“雙減”政策背景下中數(shù)學非標準題型的解題思路

摘要：一次函數(shù)是初中數(shù)學教學的重點內(nèi)容，學生要想全面理解一次函數(shù)的相關(guān)知識點、熟練利用一次函數(shù)知識解決實際問題，就需要掌握各種題型的特點和求解方法.非標準題型是指學生在日常訓練中不常見且有一定難度的題型，加強此類題型的訓練，可以

加深學生對一次函數(shù)相關(guān)知識的理解，確保學生熟練運用一次函數(shù)知識解決實際問題，對初中數(shù)學整體教學水平的提升大有裨益.

關(guān)鍵詞：“雙減”政策；初中數(shù)學；非標準題型；解題思路；一次函數(shù)

中圖分類號： G 632文獻標識碼： A 文章編號：1008-0333（2024）20-0020-03

收稿日期：2024-04-15

作者簡介：黃燦（1987.9—），女，安徽省亳州人，一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

在初中數(shù)學教學中，提升學生對非標準題型的解題水平，可以有效增強學生的解題能力，讓學生從題海中掙脫出來，面對各種題型都能夠高效解答[1].在解題教學中，教師要注意避免學生按照傳統(tǒng)解題思路和模式解答非標準題型，而是要鼓勵學生另辟蹊徑，將非標準題型轉(zhuǎn)化為常見題型，從而培養(yǎng)學生獨特的解題思路，有效促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1與函數(shù)概念有關(guān)問題的求解思路

在解決一次函數(shù)與實際問題相結(jié)合的數(shù)學問題時，教師要引導學生結(jié)合題意建立一次函數(shù)模型，然后借助方程或方程組解決問題.在解決與函數(shù)概念相關(guān)的非標準型問題時，由于一次函數(shù)知識相對抽象，如果學生缺少解題經(jīng)驗，對一些常見的概念誤區(qū)缺少認知，就容易對函數(shù)概念造成誤判.

例1下列關(guān)系式中，y是x的正比例函數(shù)的是（）.

A.x=2y B .4y+9x=36 C . x²+25x+36-y=0 D .12xy=1

解析本題主要考查學生對常見函數(shù)定義的掌握情況.與傳統(tǒng)題型相比，本題中并未直接給出正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等常見函數(shù)的一般形式，學生需借助具體函數(shù)定義轉(zhuǎn)化后再判斷. 對于選項 A，x=2y可轉(zhuǎn)化為y=0.5x，它是正比例函數(shù)；對于選項 B，其關(guān)系式可以變換成y=kx+b的形式，它是一次函數(shù)，且b不為0，因此它不是正比例函數(shù)；對于選項 C，其關(guān)系式可轉(zhuǎn)化成為y=ax²+bx+c的形式，它是二次函數(shù)；對于選項 D ，其關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為xy=k的形式，它是反比例函數(shù).綜上所述，只有 A 選項給定的關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為正比例函數(shù).由此可以看出，解答此類概念問題的關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的定義，并會利用轉(zhuǎn)換法和排除法對定義進行轉(zhuǎn)化，才能有效解決此類問題.

2與一次函數(shù)有關(guān)綜合題的求解思路

一次函數(shù)是初中數(shù)學中最基礎、最核心的知識，它是學生后續(xù)學習復雜函數(shù)以及解析幾何的基礎.因此，在初中數(shù)學學習中，經(jīng)常會涉及與一次函數(shù)有關(guān)的綜合題.對于這類綜合題的解答，需要學生將題干中的信息與涉及的知識點聯(lián)系起來，分析其與一次函數(shù)的關(guān)聯(lián)，以整體視角解答實際問題.

例2如圖1所示，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2，4）和點C（-2，0）.解答下列問題：①求該一次函數(shù)的表達式；②求△AOC的面積.

解析 ①設該一次函數(shù)的表達式為y=kx+b.將點A（2，4）代入表達式，得2k+b=4；將點C（-2，0）代入表達式，得-2k+b=0.聯(lián)立方程組，解得k=1，b=2.故一次函數(shù)的表達式為y=x+2.

②由圖1易知，三角形面積為2×4÷2=4.

在解答本題的過程中，學生需充分掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)圖象表達式、二元一次方程組的解法等知識，將之前所學二元一次方程組與一次函數(shù)相關(guān)知識充分結(jié)合起來才能正確解答本題.

3與一次函數(shù)有關(guān)動點問題的求解思路

動點問題是學生一次函數(shù)學習中難度較大的題型，在解題中學生需要運用數(shù)形結(jié)合、方程思想、分類思想、數(shù)學轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學思想方法.在初中數(shù)學教學中，教師要對動點問題進行針對性講解，為學生后續(xù)函數(shù)的學習夯實基礎.

例3如圖2所示，直線y=kx+6與x軸、y軸分別相交于點E、F，其中E點和A點的坐標分別為（-8，0），（-6，0）.解答下列問題：①求k的值；②如果點P是位于第二象限內(nèi)該直線上的一個動點，分析P點運動過程中△OPA面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系并寫出表達式及自變量x的取值范圍；③如果△OPA的面積為3.375，試確定點P的位置.

析①根據(jù)已知條件，易知點E（-8，0）在直線y=kx+6上，因此將點E的坐標代入函數(shù)表達式，可得-8k+6=0，解之得k=0.75.

