工科研究生矩陣分析課程的思政案例探討

摘"要：隨著課程思政研究的逐漸深入，各高校教師積極探索如何將思政元素融入課程教學中。研究生是科學研究的主力軍，在研究生課程中融入思政教育，是研究生課程建設(shè)的內(nèi)在要求。“矩陣分析”是工科研究生的一門基礎(chǔ)課程，其內(nèi)容在研究生階段的多門專業(yè)課中有著重要作用。本文探討了如何在課程教學過程中融入思政元素，設(shè)計思政案例，達到增強學生的文化自信，提高學生的辯證思維能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，實現(xiàn)課程思政立德樹人的目的。

關(guān)鍵詞：矩陣分析；課程思政；文化自信；數(shù)學思想

中圖分類號：G4"""""文獻標識碼：A""""""doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.18.081

0"引言

教育是國之大計，黨之大計，承擔著立德樹人的根本任務(wù)。習近平總書記在2016年召開的全國高校思想政治工作會議上強調(diào)：“要把立德樹人內(nèi)化到大學建設(shè)和管理各領(lǐng)域、各方面、各環(huán)節(jié)，做到以樹人為核心，以立德為根本。”習近平總書記也提出："“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”。"在2019"年召開的學校思想政治理論課教師座談會上，習近平總書記再次強調(diào)："“要實現(xiàn)顯性教育和隱性教育的統(tǒng)一，發(fā)揮各課程與思政課程的協(xié)同效應(yīng)，實現(xiàn)全過程全方位育人”。2020年教育部印發(fā)了《高等學校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，強調(diào)要充分發(fā)揮思想政治課程之外的其他各門課程的育人作用，全面推進高校課程思政工作。課程思政主要指的是以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式，將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)。近年來，作為高等教育改革的重要內(nèi)容，高校的課程思政建設(shè)受到國家的高度重視。在大思政的背景下，各高校教師積極探索課程改革，將思政元素融入課程教學，并取得了一些成果。

1"研究生矩陣分析教學中融入課程思政的重要意義

研究生教育肩負著國家高層次人才培養(yǎng)和創(chuàng)新的重大使命。研究生不僅需要掌握一定的科研能力和較強的專業(yè)技能，也需要具備堅定的共產(chǎn)主義信仰和較好的政治素質(zhì)。在新的形勢下，研究生的教育問題也面臨著多方面的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的思想政治理論課程的教學模式無法充分解決研究生理論與實踐問題，也無法滿足他們多樣化的需求。相比之下，采用“課程思政”模式可以更好地彌補傳統(tǒng)思政教育與研究生需求之間的不足。因此，結(jié)合目前研究生教育的特點，將課程思政融入研究生的教學之中，對研究生的培養(yǎng)具有重要的意義，也對教師提出了更高的要求。在研究生課程中引入課程思政，是對研究生課程建設(shè)的內(nèi)在要求。我們需要充分發(fā)揮研究生課程思政的作用，在教學中潛移默化地影響學生對所學專業(yè)價值的認知，培養(yǎng)研究生的人生觀、價值觀、社會責任感和國家意識，以達到立德樹人，全面提升育人效果。

矩陣分析是面向工科研究生的一門重要學科基礎(chǔ)課程。該課程從線性空間與線性變換、向量與矩陣的范數(shù)、矩陣標準形、矩陣分解、矩陣函數(shù)和矩陣的直積等各個方面，系統(tǒng)闡述了矩陣分析理論的基本定義與基本原理。它不僅是高等數(shù)學和線性代數(shù)的后續(xù)課程，也是研究生階段多門專業(yè)課程的基礎(chǔ)，在數(shù)值分析、人工智能、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。在課程教學過程中，引入思政元素，將其與專業(yè)知識進行融合，對教學方法進行適當改進，可在教學過程中激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生的辯證思維能力，引導(dǎo)學生樹立正確的人生觀和價值觀，增強學生的文化自信，激發(fā)學生的民族責任心。

