學生提供猜想和交流的過程，讓學生猜想A型紙的特性，并在互動交流中驗證猜想，體驗數學本質.更重要的是，還將數學探究從課內延伸至課外，讓學生的數學探究不止，數學思維不斷.整個過程，由于學生對于知識的敏銳直覺不同，因此表現出的分析策略和推理能力等方面也不盡相同，但不同的策略有利于多角度思考和交流，從而在對比中深化對數學本質的領會，積累數學探究經驗，體驗數學本質.

（3）讓學生學會用數學語言表達，加深本質領會

數學探究的過程可以讓學生嘗試用數學語言（包括圖形、符號、文字）進行交流和表達，助力數學本質的揭示.在學生運用折紙進行表述時，教師巧妙引導，教會學生如何運用數學語言表達和演繹.這樣的暗示與點撥使得學生后續在計算A3紙的長與寬時能夠準確提取，加深了對本質的領會.

總之，教師要善于挖掘教材，善于對課堂進行設計，如此才能讓學生經歷觀察、猜想、交流的探究過程，提高思維品質和關鍵能力，落實數學核心素養.