高考改革背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

摘" 要：在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教育改革新時(shí)期，高考數(shù)學(xué)的考核趨勢(shì)發(fā)生了重大改變，由知識(shí)本位走向素養(yǎng)立意，對(duì)教與學(xué)提出了更高要求。以往機(jī)械刷題的教學(xué)方法被淘汰，強(qiáng)調(diào)內(nèi)化基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本方法、提升關(guān)鍵能力，教學(xué)模式轉(zhuǎn)型成為必然。基于此，文章通過對(duì)解三角形這一必考題型的研究，分析常見考核類型，解讀高考命題特點(diǎn)，并提出切實(shí)可行的教學(xué)改革策略，以期改變學(xué)生就題論題的刻板學(xué)習(xí)思維，側(cè)重思想方法的理解與運(yùn)用，提高解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);高考改革;解三角形

隨著新一輪高考改革的深入，高中數(shù)學(xué)的考核重點(diǎn)指向核心素養(yǎng)，減少偏難怪的題型，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的深度理解與靈活運(yùn)用，全新的考核趨勢(shì)引發(fā)關(guān)于教學(xué)方法的新思考。對(duì)廣大一線教師而言，注重高考題型的研究，從中獲得教學(xué)改革的著力點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效的有力舉措。解三角形是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要模塊，呈現(xiàn)出綜合性、應(yīng)用性的特征，是高考的重難點(diǎn)，學(xué)生在分析與解決此類問題的過程中容易出現(xiàn)各種思維瓶頸，影響考試成績(jī)，如何通過精準(zhǔn)指導(dǎo)提升學(xué)生的解題能力成為教師亟待探究的核心議題。

一、解三角形常見高考題型分析

（一）最值和取值范圍問題

解三角形中的最值和取值范圍問題是考核頻率較高的題型，具有涉及知識(shí)面廣、命題靈活性較大的特點(diǎn)，是學(xué)生較為害怕的類型之一。例如，2019年全國(guó)Ⅲ卷中設(shè)置了有關(guān)取值范圍的題目。△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA+=bsinA。（1）求B;（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。本題目的思維難點(diǎn)在于確定邊長(zhǎng)a的取值范圍，可以從三角形各個(gè)邊長(zhǎng)之間的等量關(guān)系出發(fā)進(jìn)行分析，也可以利用三角形的內(nèi)角作為突破口。解決此類題型不僅需要運(yùn)用正弦和余弦定理，還要融合三角函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)。

又如，2022年全國(guó)Ⅰ卷中涉及求最值的題型。記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知=。（1）若C=2π，求B;（2）求的最小值。此道題目全面考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解以及分析問題的能力，第一小問相對(duì)簡(jiǎn)單，利用二倍角公式、差角公式和三角形函數(shù)的單調(diào)性能夠快速解決，側(cè)重對(duì)學(xué)生化簡(jiǎn)和變形能力的考查。第二小問具有一定的難度，需要辨析數(shù)量關(guān)系，找到恒等式，難點(diǎn)在于邊、角的轉(zhuǎn)化。此類題目與不等式、三角函數(shù)圖形與性質(zhì)的關(guān)聯(lián)性較大，綜合性與靈活性更強(qiáng)，不僅需要學(xué)生理解基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要發(fā)現(xiàn)各個(gè)知識(shí)模塊之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，創(chuàng)造性地遷移應(yīng)用至新問題情境。

（二）推理證明問題

解三角形與推理證明的結(jié)合是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考核，解題的關(guān)鍵在于正弦和余弦定理的靈活運(yùn)用。例如，2020年全國(guó)Ⅱ卷中有這樣一道題目，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2（+A）+cosA=。（1）求A;（2）若b-c=，證明：△ABC是直角三角形。此道題目中的證明問題有不同的解題方法，一是由三角形的內(nèi)角聯(lián)想到正弦定理和三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)，厘清證明思路。二是由三角形的三邊作為突破口，由余弦定理和代數(shù)變形進(jìn)行證明。又如，2021年全國(guó)Ⅰ卷的19題，如圖1，記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC。（1）證明：BD=b;（2）若AD=2DC，求cos∠ABC。此道題目中的證明較為簡(jiǎn)單，利用正弦定理進(jìn)行邊角替換即可得出結(jié)論，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)題目的基礎(chǔ)性。

通過上述兩道典型高考題的分析可以發(fā)現(xiàn)，無論題目形式如何變化，無論何種解題方法，解三角形中的證明都是以正余弦定理作為基本點(diǎn)。正弦定理是一個(gè)連比等式，解題運(yùn)用的重點(diǎn)在于找到等量關(guān)系。余弦定理則注重整體思想的運(yùn)用，厘清邊角關(guān)系。證明類的題目涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)，想要準(zhǔn)確地解決問題，除了強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)理解與記憶之外，還要依托邏輯性的數(shù)學(xué)思維，形成清晰的解題思路。

