結構化視角下小學數學計算拓展課教學研究

【摘 要】數學學習的過程既要有“意思”也要有“意義”。結構化學習視角下的“小學數學計算拓展課”教學，要以整體的、關聯的、系統的視角，從學生已有的知識經驗、知識內在關聯結構、策略方法結構出發明確結構化學習內容，設計合理教學主線；引導學生通過意義思辨、圖式思辨、批判思辨，將圖與式建立聯結，對知識進行系統的關聯、轉換；讓學生通過習得練習、變式練習、延伸練習助力方法、結構的遷移應用，在實現知識結構化的同時使思維結構化，促進思維進階。

【關鍵詞】知識結構化 知識關聯 計算拓展課

結構化視角下“小學數學計算拓展課”教學，是以學生計算中的難點、疑點、拓展點和學生實際認知為基礎，以學生的數學素養提升和活動經驗的積累為重點，引導學生將數學學習中的知識、思維方式和學習策略等進行整體關聯和相互融通，在學習中通過遷移、拓展與提升，促進知識系統建構與思維發展。

一、瞻前顧后，明確結構化學習內容

（一）追溯：探明已有經驗結構

在學習新知識之前，學生原有的相關知識基礎與基本能力是怎樣的？生活經驗與學習經驗是怎樣的？對新知識的認識是怎樣的？對于這些，教師都需要明確。在此基礎之上才能將計算拓展的知識結構和學生的已有經驗對接起來，真正找到學習中的核心是什么，從而精準設計教學內容。

在探究這一知識之前，在第五冊中已經學習了三位數乘一位數的乘法，并在練習中探究了把2、4、5、7四個數分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應該怎么填？□□□×□；要使積最小，應該怎么填？□□□×□，也通過進一步的探究，發現了填數的規律。同時在面積單元研究了 “周長相同的長方形哪個面積最大”的問題。在第六冊中又學習了“兩位數乘兩位數”的乘法計算，這些為這一內容的學習提供了知識基礎、經驗基礎以及方法的支撐。

（二）勾連：梳理知識關聯結構

將疑點、難點、拓展點知識進行勾連、轉換和融合，將有聯系的知識串聯和融合起來，幫助學生建立知識結構。學生將舊經驗遷移到新的情境中去，類比學習新知識、解決新問題，能夠加深對新知識的理解與接納，從一道題走向一類題。

對于“兩位數乘兩位數積最大和最小”問題，學生借助三位數乘一位數積最大和最小問題的經驗，先確定最高位上的數字，再確定其他數字。十位上的數字容易確定，而瓶頸在于從乘法算式的意義和數的組成角度出發綜合考慮進行大小比較并調整個位上的數字。因此，解決的辦法在于激活先前所學的乘法算式積的大小判斷的經驗，同時借助長方形面積和周長的有關知識作為支撐，幫助學生直觀理解。通過勾連前后知識的內容和思考方法內在的聯系，加深對新知識的理解與接納，促進知識結構化。

（三）延展：聚焦策略方法結構

聚焦問題解決的策略和思考方法，有助于學生在情境中進行分析、探索、理解等。教師要重視策略和方法的提煉，讓學生實現對知識的理解和方法的遷移。當學生通過恰當的路徑以數學的思維方式進行思考時，就基本形成了從一道題到一類題的模型，從而形成牢固的方法結構和知識結構。

“兩位數乘兩位數積最大和最小”問題，不能只限于解決這一道題，要幫助學生打通知識的壁壘。既要聚焦活動經驗遷移：利用三位數乘一位數的積最大和最小問題的探究以及格子圖或面積圖表示算式的意義；又要聚焦方法遷移：積最大——大數排十位，兩數差最?。环e最小——小數排十位，兩數差最大。當學生會用這樣的經驗和方法進行思考并形成解決問題的路徑時，就建構起了從一道題到一類題的模型。

二、圖式聯結，構建方法策略結構

（一）意義思辨——夯基礎，促使經驗關聯

意義思辨是知識生長的根基，教師要拋出問題，引導學生從根源思考，尋找方法。教學中，教師要激活學生已有經驗，結合學生的現實學習狀況，讓學生在活動中產生認知上的沖突，發現新舊知識的聯系，找到一些相關聯的元素信息，展開學習。

在教學時，教師呈現兩組材料：①復習：把1，2，4，6四個數分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應該怎么填？□□□×□；要使積最小，應該怎么填？□□□×□。②探索：把1，2，4，6四個數分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應該怎么填？□□×□□；要使積最小，應該怎么填？□□×□□。從回憶復習“□□□×□”過渡到“□□×□□”的探究。這樣的教學過程既關聯了學生先前經驗，又為后續學習積累了活動經驗和方法經驗。學生會根據乘法運算的意義，要使積最小，最高位上放小的數1和2，個位上放另外的數，得到14×26和16×24。

（二）圖式思辨——謀發展，助力結構形成

將乘法算式分別與點子圖、面積圖之間建立聯結進行規律的探索。以“圖”作為信息載體，通過點子圖計數、面積圖計量過程體會乘法算式的意義，根據點子圖和面積圖進行兩位數乘兩位數的算式圖式分解，將算式的圖式分解與圖的表征建立對應關系，并得到“和相等，差大積小”的結論。通過多元表征，對知識進行系統的關聯、轉換和應用，在實現知識結構化的同時使思維結構化。