2"矩陣分析課程思政案例

在課堂教學中，由于矩陣分析課程的內(nèi)容較為抽象，一些學生在學習中可能會對公式推導(dǎo)等內(nèi)容感到枯燥。對于工科類的研究生而言，應(yīng)用數(shù)學能否解決實際問題更為重要，這就要求授課內(nèi)容在理論性和應(yīng)用性之間有所調(diào)整，以免降低學生學習的積極性。為提高學生學習興趣，使用案例教學法設(shè)計課堂教學環(huán)節(jié)，將思政要素與授課內(nèi)容相結(jié)合。

案例教學法是根據(jù)課程的特點來設(shè)計教學過程，針對不同的教學目標和內(nèi)容，引入案例，通過討論、分析和解決問題的方式來進行教學的方法。在教學過程中，通過引導(dǎo)學生分析案例中的問題，增強學生對知識的理解和掌握。鼓勵學生之間互相討論并尋找解決方案，培養(yǎng)學生獨立思考的能力以及團隊合作的能力，激發(fā)學生的思維能力和創(chuàng)造力。

在授課中應(yīng)用案例教學法時，于課程開始階段預(yù)先給學生提出一個待解決的問題，此問題往往和學生已學的內(nèi)容相關(guān)或需要想出其他辦法解決。針對此問題，鼓勵學生分析思考，并可互相討論，用他們已學的知識嘗試解決。當學生得出一定的結(jié)論時，指出此問題與本節(jié)課主要內(nèi)容的關(guān)系。在講解本節(jié)課程的主要知識點后，使用本節(jié)學習得出的新方法解決預(yù)先給出的問題。在問題解決后，指導(dǎo)學生運用計算機軟件，編程輔助解決問題，驗證理論的正確性，可調(diào)節(jié)課堂氛圍，調(diào)動學生學習熱情。此時向?qū)W生指出此問題的求解過程中所蘊含的思政元素，啟發(fā)他們的思考。為將思政教育順利融入課程案例的教學之中，在具體的授課環(huán)節(jié)，主要包括以下五個部分：

（1）提出問題：在講解本節(jié)課程的主要內(nèi)容之前，引入一些需要學生解決的題目。這些例題用學生已掌握的方法不易求解或難以求解；

（2）內(nèi)容講解：引入本節(jié)課的主要內(nèi)容，包括相關(guān)的概念、定理、公式以及對應(yīng)的解題方法；

（3）解決問題：以本節(jié)所學方法解決問題，并與之前學生的解法進行對比，說明本節(jié)所學方法的有效或優(yōu)于之前學生的解法，引發(fā)學生對所學內(nèi)容的興趣；

（4）軟件驗證：以MATLAB或其他數(shù)學軟件輔助解決問題，鼓勵學生掌握數(shù)學工具，加深學生對于科學計算的認識，提高學生利用計算機來解決問題的能力，激發(fā)學生的學習興趣；

（5）案例啟發(fā)：將前面解題時的情景與對應(yīng)的思政元素相結(jié)合，向?qū)W生講解此次問題解決過程中受到的啟發(fā)，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，增強學生自信，提高學生辯證思維能力。

在矩陣分析的課堂教學過程中，通過以上五步設(shè)計課堂教學，將思政案例融入其中，使學生更積極地參與到課堂之中，讓他們對所學內(nèi)容有更深刻的理解。下面是本課程典型的幾個思政案例，從中展示了以上各個教學環(huán)節(jié)如何具體實施。

2.1"增強學生的文化自信

案例1：基變換和坐標變換。

在講解基變換和坐標變換時，先向?qū)W生提出一個問題，令他們用已掌握的知識求解。題目為已知線性空間中某一特定元素，問在兩個不同的基底之間，它的坐標之間有什么關(guān)系。學生會嘗試使用列方程組的方法進行求解，可以解出對應(yīng)的兩組坐標，但坐標之間的關(guān)系無法推知。在講解了本節(jié)內(nèi)容后，學生學習了過渡矩陣和坐標變換公式的相關(guān)知識，發(fā)現(xiàn)使用坐標變換方法后，待解決的問題可視為矩陣之間的一系列運算，無須再列方程組，便于求解。在學生成功解題后，向?qū)W生演示如何使用MATLAB工具軟件進行計算，將較為枯燥的公式計算與計算機編程相聯(lián)系，以增強學生學習的積極性，提高學習興趣。

