基于數形結合思想突破解題思維

摘 要：數形結合明確了數學語言和圖形的關系，兩者之間相互聯系、相互轉化.數形結合不僅僅是一種重要的數學思想，也是一個高效的解題工具，通過數形之間的轉化，可促進抽象問題具體化、直觀化，以便學生順利找到解題的“突破口”.

關鍵詞：數形結合；初中數學；解題能力

“數”和“形”是數學學科研究的兩大領域，且兩者之間相輔相成、互為一體.我國著名數學家華羅庚在研究中明確指出：“數形結合百般好，割裂分家萬事休.”在數學學科中，數形結合思想具有十分重要的價值，將其應用到教學中可以幫助學生掌握數學知識的學習技巧，拉近學生與數學之間的距離，將復雜的數學知識進行簡單分析和梳理，最終實現數學學科的高質量學習.鑒于數學學科的特點，解題教學歷來是教學的重難點，尤其是進入初中階段學習中，題目難度系數逐漸增加，對學生的抽象能力、邏輯思維能力要求相對比較高，致使學生在解題時常常出現手足無措的現象，迷失在解題中.本文結合課堂教學實踐，針對數形結合思想在初中數學解題和教學中的具體應用，展開了詳細的探究.

1 數形結合思想在初中數學解題教學中的作用

“數”和“形”是數學研究領域的兩大內容.從本質上來說，數和形代表著同一事物兩個方面的屬性，兩方面密不可分，且具備關聯性.就數學學科來說，數形結合思想就是將數學知識中的文字、數字進行轉化，使其成為一種直觀的圖形，旨在促進數學問題具體化、簡單化，以便學生在靈活轉化中觸及數學知識的本質，最終完成數學知識的深層理解，并逐漸形成一定的數學思維.

數形結合不僅僅是一種重要的數學思想，也是一種非常重要的解題工具，將其應用到初中數學解題中彰顯出十分重要的價值.首先，有助于降低學生的解題難度.針對難度系數比較大的問題，由于題目中數量關系比較復雜，隱含條件比較多，學生常常出現毫無頭緒、不知道如何下手的現象.鑒于此，通過數形結合思想的應用，可將題目中的關系進行轉化，并在圖形的輔助下，逐漸形成明確的解題思路.其次，有助于喚醒學生的學習興趣.在調查中發現，數學問題難度大是制約學生解題興趣的重要因素.鑒于此，通過數形結合思想的應用，可給學生帶來不一樣的體驗和感受，點燃其探究欲望，使得學生以更好的狀態參與到數學解題學習中.最后，有助于促使數學解題思維的發展.進入初中之后，數學知識難度系數逐漸增加，數學問題也變得日益復雜，致使學生在解題時頻頻出現力不從心的現象.鑒于此，通過數形結合思想的應用，可促使學生在數量和圖形的相互補充和轉化中，促進數學解題思維的發展，為其正確解題奠定堅實的基礎.［1］

2 數形結合思想在初中解題中的具體應用

2.1 數形結合思想在代數問題中的應用

代數是初中數學中最為重要的題目類型，也是常考的熱點和重點，經常出現在填空題、選擇題中.面對這一類型的題目，如果按照常規思路進行解答，不僅會浪費大量的時間，甚至還無法保障解題的正確率.融入數形結合思想，可有效簡化學生的解題過程，提升其解題準確率.

例1 已知不等式組x＞-1，

x＜1，

x＜k.

（1）當k=12時，不等式組的解集是""" .

當k=-2時，不等式組的解集是nbsp;"" .

當k=3時，不等式組的解集是""" .

（2）根據（1）可知，不等式組解集伴隨著實數k值變化而發生改變，當k為任意實數時，寫出不等式組的解集.

分析：這是一道常見的一元一次不等式組問題，尤其是題目中含有待定系數不等式組，在解答這一類型問題時，可借助數軸（如圖1）迅速找到問題的答案.