1.點子圖，感受圖和式的聯結

點子圖直觀性強，有利于學生進行操作和比較。在深度理解乘法意義的基礎上，引導學生進行畫圖表征，在表征過程中感受圖與式的聯結。

教學時基于核心問題“14×26和16×24的積誰??？不用豎式計算，你能借助點子圖表示出來嗎？”引發學生進行圖式思辨。先讓學生圖式分解14×26和16×24，引導學生發現相同的部分“14×24”大小是一樣的，只需要在圖中比較“2×14”和“2×24”的大小就可以了，這樣就完成了從點子圖到算式的分解，將算式的分解和點子圖中的表征建立對應關系。初步得到“兩數和相等的情況下，差越大，它們的乘積就越小”的結論。如圖1。

2.面積圖，建立圖和式的聯結

從點子圖到面積圖，繼續引導學生通過經驗遷移進行圖式分解，完成表征形式的意義聯結，并實現表征形式的結構化和抽象化，這也是對規律的驗證。

基于核心問題“62×41和61×42的積誰大？不用豎式計算，你能在長方形中表示出來嗎？”引導學生在面積圖形中先畫一畫再寫出分解算式，或者先寫一寫分解的算式，再在面積圖上畫一畫，構建乘法算式的意義。根據學生不同的面積圖表達（如圖2），統一為圖①和②，最后根據先前點子圖的經驗，將圖①和②進行比較重疊，得到圖③。發現：61×41為公共部分，大小相等，只要比較沒有重疊部分的大小就可以了。建立面積圖和算式的對應，幫助學生找到解決問題的策略，同時引導學生發現“兩數和相等的情況下，差越小，它們的乘積就越大”的結論。

（三）批判思辨——通障礙，完善知識結構

引導學生進行對比反思，敢于對結論提出疑問，發表不同意見，這就是批判思維的具體表現。教學中，教師可以設置一些障礙，對學生批判性思維進行培養和錘煉。兩組數和相等，比較這兩組數積的大小時，可以借助規律，也可以先列舉再計算找到答案。既然有“和相等”，那么也肯定有“和不相等”，那么當“和不相等”時，還存在“差小積大，差大積小”的規律嗎？

教師繼續呈現問題：請你用喜歡的方法比較51×34和57×31的大小。以此驅動學生繼續學習，學生在經歷運用規律、圖式分解、直接計算的批判思辨中，發現兩個數和不相等時，借助規律判斷是錯誤的。

三、實踐運用，助方法結構遷移

（一）“習得”練習，應用中夯實知識技能

理解運用是檢驗學生規律掌握的重要手段。在解決新問題得出規律之后，教師需要及時引導學生加以鞏固。這些練習的核心是基礎知識和基本技能，但不是例題的原版呈現，需要學生在理解的基礎上進行正確解答。

如圖3，學生通過計算A，估算B，圖式分解C和D，在具體解決問題中多種策略并用，不僅提高了思維的靈活性，同時也體現了解決問題的方法的簡捷。

練習1：“比較算式乘積大小”

下面四個算式乘積最大的是（" " " " ）

A.10×34" " " B.21×43" " " C.41×32" " " D.42×31

如圖4，有的學生會受到題目中“原來”的干擾，計算時用現在面積減去原來的面積，但是仔細觀察不難發現，只需計算8×11部分的面積即為增加的面積，通過圖式分解也不難發現。這樣大大縮短了問題思考和解決的時間，助推抽象思考能力的提升。如圖4。

練習2：“比較面積大小”

菜園的長增加8米，面積比原來增加多少平方米？

（二）“變式”練習，應用中促進方法遷移

遷移運用是實現數學理解的有效途徑。對一些變式問題的解決，是提升學生思維層級的必要手段。一些方法策略得出以后，教師需要及時讓學生練習，在練習中引導學生進行觀察、比較，找到“變”與“不變”，建立起新知識與未知問題之間的聯結點，有助于學生逆向激活所學知識、經驗和能力，最終達到融會貫通。

如圖5，學生通過算式、計算和畫圖找出答案。根據前面的經驗只要比較重疊部分以外的面積就可以了，如圖6，教師可結合算式表示，引導學生發現相差的面積就是右下角“缺口部分的小正方形面積”。并最終引導歸納：邊長為 a的正方形，它的面積比“長比 a 多b，寬比a少b的長方形”的面積多b×b。將知識進行了遷移運用，并實現了升級。

（三）“延伸”練習，應用中促進整體關聯

學生在探究過程中，將新舊知識建立聯系，找到對接點，對核心的知識、策略進行運用。教師著眼于整體和聯系編制延伸練習，這樣不僅能讓學生把握知識的內核，關注知識的整體性，而且能讓學生關注前后知識之間的聯系，將其納入知識結構之中去。

練習3：它們和邊長20厘米的正方形相比，面積相差多少？

這節課的課尾，教師編制了研究5個數組數問題（對結果不做要求）（如圖7），這樣的延伸練習題還是圍繞“根據給定數字怎樣才能組成積最大或者最小的乘法算式”主線展開教學，將這些分布在不同年級的“散點式”內容串聯起來，形成網絡，主動建構知識。

用1，2，3，4，5五個數字組成一個三位數乘兩位數，要使乘積最大，應是哪兩個數？我們剛剛探究的三位數乘一位數以及兩位數乘兩位數算式中發現的規律，能否對尋找三位數乘兩位數有所幫助呢？

數學學習的過程既要有“意思”也要有“意義”。結構化視角下的“小學數學計算拓展課”教學，要從整體的、關聯的、系統的視角出發，提供結構化學習材料進行深入探究。教師要引導學生運用多元表征進行多維表達，運用多種策略解決問題，在表征、辨析、反思、遷移中融會貫通，促進學生認知、思維、策略的整體建構，為后續的學習打下良好的基礎。

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