基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)?發(fā)展模型意識

【摘 要】基于新課標指導(dǎo)下模型意識的培養(yǎng)，無疑是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑。教師應(yīng)立足結(jié)構(gòu)化的視角，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察真實情境，用數(shù)學(xué)的思維去思考真實問題，用數(shù)學(xué)的語言在現(xiàn)實生活中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型。“相遇問題”的教學(xué)本質(zhì)是用一致的數(shù)學(xué)模型解決一類題目，實現(xiàn)“做一道、會一類、通一片”，幫助學(xué)生積累并遷移構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的模型意識。

【關(guān)鍵詞】模型意識 結(jié)構(gòu)化教學(xué) 數(shù)量關(guān)系

“模型意識”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》中核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，是對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能認識到現(xiàn)實生活中大量問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，并有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)發(fā)展模型意識，有助于促進學(xué)生全面了解數(shù)學(xué)知識和思維方法的構(gòu)成，從而完善認知結(jié)構(gòu)、思維架構(gòu)和數(shù)學(xué)模型。

一、教學(xué)前思——立足學(xué)生，研讀教材，明晰知識本質(zhì)

“相遇問題”是北師大版數(shù)學(xué)五年級下冊第七單元“用方程解決問題”中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在學(xué)生已經(jīng)掌握路程、時間和速度的概念及其數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，從一個物體的運動擴展到研究兩個物體相向運動的情況。

為構(gòu)建核心素養(yǎng)導(dǎo)向下以學(xué)生為中心的智慧課堂，教師在教學(xué)前對北師大版、人教版、蘇教版、西師大版四個版本的教材中“相遇問題”板塊內(nèi)容進行了橫向?qū)Ρ龋l(fā)現(xiàn)以下相似之處：

（一）問題解決，情境相似

四個版本的教材在編排上都是從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，立足“問題解決”結(jié)合具體情境展開數(shù)學(xué)解題策略和思想方法的培育。以上教材的情境皆選用了兩人行走或騎車的生活場景，都表達了“同時”“相遇”“相向”三個關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實背景下分析數(shù)量關(guān)系，探索解決問題的路徑。

（二）數(shù)形結(jié)合，思維可視

四個版本的教材都對問題的解決進行了多元表征，提供了豐富的學(xué)習(xí)支架，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言逐步構(gòu)建“相遇問題”的本質(zhì)模型。其中“線段圖”出現(xiàn)在了每一個版本中，并居于首位。從研究一個物體的運動擴展到研究兩個物體相向運動的情況，“相遇問題”蘊含著較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，“相向”兩字的理解同為難點，用直觀圖分析數(shù)量之間的關(guān)系，能使抽象的數(shù)量關(guān)系變得清晰，使思維可視化、結(jié)構(gòu)化。

（三）模型一致，遷移普適

不管是行程問題還是工程問題，相向出發(fā)并相遇還是非常形象的，這樣學(xué)生就很容易形成思維定式：相遇問題一定要有相遇。那么“相遇問題”真的只是“相遇”問題嗎？答案明顯是否定的。簡單來說，“相遇問題”的本質(zhì)就是“兩人甚至多人共同完成一件事”，數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是一致的，指向解決“兩積之和”的實際問題，從加法模型的角度而言都是“分量+分量=總量”，也可以采用乘法模型“速度和×?xí)r間=總路程”。為了幫助學(xué)生更深刻地理解“相遇問題”的本質(zhì)，突破思維瓶頸，四個版本的教材的課后習(xí)題中都創(chuàng)設(shè)了打字、運貨等情境，蘇教版還設(shè)計了“向相反方向行駛”后求“相距”的實際問題，明明背道而馳越來越遠的兩輛卡車，實則也在途中“相遇”了。

基于數(shù)量關(guān)系的一致性，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的視角下通過有層次的變式練習(xí)，逐漸從面對真實的相遇抽象到虛擬的“相遇”，在遷移應(yīng)用的過程中逐漸理解相遇問題的本質(zhì)和模型的普適性。

值得關(guān)注的是，北師大版和人教版教材中本課內(nèi)容都在“列方程解決問題”板塊內(nèi)出現(xiàn)，而蘇教版和西師大版則呈現(xiàn)于“乘法運算”之中，其教學(xué)目標與學(xué)習(xí)素材都未涉及方程的教學(xué)。從“相遇問題”這一內(nèi)容所處的位置來看，其處于北師大版和人教版的第三學(xué)段，蘇教版和西師大版的第二學(xué)段，不同學(xué)段的學(xué)生認知水平和生活經(jīng)驗有明顯差異，而在多元表征的探究過程中，“方程”只是眾多幫助學(xué)生理解模型的工具之一，是否使用方程解決相遇問題并不影響學(xué)生對模型的建構(gòu)和對其本質(zhì)的理解。并且四個版本的教材對同一數(shù)量關(guān)系提出了不同的問題指向，北師大版和人教版“方程”板塊的情境中需求得的是“相遇時間”，而蘇教版和西師大版需解決的問題則是“總路程”，這使學(xué)生對模型的理解能夠在關(guān)系性思維與結(jié)構(gòu)性思維的共同作用下更為深入。

