APOS理論下反比例函數概念的教學設計

摘"要：反比例函數是初中數學的重要概念.APOS理論分為四個階段（操作—過程—對象—圖式），很注重在數學活動或情境中讓學生自主探究概念，去理解概念的本質.本文剖析了在反比例函數概念的教學中亟須解決的問題，以APOS理論為依據設計教學的各環節，借助學生已有的認知結構，創設教學情境，激發學生同化、順應概念，從而有效地掌握概念.

關鍵詞：APOS理論；反比例函數；教學設計

1"問題的提出反比例函數是蘇科版《義務教育教科書數學八年級下冊》的內容.八年級學生已經具備了學習一次函數的經驗，

對函數的研究已有大致思路.不少學生對反比例函數的概念有一些錯誤認識，其中部分學生認為反比例函數是隨著自變量的增大而減小的函數，甚至學生以為y＝kx是正比例函數，而y＝－kx是反比例函數.本文結合APOS理論去設計反比例函數概念的教學，激發學生同化、順應概念，從而掌握反比例函數的概念.

2"反比例函數概念的教學要求

2.1"教學目標

（1）理解反比例函數的概念.

（2）能根據實際問題中的條件確定反比例函數的表達式.

（3）能判斷一個給定函數是否為反比例函數.

（4）通過探索現實生活中數量間的反比例關系，體會和認識反比例函數是刻畫現實世界中特定數量關系的一種數學模型.

2.2"教學重難點

（1）結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式.

（2）通過生活實例，讓學生感受反比例函數是刻畫實際問題中數量關系的一種數學模型.

3"APOS理論與反比例函數概念教學的融合

3.1"APOS理論

美國教育家杜賓斯基提出了APOS理論，他認為，概念的學習是一個建構的過程，要經歷以下四個階段.

第一階段是操作（Action）階段.這個階段是概念的引入階段，當教師將與新概念相關的問題呈現給學生時，學生通過外在直觀感知和個體思考后，對數學“對象”進行變形，來完成對概念知識的初步認知.

第二階段是過程（Process）階段.這個過程是概念的定義階段，學生經過操作階段的感知，對經驗進行加工，會在自己的頭腦中對操作形成自己的概念和體驗，將外顯的操作內化為思維的認知結構.

第三階段是對象（Object）階段.這個階段是概念的分析階段，學生通過自己先前學習的知識，試著構建基本的概念圖式，把“過程”形成的概念作為獨立板塊進行更高層次的邏輯推理和演算操作.

第四階段是圖式（Schema）階段.這個階段是概念的整合階段，學生對原有認知結構進行調整整合，在頭腦中形成新的認知結構，這個過程即為“圖式”.

3.2"基于APOS理論的反比例函數概念的教學設計

為了突破反比例函數概念教學的難點，筆者以APOS理論的四個階段為依據設計教學過程，具體包括以下四個階段.

3.2.1"操作階段：精選實例，感知概念

函數的概念比較抽象，初中學生只能用描述性的定義在直觀水平上加以理解，學生剛接觸新的函數概念，需要去感知概念.基于APOS理論，教師在概念的引入部分要注重使用實例，這為學生提供理解概念的“參照物”，充分調動學生去感知概念，在教學中提供多種不同的操作模型，有利于學生對概念的理解.

3.2.2"過程階段：通過對比，不斷歸納概念特征

在引入的情境中，教師引導學生反復思考，引導他們歸納總結出概念的本質.學生歸納總結概念的本質特征，是概念課中高效運轉的環節.值得一提的是，這個過程階段一定要充分體現學生學習的主體性地位，設計的練習可以有“陷阱”，引導學生反復思考.

3.2.3"對象階段：通過問題變式，揭示概念的特征

在第三個階段，教師通過問題的變式，引導學生揭示概念的本質特征.變式提供了容易混淆的特征，通過變式可以讓學生加深對概念的本質認識，在判斷概念的正例、反例過程中，更加精確地把握概念的細節.

3.2.4"圖式階段：構建聯系，總結應用概念

最后一個階段是引導學生形成新的框架，教師可以通過應用去構造新舊知識之間的聯系，形成新的知識脈絡.在圖式階段，學生可以徹底理解知識點之間的內在聯系，并構建出完整的認知結構，這個階段就順利完成圖式的遷移.

4"反比例函數的教學過程

4.1"操作階段由舊知引入概念

問題1"一輛汽車從南京出發，以100km/h的速度勻速開往上海.

師：在這個運動過程中有哪些常量和變量呢？

生：速度是常量，路程和時間是變量.

師：路程是時間的函數嗎？為什么？

生：是，因為在這個變化過程中，如果對于時間的每一個值，路程都有唯一的值與它對應，我們稱路程是時間的函數. （路程隨著時間的變化而變化，行駛時間越長，路程也越長，路程是時間的函數）

師：你用什么方式來描述它們之間的函數關系？除了函數關系式可以表示之外，還有其他表示方法嗎？

生：列表格，畫圖象.

師：假設路程用s來表示，時間用t表示，

生：s=100t（tgt;0），s是t的正比例函數.