（1）當k=12時，解集為-1＜x＜12；當k=-2時，不等式組無解；當k=3時，其解集為-1＜x＜1.

（2）需要結合問題（1）中不等式組的解集展開分類討論.

當k≥1時，x＞-1、x＜1，x＜k存在公共部分，即不等式組解集為-1＜x＜1.

當k≤-1時x＞-1、x＜1，x＜k不存在公共部分，即不等式組無解.

當-1＜k＜1時，x＞-1、x＜1，x＜k存在公共部分，且公共部分集中在-1到k之間，因此不等式組解集為-1＜x＜k.

例2 當-2≤x≤2時，求二次函數y=x2-2x-3的最大值和最小值.

分析：這是一道典型的二次函數最值問題.多數學生在解答這一問題時，受到慣性思維的影響，常常會選擇代數求解法，直接將x=2，x=-2代入函數中求解，最終得出最大值為5，最小值為-3.但這一答案顯然是錯誤的，因為學生忽略了二次函數對稱軸直線x=1恰恰位于自變量取值范圍之內.在解答這一類型問題時，即可融入數形結合思想，先將該函數圖象畫出來（如圖2），之后即可根據圖象得出正確的答案.

因為函數y=x2-2x-3的對稱軸為直線x=-b2a=1，

所以當x=1時，函數y=x2-2x-3存在最小值，即ymin=-4.

再將x=2，x=-2分別代入函數，求得y=-3，y=5，

所以函數的最大值為5，最小值為-4.

2.2 利用數形結合思想解決實際問題

數學核心素養培養視域下，教師應更加關注學生的實際問題解決能力.與常規的題目相比，實際問題難度系數更高，對學生的數學基礎知識、思維能力、知識遷移和應用都提出了更高的要求.部分學生在解答數學實際問題時，常常面臨諸多障礙，此時即可融入數形結合思想，高效完成題目的解答.

例3 湖州素有“魚米之鄉”之稱.某水產養殖大戶為了充分發揮技術優勢，一次性收購了20 000 kg的淡水魚，計劃養一段時間之后再出售.已知每天放養的費用相同，放養10天的總成本為30.4萬元，放養20天的總成本為30.8萬元（總成本=放養總費用＋收購成本）.

（1）假設每天放養的費用為a萬元，收購的成本為b萬元，求a、b的值.

（2）假設這批淡水魚放養t天后的質量為m kg，銷售單價為y元/kg，已知m、t的函數關系為m=20 000（0≤t≤50），

100t＋15 000（50＜t≤100），y和t的函數關系式如圖3所示.

①分別求出當0≤t≤50、50＜t≤100時，y和t的函數關系式.

②假設將這批淡水魚放養t天后一次性出售，所獲得的利潤為W，當t為何值時，利潤W有最大值（利潤=銷售總額-成本）.

分析：這是一道常見的一次函數應用題，極具實踐性.學生在解答這一問題時，不僅要具備扎實的基礎知識，還應具備知識遷移和應用能力，能夠從題目中抽象出一次函數模型，進而運用所學的知識進行解答.

（1）在求解a、b值時，只需要結合題目內容，構建一個二元一次方程組，即10a＋b=30.4，

20a＋b=30.8，解方程組得a=0.04，

b=30.

（2）在解答這一問題時，需要根據題目意思、函數圖象，運用數形結合思想，通過圖象分析，并借助待定系數法求出函數解析式，再根據利潤=銷售總額-成本，求出利潤W的最大值.

①當0≤t≤50時，假設函數關系式為y=k1t＋n1，將函數圖象上（0，15）、（50，25）兩點坐標代入函數解析式中，組建方程組15=n1，

25=50k1＋n1，解方程組得k1=15，

n1=15，因此函數關系式為y=15t＋15.

當50＜t≤100時，假設函數關系式為y=k2t＋n2，將函數圖象上點（50，25）、（100，20）代入函數解析式中，組建方程組25=50k2＋n2，

20=100k2＋n2，解方程組得k2=-110，

n2=30，因此函數關系式為y=-110t＋30.