通過對北師大版教材關(guān)于“相遇問題”相關(guān)知識序及學(xué)生現(xiàn)有認知水平的分析，本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)路程、時間、速度的概念及其基本數(shù)量關(guān)系，并能夠列方程解決簡單問題的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。基于原有教材內(nèi)容并結(jié)合其他版本的學(xué)習(xí)素材，可以確立以下教學(xué)目標：

（1）經(jīng)歷解決問題的過程，提高收集、處理信息的能力，掌握路程、時間與速度之間的數(shù)量關(guān)系，能借助線段圖理解情境。

（2）探究解決“相遇問題”的數(shù)學(xué)模型，理解數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一致性，提高列方程解決實際問題的能力。

（3）感受現(xiàn)實生活中大量問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，培養(yǎng)模型意識、幾何直觀、推理意識和應(yīng)用意識，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。

二、教學(xué)實踐——對比聯(lián)通，積累經(jīng)驗，形成模型意識

（一）串聯(lián)反饋，完善圖式表達

教師出示圖1，學(xué)生嘗試解決問題。

淘氣家到笑笑家的路程是840米，兩人同時從家里出發(fā)。淘氣和笑笑出發(fā)后多長時間相遇？

師：很多同學(xué)都選擇了畫圖來思考，比較這兩個同學(xué)的作品（圖2、圖3），你有什么想說的？

生1：我覺得第一幅圖有點多余了，不用原模原樣地抄下來，就只用畫一條線段就夠了。

生2：我覺得用第二幅圖比較好，容易看懂也更簡潔。

師：生活中很多路都是彎曲的，在數(shù)學(xué)上其實都可以把它看成是直的。現(xiàn)在我們一起看第二幅作品，從線段圖中你知道了哪些信息？

生1：淘氣家到笑笑家的距離是840米。

生2：淘氣的步行速度為70米/分，笑笑的步行速度為50米/分。

生3：淘氣和笑笑是面對面向中間行走的。

師：你覺得這幅線段圖將題目中的信息表示完整了嗎？

生：還沒有表示完整，沒有體現(xiàn)出相遇。

師：剛剛你們說這幅圖中沒有體現(xiàn)“相遇”，現(xiàn)在這樣可以了吧？（展示圖4）

生1：這樣是不對的，因為淘氣的速度和笑笑的速度不一樣，所以他們相遇的時候不可能是在中點。

生2：淘氣的速度比笑笑快，相遇的位置應(yīng)該偏向笑笑，大概在郵局的位置。

師：現(xiàn)在正確了嗎？（展示圖5）

師：畫圖很清晰，題目中這么多信息只需用一幅線段圖就清楚地體現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。

【思考】（1）尊重學(xué)生認知起點，形成“路線圖”。運用學(xué)生原有的認知起點和解決問題的經(jīng)驗，將抽象的問題情境轉(zhuǎn)化為直觀形象的幾何模型，是幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、理解相遇問題結(jié)構(gòu)特點的有效途徑。教師采用串聯(lián)反饋的方式，對學(xué)生的作品進行原生態(tài)、有層次地呈現(xiàn)，在規(guī)范化的過程中構(gòu)建“相遇問題”的圖形模型。（2）培養(yǎng)學(xué)生估算意識，確定“相遇點”。教師引導(dǎo)學(xué)生辨析原有認知下產(chǎn)生的學(xué)習(xí)作品，聚焦“相遇點”的位置，在認知沖突中通過比較淘氣和笑笑的步行速度確定相遇位置，準確提取和處理已有信息，充分經(jīng)歷估測的過程，激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達的能力，發(fā)展其估算意識與推理能力。

（二）厘清關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型

師：有同學(xué)根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容列方程進行解答（圖6，圖7），你能看明白嗎，有沒有疑問？