②在△OPA中，頂點O和A是兩個定點，點P為動點.根據(jù)已知條件，動點P必須滿足兩個條件：一是在直線EF上；二是在第二象限.由問題①可知直線EF的表達式為y=0.75x+6，因此可令點P的坐標應為（x，0.75x+6）.對初中學生而言，動點問題比較抽象，對其邏輯思維能力要求較高，學生理解本題有一定的難度.在求解過程中，教師可引導學生結(jié)合圖形理解題意，將動點問題轉(zhuǎn)化為學生熟知的三角形面積問題.經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，欲求△OPA的面積，只需求得線段OA的長度及點P到x軸的距離即可.點P位于第二象限，且在直線y=0.75x+6上，根據(jù)三角形的面積公式，易得S=3（0.75x+6）=2.25x+18，其中-8≤x≤0.

③根據(jù)已知條件易發(fā)現(xiàn)，本題與問題②有很大差異.問題②主要確定△OPA面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系，而且點P在第二象限.此問題給定了△OPA的面積，需求點P的坐標.因點P是直線EF上的動點，根據(jù)圖形特征，需考慮點P在x軸上方和x軸下方兩種情況，即要進行分類討論才能解答問題.

4與一次函數(shù)有關(guān)應用題的求解思路

在一次函數(shù)解題教學中，教師應針對一些非常規(guī)應用題型，通過滲透模型思想，讓學生感受學習數(shù)學知識的意義和價值.在解決問題的過程中，使學生能夠根據(jù)已知條件主動構(gòu)建數(shù)學模型，從數(shù)學角度出發(fā)思考和解決實際問題，從而提升學生靈活運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

例4某水產(chǎn)養(yǎng)殖加工廠有工人200名，每名工人每天平均捕撈水產(chǎn)品50 kg .如果從事水產(chǎn)品精細加工，則每名工人每天可加工水產(chǎn)品40 kg .已知每千克水產(chǎn)品直接出售能夠獲得利潤6元，而對水產(chǎn)品精細加工后再出售，每千克水產(chǎn)品可獲得利潤18元，假設每天從事水產(chǎn)品精加工的工人為x名.

①如果每天水產(chǎn)品精加工獲得的總利潤為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②如果該工程每天能夠?qū)⑺兴a(chǎn)品全部出售，那么如何安排生產(chǎn)，可使這一天所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解析 ①y=720x（0≤x≤200，且x為整數(shù)）；

②假設每天所獲得的利潤為W元，易得W=180x+60 000.

因為 50（200-x）≥40x，所以x≤

1 000/9.

因為W是x的一次函數(shù)，k=180＞0，所以W隨x的增大而增大，又因為x為整數(shù)，因此當x=111時，所獲得的利潤達到最大，且最大值W=180×111+60 000=79 980（元）.

由此可以看出，解決一次函數(shù)應用題的關(guān)鍵在于構(gòu)建數(shù)學模型，滲透模型思想.無論何種復雜問題，只要能夠根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建完整的函數(shù)模型，并確定自變量的取值范圍，就可借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

5與一次函數(shù)有關(guān)圖象問題的求解思路

閱讀能力是初中數(shù)學核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力，其直接影響學生從問題中提取有用信息的效率，是學生解決問題成敗的關(guān)鍵因素.與一次函數(shù)有關(guān)問題的閱讀，不僅包括文字信息，還包括圖象信息.在解題過程中，只有學生充分理解函數(shù)的意義，才能高效讀圖，從而提升解題速度，進而有充足的時間獨立思考并自主總結(jié)解題經(jīng)驗，這是“雙減”政策背景下減輕學生課業(yè)負擔的重要途徑.

例5如圖3所示，小明觀察鐘表，發(fā)現(xiàn)分針和時針每小時旋轉(zhuǎn)度數(shù)分別為360°和30°.為了深入探究二者旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，小明于下午2點對鐘表變化進行了一小時觀察并記錄.為了方便觀察，小明將分針和分針起始位置OP的夾角記作y₁，如圖4所示，而時針與分針起始位置OP的夾角記作y2，鐘表的具體旋轉(zhuǎn)時間記為t.小明在觀察完成后搜集各項數(shù)據(jù)，繪制成關(guān)系圖象，如圖5所示，且求出y₁和t的函數(shù)關(guān)系式為y₁=6t（0 ≤ t ≤ 30），y₁=-6t+360（30＜t ≤ 60）.

①求出圖5中y₂與t的函數(shù)關(guān)系式；

②寫出A點和B點的坐標，并解釋A、B兩點所代表的實際意義；

③若觀察完成后繼續(xù)觀察1小時，畫出圖象.

圖3鐘表初始位置圖4 鐘表運動位置

解析 ①假設y2與t的函數(shù)關(guān)系式為y₂=kt+b，將（0，60），（60，90）代入，可得b=60，60k+b=90，聯(lián)立方程組，解得k=0.5，b=60.從而可得關(guān)系式為y₂=0.5t+60.

②易知A（120/11，720/11），B（600/13，1 080/13）.其中A表示分針與時針的第一次重合的情況；B表示經(jīng)過600/13分鐘，時針與分針關(guān)于OP成軸對稱，且與OP的夾角為1 08013度.

③如圖6所示.

6結(jié)束語

在初中數(shù)學學習中，學生經(jīng)常會遇到一些非標準、不具備常規(guī)題型典型特征的問題，如果按照傳統(tǒng)解題思路求解，很容易出現(xiàn)錯誤.基于此，有必要順應“雙減”政策要求，將一些非標準題型的作為重點教學內(nèi)容，幫助學生掌握各種題型的解答方式，全面提升學生解題能力，避免學生盲目解題.

參考文獻：

［1］ 陳宇.以問題驅(qū)動解題方法的形成：以一道一次函數(shù)題的教學為例[J].中學數(shù)學，2022（18）：68-69.

［責任編輯：李璟］