（三）面積問題

三角形的面積問題是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，此類問題的解題要點(diǎn)為構(gòu)建邊與角的數(shù)量關(guān)系。例如，2021年新高考Ⅱ卷的第18題，在△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=a+1，c=a+2。（1）若2sinC=3sinA，求△ABC的面積;（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值;若不存在，請(qǐng)說明理由。面積的求解作為該題的第一小問往往比較簡(jiǎn)單，但是一些學(xué)生在解決問題的過程中會(huì)出現(xiàn)定理記憶模糊的問題，難以發(fā)現(xiàn)已知條件與定理之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，出現(xiàn)解題方向、運(yùn)算結(jié)果等錯(cuò)誤。

又如，2023年全國(guó)甲卷第17題，記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知=2。（1）求bc;（2）若-=1，求△ABC的面積。此道題目的兩個(gè)問題之間存在關(guān)聯(lián)性，考查正余弦定理進(jìn)行恒等式變換與三角形面積公式的融合。在處理第二小問的過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)完成邊角化之后，又出現(xiàn)了涉及三角的問題，陷入思維困境。面對(duì)此種情況，需要學(xué)生具備降維思想，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角，找到解決問題的突破口。通過對(duì)兩年高考題的分析發(fā)現(xiàn)，解三角形中的面積問題需要強(qiáng)化邊角互化的思想方法。

二、解三角形題型考核趨勢(shì)分析

通過對(duì)歷年高考題的總結(jié)與分析，發(fā)現(xiàn)三角形是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)模塊，每年所設(shè)置的題量和所占分值相對(duì)較為穩(wěn)定，而解三角形則是其中必考的要點(diǎn)知識(shí)。解三角形題型考核的知識(shí)方向包括正余弦定理、三角形的面積公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式等，是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜、綜合的考核類型。隨著“三新”改革的深入，高考命題發(fā)生重大改變，向素養(yǎng)立意靠攏，多從知識(shí)的交匯處著眼，涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等多個(gè)素養(yǎng)維度，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解以及關(guān)鍵能力、必備品格的發(fā)展情況。解三角形類的命題逐漸由單一走向多元，逐漸擺脫了單一的機(jī)械運(yùn)算，開始融合立體幾何、函數(shù)與方程、平面向量、基本不等式、恒等變換等相關(guān)知識(shí)，側(cè)重綜合性的探索問題、思辨問題、結(jié)構(gòu)不良問題等形式，放大了知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，要求學(xué)生樹立一體化的解題意識(shí)。新高考給高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求，重基礎(chǔ)、要綜合、強(qiáng)應(yīng)用、能創(chuàng)新，進(jìn)一步推動(dòng)了教學(xué)方法的轉(zhuǎn)型。

三、解三角形問題的常見思維誤區(qū)

從解三角形的高考考核趨勢(shì)來看，其考核目標(biāo)逐漸走向注重素養(yǎng)和能力，知識(shí)分支交匯、跨度大、綜合性強(qiáng)，涉及眾多的思維模型與方法技巧，學(xué)生在解決問題的過程中容易陷入思維誤區(qū)，造成解題正確率不高的問題。具體而言，高中生在解三角形模塊暴露出的思維誤區(qū)主要體現(xiàn)在以下方面：

第一，信息提取不全。解三角形中會(huì)涉及很多隱含的條件，一些學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)“想當(dāng)然”的問題，特別是處理熟悉的題型時(shí)，缺乏對(duì)題干的深入研讀，造成信息提取不全，解題方向出現(xiàn)錯(cuò)誤，或是解題思路過于復(fù)雜。第二，非等價(jià)交換。邊角的轉(zhuǎn)換是處理解三角形問題的最為常用的方法，但是一些學(xué)生在轉(zhuǎn)換的過程中考慮不夠全面或是對(duì)基礎(chǔ)概念、定理的理不夠到位，會(huì)出現(xiàn)非等價(jià)交換的問題。第三，缺乏邊角統(tǒng)一思想。面對(duì)綜合性的解三角形問題，在辨析邊角關(guān)系時(shí)需要將三個(gè)定理和一個(gè)公式整合起來，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)所給條件之間、條件與問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，但是一些學(xué)生缺乏一體化思想，解題過程中可能會(huì)遇到各種障礙。第四，存在思維定式。新高考視域下的解三角形問題會(huì)有意地設(shè)計(jì)一些“陷阱”，若考慮不周將會(huì)陷入思維瓶頸。然而部分學(xué)生有思維定式的短板，過于依賴套路化的解題方法，將慣用思維融入新問題情境，缺乏多角度審視三角關(guān)系的靈活性思維，難以走出解題困局。

綜上所述，高考形勢(shì)的轉(zhuǎn)變使得學(xué)生更多潛在的能力局限性浮出水面，成為影響解題準(zhǔn)確性與高效性的癥結(jié)所在，也是教學(xué)指導(dǎo)的要點(diǎn)。