生：明明是淘氣和笑笑兩個人，為什么都可以設(shè)成x分鐘相遇？

生1：因為他們是從兩個起點同時出發(fā)，再到同一個地方相遇。

生2：因為淘氣和笑笑從出發(fā)到最后相遇用的時間是一樣的，所以他們用的時間可以用同一個字母來表示。

生：方程中的70x和50x分別表示什么？

生1：x是淘氣和笑笑行走的時間，70和50是他們各自的速度，速度×?xí)r間=路程。

生2：70x表示淘氣走的路程，50x表示笑笑走的路程。

師：你能在線段圖上指出70x和50x嗎？這個方程對應(yīng)的等量關(guān)系式是什么？

生：淘氣走的路程+笑笑走的路程=總路程。

師：第二個同學(xué)列的方程可把老師難倒了，（70+50）是什么意思？

生1：表示淘氣和笑笑1分鐘內(nèi)共同走的路程。

生2：（70+50）x=840表示淘氣和笑笑每分鐘一共走的路程乘上他們所用的時間，得到的就是總路程840米。

生3：本來是70x+50x，運用乘法分配律就可以寫成（70+50）x。

師：同學(xué)們從不同的角度對方程進行了解釋，（70+50）就是1分鐘淘氣和笑笑行走的速度和，我們再結(jié)合課件演示看看淘氣和笑笑行走的過程。

師：比較兩種方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：不管使用哪種方法，等量關(guān)系式都是淘氣走的路程+笑笑走的路程=總路程。

【思考】本環(huán)節(jié)基于“列方程解決問題”的教學(xué)目標，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖中所呈現(xiàn)的等量關(guān)系嘗試列方程解決問題，在方法的對比中明晰數(shù)量關(guān)系，進而分析問題和解決問題，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個基本模型。反饋時所有的問題都源自學(xué)生，并圍繞三個主問題聚焦知識的本質(zhì)：“兩個人為什么都能設(shè)為x分鐘？”“70x和50x分別表示什么？你能在圖中找到嗎？”“比較兩種方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？”通過教師的追問，學(xué)生在線段圖、方程、等量關(guān)系式的支撐下完善解決問題的過程，梳理溝通、理清異同，建立“分量+分量=總量”“速度和×?xí)r間=總路程”的加法與乘法模型，探究解決“相遇問題”的基本路徑，理解數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一致性，提高列方程解決實際問題的能力。

（三）有效變式，促進思維結(jié)構(gòu)化

為了促進學(xué)生更好地理解相遇問題的本質(zhì)，教師對原有情境進行變式，引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中對比、反思、歸納和總結(jié)，自己去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，從結(jié)構(gòu)化的視角探尋各種變式間的本質(zhì)聯(lián)系。

1.改變數(shù)據(jù)，感受數(shù)量關(guān)系一致性

在原情境中改變相應(yīng)的“總路程”與“速度”，學(xué)生經(jīng)歷情境變化的過程，感受不變的知識本質(zhì)。學(xué)生在對比聯(lián)結(jié)中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的改變對問題的模型不會產(chǎn)生影響，數(shù)量關(guān)系和線段圖的結(jié)構(gòu)是始終一致的，解決問題的模型皆為“淘氣走的路程+笑笑走的路程=總路程”，而“速度和×?xí)r間=路程”也正是數(shù)學(xué)基本數(shù)量關(guān)系的拓展，由此逐步理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

2.圖文相輔，感受線段圖的共通性

相遇問題的情境中有兩個運動對象及多個數(shù)量，還涉及行走方向、相遇地點等諸多因素，結(jié)構(gòu)較為抽象，學(xué)生理解起來會有一定困難。而利用線段圖進行呈現(xiàn)可以使學(xué)生思維可視化、結(jié)構(gòu)化，數(shù)量關(guān)系也能更為直觀、清晰地呈現(xiàn)。“圖”“文”的頻繁溝通，不但能培養(yǎng)學(xué)生利用線段圖分析數(shù)量關(guān)系的能力，而且能更好地幫助學(xué)生溝通問題間的內(nèi)在聯(lián)系，提煉解決問題的數(shù)學(xué)模型。

教師出示圖8，學(xué)生嘗試解決問題。

淘氣家到笑笑家的路程是960米，兩人同時從家里出發(fā)。淘氣和笑笑出發(fā)后多長時間相遇？

（1）A、B、C三幅圖，哪幅圖可以解釋題目情境？

（2）如果想用圖C來解釋，情境應(yīng)該怎么調(diào)整？

3.突破屏障，形成“相遇問題”模型

教師出示圖9，學(xué)生嘗試解決問題。

①甲、乙兩個工程隊鋪一條長1400米的公路，他們從兩端同時施工，甲隊每天鋪80米，乙隊每天鋪60米，幾天后能夠鋪完這條公路？

②有一份5700字的文件，由于時間緊急，安排甲、乙兩名打字員同時開始錄入。甲打字員每分錄入100個字，乙打字員每分錄入90個字，錄完這份文件需用多長時間？

（1）是“相遇問題”嗎？

（2）對比兩幅線段圖和兩個等量關(guān)系式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：它們都是“相遇問題”。

