分類討論思想方法在等腰三角形問題中的應用

摘 要：數學思想方法是數學知識的精髓，分類討論是數學基本思想方法之一，在思維發展、研究對象的簡化方面發揮重要作用.文章主要研究分類討論思想方法在等腰三角形問題中的應用.

關鍵詞：分類討論思想；等腰三角形；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0015-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：高志賢（1995.8—），女，福建省安溪人，碩士研究生，二級教師，從事初中數學教學研究.

分類討論思想在初中數學教學中具有重要地位，也是歷年中考考查的重點內容.分類討論思想不僅有利于培養學生發散性思維能力，還有利于培養學生思維的靈活性和創造性，且對學生形成良好的數學認知結構也是有益的.

1 分類討論思想的本質

分類討論思想是中學數學解題中最常用的思想方法之一［1］.當題目中給定的數學對象無法統一研究時，需利用分類討論思想解決問題，且分類時要確保其結果不重不漏.分類討論思想要求把研究對象按照一定的標準進行分類，并將其劃分為幾種不同的情況，再分別對各類不同的情況進行討論研究，分類討論思想可以解決受各種因素限制的不確定性問題.分類討論思想實質是化繁為簡，把一個復雜的問題分解成幾個簡單的問題，再各個擊破，即“化整為零，各個擊破，再積零為整”［2］.

2 分類討論思想的應用

等腰三角形是一種特殊的三角形，它具有一般三角形的性質，但也有其特殊性質．在解決與等腰三角形的邊和角有關的幾何問題時，由于條件不明確，會出現很多種情況，這時便可利用分類討論思想解決問題．在考查等腰三角形知識點時，往往以綜合性題目出現，學生在等腰三角形中遇到與分類有關的問題時，他們可能會因為分類不當或者不知道如何分類，導致產生漏解或增解的現象．基于此，本文以具體的幾何問題為例，說明分類討論思想在解決等腰三角形問題中的應用．

2.1 與等腰三角形的邊有關的幾何問題

例1 已知等腰三角形的兩邊分別是6 cm和12 cm，那么它的周長是______.

解析 已知條件中并沒有直接給定等腰三角形的腰和底邊的長度，因此需要通過分類討論解答.第一種情況：當腰長為6 cm，底邊長為12 cm時，此時三角形的三條邊長分別為6，6，12，因為6+6=12，這不符合三角形三邊之間的關系，所以此時不能圍成三角形；第二種情況：當腰長為12 cm，底邊長為6 cm時，此時三角形三邊長分別為12，12，6，則等腰三角形的周長為12+12+6=30（cm）.綜上所述，此等腰三角形的周長為30 cm.

例2 若實數x，y滿足（x-3）2+8-y=0，則以x，y為兩邊的等腰三角形的周長為______.

解析 因為（x-3）2≥0，8-y≥0，又（x-3）2+8-y=0，所以（x-3）2=0，8-y=0，即x-3=0，8-y=0，解得x=3，y=8.因為等腰三角形兩邊的長分別為x，y，所以需分兩種情況討論.第一種情況：當腰長為3，底邊為8時，此時三角形三邊長分別為3，3，8，因為3+3=6lt;8，所以不能構成三角形；第二種情況：當腰長為8，底邊為3時，此時三角形三邊長分別為8，8，3，其周長為8+8+3=19.綜上所述，此等腰三角形的周長為19.

變式 若實數x，y滿足（x-a）2+b-y=0，其中a，b都為正數，且a≥b，求以x，y為兩邊長的等腰三角形的周長.

解析 由（x-a）2+b-y=0可知x=a，y=b.因為等腰三角形兩邊的長分別為x，y，所以需分兩種情況考慮.第一種情況：a為腰長，b為底邊長，此時三角形三邊長分別為a，a，b，其周長為a+a+b=2a+b；第二種情況：a為底邊長，b為腰長，此時三角形三邊長分別為a，b，b.分兩種情況：當0.5alt;b≤a時，三角形的周長為a+2b；當b≤0.5a時，此時不能構成三角形.

以上三道題目包含的知識點有等腰三角形的性質、平方的非負性、算數平方根的非負性和三角形三邊之間關系等，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關系進行判斷.通過變式訓練可以進一步提高學生運用分類討論思想解決問題的能力.這三道題目的編排遵循從易到難、由淺入深、循序漸進的編排原則，符合學生的認知規律.第一道題是簡單的數的運算；第二道是綜合運用，在第一道題的基礎上增加了一定的難度；第三道是拓展延伸，符合因材施教原則，使每個學生能夠得到不同的發展.

2.2 與等腰三角形的角有關的幾何問題

例3 在等腰△ABC中，∠A=80°，則∠B的度數為______.