在講解完例題后，向?qū)W生引入坐標變換的重要應(yīng)用。例如，在我國空天技術(shù)的發(fā)展中，基變換和坐標變換方法都有著重要的應(yīng)用。飛行器在執(zhí)行任務(wù)的途中，時刻需要知道它和地面坐標系的關(guān)系，以及它和其他飛行器之間的關(guān)系，進行計算并調(diào)整它的位姿，確保任務(wù)的順利完成。在飛行器的導(dǎo)航、姿態(tài)控制、路徑規(guī)劃和交會對接等方面，坐標變換方法都在其中發(fā)揮著重要的作用。2024年，我國的航空航天事業(yè)仍將繼續(xù)發(fā)展，包括中國空間站的常態(tài)化運營，神舟號載人飛船的多次往返，探月工程中嫦娥探測器的月球任務(wù)等，都離不開坐標變換方法應(yīng)用于其中。通過向?qū)W生介紹坐標變換法的應(yīng)用案例，增強學生的文化自信，強化學生的民族自豪感，激發(fā)學生的家國情懷和使命擔當。

2.2"提高學生辯證的思維能力

案例2：求解矩陣的約當標準型。

在求解矩陣約當標準型的過程中，首先給出一個高階矩陣，需要學生將其用前面學過的行列式因子法化為約當標準型。學生會發(fā)現(xiàn)此題求解起來較為困難。在講解了本節(jié)的史密斯標準型方法后，可以用將矩陣化為史密斯標準型后來得出其約當標準型。學生會發(fā)現(xiàn)，對于高階的矩陣，用史密斯標準型法來求解更為簡便。求解的過程并不唯一，但最終都可以得到唯一的約當標準型（除去約當塊的排列次序外）。而后運用MATLAB軟件進行求解，并對結(jié)果進行驗證，提高學生運用計算機軟件輔助解決問題的能力。

通過此案例，讓學生體會到約當標準型的唯一性是一個矩陣的本質(zhì)屬性，在求解其標準型的過程中對矩陣做的每次變換，雖然都改變了矩陣的外表樣貌，但其本質(zhì)始終未變。教育學生深刻理解馬克思主義哲學中現(xiàn)象和本質(zhì)之間的辯證關(guān)系。本質(zhì)是事物內(nèi)在的屬性和規(guī)律，而現(xiàn)象是事物的外部表象。教育學生要具有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，在生活中要辯證地看待身邊的事物，不要僅憑外部表現(xiàn)來認識它，而要對事物的表現(xiàn)進行全面的觀察和分析，看清事物的本質(zhì)。鼓勵學生在解決問題時要有探究精神，看清隱藏在問題表面現(xiàn)象背后的本質(zhì)，找到解決問題的辦法。

2.3"培養(yǎng)學生對數(shù)學之美的感受

案例3：應(yīng)用蓋爾圓方法估計矩陣特征值。

在講解蓋爾圓的概念時，預(yù)先給出一個特定的5階或6階方陣，提出能否迅速估計此矩陣的特征值，或確定此矩陣是否相似于對角陣的問題。在學生用求矩陣特征值的方法較為費時費力地得出結(jié)論后，講解蓋爾圓定理，并以此方法，迅速有效地得出同樣的結(jié)論。與之前需要求解一元高次方程，得出特征值后再判斷矩陣是否可對角化相比，蓋爾圓方法只需對矩陣元素進行一些代數(shù)運算，并在坐標系中畫出相應(yīng)的圖形，即可得出結(jié)論。學生會發(fā)現(xiàn)，對于維數(shù)不大的矩陣，在估計其特征值方面，手工繪制圖形比精準計算更為便捷。然后，運用計算機MATLAB程序編程繪圖進行演示，并求出對應(yīng)矩陣的特征值進行驗證，以調(diào)動學生學習積極性，培養(yǎng)學生的計算機編程能力。