②根據題意得知，當0≤t≤50時，W=3 600 t，當t=50時，Wmax=3 600×50=180 000（元）.

當50＜t≤100時，W=-10（t-55）2＋180 250，根據二次函數相關知識，即可得出當t=55時，Wmax=180 250（元）.

例4 在黃色口袋中裝有三個球，分別標著數字0、2、5；在黑色口袋中裝有三個球，分別標著數字0、1、4.這六個球除了標注的數字不同，其他都相同.從兩個箱子中分別摸出一個球，計算出摸出兩個球數字之和為6的概率.

分析：這是一道常見的概率應用題，難度系數比較低，但由于概率問題本身就極具邏輯性，致使部分學生在解題時出現了各種各樣的問題.鑒于此，可采用數形結合的思想，運用樹形圖（如圖4）的方式將其呈現出來，進而快速得到答案.本題所求概率P=29.

2.3 利用數形結合思想解決幾何問題

幾何是數學內容的重要組成部分，在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確了“圖形與幾何”的教學重要性.就初中幾何問題來說，涉及的知識點比較多，對學生的基礎知識、思維能力要求比較高，歷來是學生最難啃的骨頭.鑒于此，可融入數形結合思想，高效完成題目解答.

例5 如圖5所示，一艘漁船由西向東航行，在點A處觀測到海島C位于北偏東60°的方向.漁船前進20海里之后到達點B，此時海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD=""" 海里.

分析：本題目主要考查了直角三角形的相關知識點.在本題中，學生必須基于數形結合思想，對題目和圖形進行全方位分析，從中抽象出直角三角形相關知識點，最終完成題目的解答.

根據題意得出∠CAD=30°，∠CBD=60°.

因為∠CBD=∠CAD＋∠ACB，所以∠CAD=∠ACB=30°.

根據等角對等邊性質，得出AB=BC=20海里.

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，sin∠DBC=CDBC=32，

因此CD=20×32=103海里.

3 基于數形結合思想解題教學啟示

鑒于數形結合思想在初中數學解題中的應用價值，教師應該從思想上給予足夠的重視，并將其融入日常教學中.首先，應明確不同年級不同要求.數形結合作為一種常見的數學思想，在不同的年級存在不同的要求.教師在開展教學時，應立足初中生的年齡特點、認知水平，針對不同年級學生提出不同的數形結合要求.其次，加強數學概念教學，引導學生在數學概念中強化數形結合思想.數學概念是數學學習的基礎，也是培養學生數形結合思想的關鍵，一旦數學概念不清，學生在學習中就無法了解哪些是數，哪些是形，無法將數和形聯系起來，嚴重制約了學生數形結合思想的培養效果.教師在開展課堂教學時，應全面加強數學概念教學，使學生在數學概念探究中，逐漸形成一定的數形結合意識.再次，引導學生主動探索數形聯系.鑒于數和形的內在聯系，教師在日常教學時，應立足這一點，堅持“以生為本”的原則，引導學生在思考和探究中，體會數和形兩者的內在聯系.最后，加強學生作圖訓練.在數形結合思想下，教師在日常教學時，還應關注學生的作圖訓練，培養學生的作圖能力，使得學生在規范作圖中逐漸形成強烈的數形結合意識.［2］

4 結語

數形結合不僅僅是一種數學思想，也是一種數學解題工具，直接反映了學生的數學綜合素養.為了強化學生的數學解題能力，培養和發展學生的數學核心素養，唯有徹底摒除傳統的解題教學模式，將其靈活融入代數問題、實際問題、幾何問題中，使得學生在數形結合思想的輔助下，迅速找到解題的“突破口”，形成明確的解題思路.

參考文獻

［1］林明霞.數形結合思想在初中數學解題中的應用［J］.數理化解題研究，2023（5）：23-25.

［2］張嘉銘.數形結合下初中數學典型題解題策略探究［J］.數學學習與研究，2022（25）：158-160.