四、針對(duì)解三角形高考題特點(diǎn)的教學(xué)策略

（一）回歸課本

無論考核形式如何變換，夯實(shí)基礎(chǔ)的根本邏輯不會(huì)改變，回歸課本是提升解題能力最為直接、有效的指導(dǎo)方式。縱觀歷年高考試題，很多解三角形題型可以在課本中找到原型。例如，2021年全國(guó)Ⅰ卷的19題與人教版必修二冊(cè)習(xí)題6.4中的第15題相契合。又如，2020年全國(guó)Ⅱ卷中的第17題的命題來源為人教B版必修四第九章的練習(xí)題。再如，2021年新高考Ⅰ卷的第6題與人教A版必修一第五章復(fù)習(xí)參考題5中的第16題隸屬同一類型等。由此可見，解三角形的高考命題與教材存在緊密關(guān)系，教師需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)課本知識(shí)的重要性，促使他們提高重視程度，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度對(duì)待課本中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一道練習(xí)題，做到知其然亦知其所以然，并注重梳理與總結(jié)，塑造起結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。除此之外，教師應(yīng)改變“講練—解析”的固化教學(xué)方式，突出教材的工具屬性，強(qiáng)化知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、探索、理解與應(yīng)用過程，讓學(xué)生不僅僅掌握事實(shí)性的數(shù)學(xué)符號(hào)，更重要的是理解數(shù)學(xué)概念、定理的本質(zhì)，從中抽象出分析問題與解決問題的一般方法與規(guī)律，真正地將客觀數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為人文素養(yǎng)。

（二）方法梳理

正所謂“得其法者事半功倍，不得法者事倍功半”。高中數(shù)學(xué)素來有“思維體操”的美譽(yù)，單純依靠搬運(yùn)套路的方式難以應(yīng)對(duì)日趨復(fù)雜靈活的考核要求，強(qiáng)化思想方法，提升思維水平是提升高考適應(yīng)力與競(jìng)爭(zhēng)力的關(guān)鍵。對(duì)解三角形知識(shí)考核模塊而言，準(zhǔn)確高效地解決問題需要具備以下數(shù)學(xué)思想方法。一是具備“兩個(gè)意識(shí)”，即邊角互化意識(shí)和信息可視化意識(shí)，能夠?qū)︻}干中的已知條件進(jìn)行提煉與加工，找到邊角關(guān)系。例如，當(dāng)題目中給出的是代數(shù)關(guān)系，則需要對(duì)其進(jìn)行變形，完成數(shù)學(xué)運(yùn)算。又如，當(dāng)題目中明確了幾何條件，則需要將已知條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，完成論證推理。二是掌握五種數(shù)學(xué)思想，即方程思想、不等式思想、函數(shù)思想、平面向量思想和解析幾何思想。教師引導(dǎo)學(xué)生理解不同思想所適用的問題情境，如方程思想多用于解決字母值相關(guān)的問題;解決最值、取值范圍的問題時(shí)多依靠不等式思想和函數(shù)思想;向量思想側(cè)重長(zhǎng)度和角度的問題;解析幾何思想通常用于處理平面幾何圖形問題。教師將解三角形所用到的思想方法融入日常教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)的實(shí)踐練習(xí)中提升解題能力。

（三）變式練習(xí)

高考數(shù)學(xué)中的解三角形題型日趨綜合化、素養(yǎng)化，想要提升學(xué)生的解題能力離不開針對(duì)性練習(xí)。在新高考背景下，習(xí)題訓(xùn)練不應(yīng)是海量的刷題，而是聚焦數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，促使學(xué)生能夠應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜多變的問題情境。因此，教師應(yīng)注重組織變式練習(xí)，借助一題多解、一題多變、一題多用，提升學(xué)生思維的邏輯性、變通性與深刻性。

例如，2021年全國(guó)Ⅰ卷的19題，教師可以做如下變式探究。一是改變題干條件，將已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC改變?yōu)橐阎猻in2B=sinAsinC，點(diǎn)D在邊AC上，BD·b=ac。意在鞏固邊角轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。二是改變問題內(nèi)容，將問題若AD=2DC，求cos∠ABC改變?yōu)槿鬉D=2DC，b=2，求△ABC的面積，又或是改為若b=2，求周長(zhǎng)的最小值。改變題目意圖在于培養(yǎng)學(xué)生的綜合意識(shí)，提升邏輯推理能力，能夠更為系統(tǒng)、全面地認(rèn)識(shí)解三角形。此外，教師還可以將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，選擇經(jīng)典的高考題或是例題，讓學(xué)生完成對(duì)題目的變形，進(jìn)一步提升對(duì)解三角形知識(shí)的理解層次。

總而言之，現(xiàn)階段新高考改革如火如荼，對(duì)師生而言不失為一項(xiàng)艱巨的挑戰(zhàn)。教師作為指引者，應(yīng)加強(qiáng)考題研究，研究高考命題發(fā)展趨勢(shì)，找到教學(xué)創(chuàng)新的突破口，引導(dǎo)學(xué)生厘清概念、分析思路、探尋方法，提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步提升，以更好的姿態(tài)應(yīng)對(duì)高考挑戰(zhàn)。

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