通過此案例，學生會發(fā)現(xiàn)使用蓋爾圓方法估計矩陣特征值的優(yōu)越之處。與原代數(shù)方法相比，此方法數(shù)形結(jié)合，結(jié)論更加簡潔和直觀，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔之美。在數(shù)學的發(fā)展史上，笛卡爾坐標系的引入，將代數(shù)方程和幾何圖形聯(lián)系起來，數(shù)形結(jié)合的方法自此發(fā)展起來。使用蓋爾圓法估計矩陣的特征值，將結(jié)論用幾何圖形來進行直觀的呈現(xiàn)，展示了數(shù)學與幾何的密切聯(lián)系，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點。學生在應(yīng)用直觀的幾何圖形解決問題時，可從中領(lǐng)會到數(shù)學的簡潔之美。鼓勵學生在解決問題時，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美，在平時遇到問題時，可以多嘗試運用數(shù)形結(jié)合和對稱等數(shù)學思想來解決問題。

2.4"培養(yǎng)學生運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想

案例4：求解矩陣微分方程組。

在克羅內(nèi)科積的應(yīng)用部分，首先向?qū)W生提出一個關(guān)于求解矩陣微分方程組的問題，學生會發(fā)現(xiàn)此問題用以往的方法難以求解。在講解完課程的主要內(nèi)容即矩陣的拉直后，再次嘗試解決前面提出的問題。學生發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用矩陣拉直的方法，原先看似難以解決的問題轉(zhuǎn)化為求解齊次線性微分方程組的問題。這種線性方程的解法是學生在前面章節(jié)中已經(jīng)掌握的，并且易于求解。學生在用已有的方法解出此線性微分方程組的解后，發(fā)現(xiàn)可以通過拉直的反向變換得到對應(yīng)原矩陣微分方程組的解。最后，使用MATLAB軟件對問題進行求解并與驗證。

通過此案例，使學生體會到數(shù)學中一個重要的思想——轉(zhuǎn)化的思想。轉(zhuǎn)化的思想是把一種數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學問題進行思考的方法。歷史上流傳的司馬光砸缸和曹沖稱象的故事都蘊含了轉(zhuǎn)化思想的靈活運用。合理運用轉(zhuǎn)化思想，我們可將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，或是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而使問題得到解決。教導(dǎo)學生在處理和解決問題時，要靈活分析問題，善于運用轉(zhuǎn)化的思想，將不易解決的問題轉(zhuǎn)為與它相關(guān)的較為熟悉的問題，通過將新舊知識聯(lián)系在一起，來嘗試解決，加深學生對知識的理解和融會貫通。

3"結(jié)語

研究生是我國科技進步的主力軍，將課程思政融于學校的課程教學，有著重要的作用。矩陣分析作為一門基礎(chǔ)課程，課程思政的融入，改善了其課堂教學環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學生的學習興趣，激發(fā)了學生學習的主動性，加深了學生對知識的理解和融會貫通。課程思政是每位教師的責任與使命，我們要理論聯(lián)系實際，積極推進高校教學和課程思政的融合，讓課堂內(nèi)容和思政素材高度相融，提升課堂教學質(zhì)量，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義事業(yè)建設(shè)者和接班人。

參考文獻

［1］張爍.習近平在全國高校思想政治工作會議上強調(diào)把思想政治工作貫穿教育教學全過程開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面[N].人民日報，20161209（1）.

[2]嚴亞強，顧振華.不定積分中的課程思政元素賞析[J].大學數(shù)學，2023，39（6）：2935.

[3]趙靜，高有，金永，等.新工科背景下線性代數(shù)課程教學改革與實踐[J].高等數(shù)學研究，2024，27（1）：9194.

[4]孫銘娟，賈瑞玲，張冬燕，等.“大思政”格局下高等數(shù)學課程思政的探討[J].高等教育研究學報，2023，46（3）：9297.

[5]王義康，李海芬，王一，等.高校研究生課程思政實施中的問題與對策研究[J].研究生教育研究，2022，3：5760，82.

[6]孫繼兵，鄭士建，張興華，等.以六結(jié)合模式創(chuàng)新研究生課程思政的隱性育人功能[J].高教學刊，2024，6：6468.