師：正比例函數是一次函數的特殊情況，為什么稱它為正比例函數？

生：在這個實際問題中，s與t兩個量的比值是100，是一個定值，s與t這兩個量成正比例.

變式"南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發，勻速開往上海.

師：兩個問題都描述速度、路程與時間，兩個問題有哪些區別呢？

生：路程是定值，速度和時間是變量，但是速度乘時間永遠等于定值300.

師：速度是時間的函數嗎？為什么？

生：是，因為在這個變化過程中，如果對于時間的每一個值，速度都有唯一的值與它對應，我們稱速度是時間的函數.

師：用什么方法來描述它們之間的函數關系？

生：假設速度用v來表示，時間用t表示，vt=360.

師：觀察這個表格，你有什么發現？這個實際問題中的v與t兩個量具有什么樣的關系？

生：在小學的時候我們稱這兩個量成反比例.

【設計意圖】教師使用了貼近生活的實例，學生容易理解.問題1，首先從勻速來引入，復習函數的定義，常量與變量的概念，繼而使用變式，將路程設定為定值，速度與時間乘積一定，這兩個量就成反比例，為引入新概念作鋪墊.

4.2"過程階段由對比認識概念

問題2"寫出下列問題中兩個變量之間的關系式.

（1） 面積是50cm2的矩形，一邊長y（cm）隨另一邊長x（cm）的變化而變化.

（2）體積是100cm3的圓柱，高h（cm）隨底面積S（cm2）的變化而變化.

（3）一家銀行為某社會福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化.

（4）實數m與n的乘積為－200，m隨n的變化而變化.

師：請將函數關系式寫下來，再思考，它們具有什么共同點？

師：生活中有大量滿足這種關系的函數，如果讓你給這類函數取個名字，取什么名字？

生：反比例函數.

師：為什么取名反比例函數？

生：它們均表達現實中的反比例關系，可以稱為反比例函數.

師：你能嘗試給反比例函數下個定義嗎？

【設計意圖】問題2提供了較多的實際背景，讓學生列出兩個變量之間的表達式，繼而尋找這些表達式之間的共同點.“為什么取名反比例函數”是因為它們能表達現實中的反比例關系，這與問題1回顧的正比例函數進行對比，幫助學生在過程階段尋找概念的本質屬性.

4.3"對象階段由變形鞏固概念

問題3"下列關系式中y是x的反比例函數嗎？如果是，請指出k的值.

①y＝4x；②y＝32x；③xy＝123；④y=5x－1；⑤xy＝0；⑥y=1x2；⑦y＝1x+1.

師：剛剛那位同學的回答，你們有不同的意見嗎？哪兩個量的乘積是定值，你是怎么思考的？

【設計意圖】在得到反比例函數的概念后，需要通過例題來鞏固所學.問題3通過教師總結，得出反比例函數常見的三種表達形式.⑦錯誤率較高，教師講評了反比例關系與反比例函數之間的區別，y=1x+1只能表述y和x+1成反比例關系，但是y不是x的反比例函數.

4.4"圖式階段由應用來整合概念

問題4"觀察下表中x與y對應的數值.

（1）y可以是x的反比例函數嗎？

如果已經知道y是x的反比例函數，想確定表達式，需要幾組x和y的值？

（2）若表中數據不慎被墨漬污染，你還能寫出其他符合表中數據的函數表達式嗎？

【設計意圖】問題4是通過表格讓學生尋找變量之間的特征，突出“兩個變量乘積是定值”這一特征，第（2）問減少了表格中的數據，學生可以嘗試使用不同的函數類型去刻畫這兩組數據的關系，這個階段將反比例函數和一次函數進行比較，深化學生對函數概念的理解.

5"教學反思

APOS理論認為，學習活動的主體是學生，學生必須積極主動地使新概念和舊知識產生聯系，將原有的認知結構中相關概念重組并改造，實現新的平衡.同化和順應是相互關聯，相互影響的.本節課以APOS理論為依據設計反比例函數概念的教學，為概念教學的發展創造了條件.具體表現如下.

5.1"體現同化

同化是圖式發生量變的過程，不會引起圖式的根本性變化.函數的知識是一脈相連的，結合正比例函數的知識，可以充分利用同化，降低思維坡度，實現正向遷移.問題1和2提供了豐富的實例：行程、面積、體積等，在諸多例子中實現對反比例函數模型的識別和概括.

5.2"體現順應

順應是一個質變的過程，可以引起圖式的根本性變化.教師引導學生在建立新概念與原有認知結構的聯系上下功夫，這樣學生在獲得概念的同時，他的認知結構也發生變化，這是一次新的概括過程.問題2中學生總結了反比例函數的表達式，均可以表示成y＝k/x的形式.

5.3"體現歸納

小結部分對正比例函數與反比例函數的區別與聯系進行了歸納總結.反比例函數不是直線型、不是連續的，不同于正比例函數.教師從表達式、自變量的取值范圍、k的本質等方面歸納總結，通過歸納有助于學生理解反比例函數的概念.