解析 題目中并未指明∠A和∠B是頂角還是底角，因此需要對∠A和∠B分類討論.第一種情況：當∠A為頂角時，∠B為底角，則∠B=（180°-80°）÷2=50°；第二種情況：當∠A為底角時，∠B可能為底角或頂角.若∠B為底角，則∠B=∠A=80°.若∠B為頂角，則∠B=180°-2×80°=20°.綜上所述，∠B的度數為50°或80°或20°.

變式 在等腰△ABC中，∠A=α，其中0°lt;αlt;180°，則∠B的度數為______.

解析 題目中并未指明∠A和∠B是頂角還是底角，因此需對∠A和∠B分類討論.根據題意可分兩種情況，第一種情況：當∠A為頂角時，此時∠B只能為底角，即∠B=（180°-α）÷2=90°-12α；第二種情況：當∠A為底角時，此時∠B可能為底角或者為頂角.若∠B為底角，則∠B=∠A=α.若∠B為頂角，則∠B=180°-2α.綜上所述，∠B的度數為90°-12α或α或180°-2α.

2.3 與等腰三角形的高有關的幾何問題

例4 若等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為20°，求該等腰三角形的底角.

解 等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為20°，分兩種情況討論.

第一情況：如圖1，∠ABD=20°.因為BD⊥AC，所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°.因為△ABC是等腰三角形，所以∠C=∠ABC=180°-∠A2=180°-70°2=55°.

第二情況：如圖2，∠ABD=20°.因為BD⊥AC，所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°，所以∠BAD=∠ABC+∠C=70°.因為△ABC是等腰三角形，所以∠C=∠ABC=∠BAD2=70°2=35°.

綜上所述，等腰三角形△ABC的底角為55°或35°.

變式 若等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為α，求該等腰三角形的底角.

2.4 與等腰三角形的中線有關的幾何問題

例5" 一個等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成9 cm和12 cm兩部分，求該等腰三角形的腰長.

分析 設等腰三角形的腰長、底邊長分別為x cm，y cm，根據題意列二元一次方程組即可解決問題.因題目中沒有具體指明是哪部分的長為9 cm，故應該分情況列方程組求解.

解 根據題意，三角形的周長為9+12=21（cm）.設等腰三角形的腰長為x cm，底邊長為y cm，則x+12x=9，12x+y=12;或x+12x=12，12x+y=9.解得x=6，y=9;

或x=8，y=5.

故等腰三角形的腰長為6 cm或8 cm.

2.5 與等腰三角形有關的動態幾何問題

例6 如圖3，在△ABC中，AB=6 cm，BC=10 cm，∠A=90°，AB=3AD． 點P以2 cm/s的速度沿邊BC-CA運動至點A．從運動開始，經過多長時間，以D、B、P三點為頂點的三角形為等腰三角形？

解 因為AB=6，BC=10，∠A=90°，所以AC=BC2-AB2=102-62=8.

設經過t s時，△BDP為等腰三角形．因為點P以2 cm/s的速度沿BC-CA運動至點A，所以根據點P的位置分為兩類：點P在BC上和點P在CA上.

第一種情況：當點P在BC上時，可分為三種情形.當點B為等腰三角形的頂角頂點時，BD=BP=4 cm，此時t=2 s；當點D為等腰三角形的頂角頂點時，BD=DP=4 cm.如圖4，過點D作DE⊥BC于點E，由△DBE∽△CBA可得BEBA=BDBC，所以BE=2.4 cm.由△DBE≌△DPE可得BP=2BE=4.8 cm，所以t=BP2=2.4 s；當點P為等腰三角形的頂角頂點時，PB=PE.如圖5，過點P作PG⊥AB于點F，由△PBG≌△PDG可得BG=12BD=1 cm.由△PBG∽△CBA可得BGBA=BPBC，所以BP=103 cm，從而t=BP2=53 s.

第二種情況：點P在CA上時，只存在當D為等腰三角形的頂角頂點的情況.如圖6，DB=DP=4 cm.由勾股定理可得AP=DP2-AD2=42-22=23 cm，所以CP=8-23 cm，從而t=BC+CP2=10+8-232=9-3 s.

綜上所述，當t=2，125，53，9-3s時，D、B、P為頂點的三角形為等腰三角形.

點評 本題主要考查等腰三角形的定義、勾股定理及分類討論思想.在求解過程中，需對點P的運動軌跡分類討論.在分類討論的過程中，教師要引導學生進行合理分類，按照一定的分類標準進行逐級分類，不能越級且要遵循不重不漏的分類原則.

3 結束語

在初中數學教學中，教師要有意識地滲透分類討論思想.通過分類討論思想的學習，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，培養發散性思維能力，對提升學生數學思維的靈活性和創造性有良好的促進作用.

參考文獻：

［1］ 高民生.分類討論思想在絕對值問題中的運用［J］.中學數學教學參考， 2022（9）： 50-51.

［2］ 李璐.初中數學分類討論思想的教學研究［D］.揚州：揚州大學， 2022.

［責任編輯：李 璟］