生2：線段圖和等量關(guān)系很相似，都是兩部分合在一起。

生3：只要是兩者合作完成一件事情，我們都可以看成“相遇問題”，用今天學(xué)習(xí)的方法解決。

生4：我發(fā)現(xiàn)很多人一起完成一件事也可以看成“相遇問題”。

【思考】基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)，既是一個過程，也是一個結(jié)果，在遷移應(yīng)用時題不在“多”而在“通”。在上一環(huán)節(jié)中學(xué)生已經(jīng)感受到在同一情境中，數(shù)據(jù)的改變對問題的模型不會產(chǎn)生影響。本環(huán)節(jié)根據(jù)相遇問題的特點在生活中尋找此類模型的實際情境，引導(dǎo)學(xué)生聚焦不變的本質(zhì)進行模型建構(gòu)，從“相遇”的相遇問題走向“不相遇”的工程問題、打字情境，從兩人合作到多人合作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要是在合作下把路走完、把字打完、把路鋪完等情境中，解決問題的模型始終一致。像這樣采用結(jié)構(gòu)化的思維方式進行對比遷移，從一道題走向一類題，思維漸進深入，帶給學(xué)生的是通透，學(xué)生真正將建模思想轉(zhuǎn)變?yōu)樽约核季S素養(yǎng)中的重要組成部分。

三、教學(xué)反思

（一）多元表征，明晰數(shù)量關(guān)系

“相遇問題”的結(jié)構(gòu)往往較為復(fù)雜，而借助數(shù)學(xué)語言、模擬“相遇”情境以及繪制線段圖，都可將抽象的問題情境轉(zhuǎn)化為直觀形象的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、理解問題結(jié)構(gòu)提供了腳手架。

在本課中，繪制線段圖分析等量關(guān)系是教學(xué)重點，為了更好地達成教學(xué)目標，教師以串聯(lián)反饋的形式將學(xué)生的作品依次呈現(xiàn)、逐步完善，從而達到數(shù)據(jù)信息完整、數(shù)量關(guān)系清晰、數(shù)學(xué)模型凸顯的目的。并將線段圖貫穿整節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生充分感受多元表征在分析、解決問題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

（二）變式遷移，延展應(yīng)用空間

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師普遍使用的教學(xué)方法，在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中有著充分的優(yōu)勢，它既是教學(xué)思想也是教學(xué)手段。在本堂課的教學(xué)中，教師進行了多次變式，首先在解決完淘氣和笑笑的初始情境問題后，將學(xué)習(xí)材料恰當加工，依次改變總路程和速度，發(fā)現(xiàn)雖然已知信息和提出的問題各不相同，但只要都滿足同時出發(fā)、相向而行、最后相遇的條件，其本質(zhì)都是“相遇問題”，都可以用相同的等量關(guān)系來解決，問題的模型不會產(chǎn)生變化。接著，又請學(xué)生在三幅線段圖中選擇合適的進行匹配，并為圖C設(shè)計合適的情境，在教師有效的追問中，不斷將圖、文、式三者進行聯(lián)結(jié)溝通，學(xué)生的思維逐步深入，促進對“相遇問題”模型的建構(gòu)和理解。

最后，學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗嘗試自主變式，從真實相遇的行程問題到打字、鋪路的情境，從兩人合作到多人合作，并將幾類問題進行勾連比較，感受內(nèi)在聯(lián)系，豐富“相遇問題”的內(nèi)涵，揭示“相遇問題”的本質(zhì)，構(gòu)建“相遇問題”的數(shù)學(xué)模型。雖然情境不同，但等量關(guān)系是一樣的，本質(zhì)還是“相遇問題”，促使學(xué)生形成“相遇問題”的認知結(jié)構(gòu)體系，在開拓“相遇問題”數(shù)學(xué)模型的解題路徑的同時，學(xué)生思維逐步走向高階。

（三）結(jié)構(gòu)化教學(xué)，培養(yǎng)模型意識

引導(dǎo)學(xué)生有層次地經(jīng)歷建模的過程，在認知沖突中形成任務(wù)驅(qū)動，采用結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)語言去描述問題間的內(nèi)在聯(lián)系，最終掌握“相遇問題”的模型以及用方程解決“相遇問題”的數(shù)量關(guān)系的模型，從而發(fā)現(xiàn)“相遇問題”就是基于“分量+分量=總量”“速度和×?xí)r間=路程”的加法及乘法數(shù)學(xué)模型解決的問題。既突出了數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)，加深了學(xué)生對數(shù)量關(guān)系一致性的理解，也對模型進行了溝通，達到“一題”通“一類”的目的，促進學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的形成。

基于新課標指導(dǎo)下模型意識的培養(yǎng)，無疑是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑。模型意識的培養(yǎng)是一個比較復(fù)雜的過程，教師要立足結(jié)構(gòu)化的視角，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察真實情境，用數(shù)學(xué)的思維去思考真實問題，用數(shù)學(xué)的語言在現(xiàn)實生活中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)“做一道、會一類、通一片”，積累并遷移構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗，發(fā)展模型意識。

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