應用求導運算，探究抽象函數性質

摘" 要：抽象函數的原函數與導函數之間具有特殊關系，特別是相互之間的函數性質可以加以轉化與應用.本文依托抽象函數場景，借助求導運算，針對抽象函數中的對稱性、周期性等基本性質的應用，結合實例加以剖析，歸納問題類型與技巧策略，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：抽象函數；原函數；導函數

抽象函數的原函數與導函數，是一對具有獨立性質又相互聯系的函數.在研究相關抽象函數的基本性質問題時，經常借助求導運算及其應用，巧妙轉化抽象函數的原函數與導函數之間的關系，為深入研究相關函數的性質提供條件.本文結合抽象函數的對稱性、周期性等基本性質的應用，實例剖析，歸納技巧，總結規律.

1" 抽象函數的對稱性問題

抽象函數的原函數與導函數，其圖象具有對應的關于點與關于直線之間對稱的相互轉化關系，合理構建對應抽象函數的對稱性問題.

例1" （2023年湖北省武漢市武昌區高考數學質檢試卷（三模））（多選題）已知非常數函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，若f（1-2x）為奇函數，f（2x-1）為偶函數，則（" ）.

A. f（0）=0

B. f（-2021）=-f（2023）

C. f′（2x-1）=f′（2x+7）

D. f′（-2021）=f′（2023）

解析：因為非常數函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，若f（1-2x）為奇函數，則f（1-2x）=-f（1+2x），則函數f（x）關于點（1，0）成中心對稱，且f（1）=0，故選項A錯誤.

因為f（1-2x）=-f（1+2x），令x=1011，則f（-2021）=-f（2023），故選項B正確.

因為f（1-2x）=-f（1+2x），即f（1+x）=-f（1-x），兩邊同時求導，則有f′（1+x）=f′（1-x），所以函數f′（x）關于直線x=1對稱.因為函數f（2x-1）為偶函數，所以f（-2x-1）=f（2x-1），即f（-1-x）=f（-1+x），兩邊同時求導，則有-f′（-1-x）=f′（-1+x），所以f′（x）關于（-1，0）成中心對稱，則導函數f′（x）的周期為4×（1+1）=8，所以f′（2x-1）=f′（2x+7），故選項C正確.

因為函數f′（x）關于直線x=1對稱，且-2021+20232=1，所以f′（-2021）=f′（2023），故D正確.

故選擇答案BCD.

例2" （2023年浙江省寧波市高考數學二模試卷）（多選題）已知函數f（x）與g（x）及其導函數f′（x）與g′（x）的定義域均為R，f（x）是偶函數，g（x）的圖象關于點（1，0）對稱，則（" ）.

A. g［f（-1）］=g［f（1）］

B. f［g（3）］=f［g（-1）］

C. f［g′（3）］=f［g′（-1）］

D. g［f′（-1）］=g［f′（1）］

解析：由f（x）是偶函數，g（x）的圖象關于點（1，0）對稱，則有f（-x）=f（x），g（x）=-g（2-x），則f′（x）圖象關于點（0，0）對稱，所以f′（-x）=-f′（x），g′（x）的圖象關于x=1對稱，所以g′（x）=g′（2-x）.

對于選項A，令x=1，則f（-1）=f（1），所以g［f（-1）］=g［f（1）］，故選項A正確.

對于選項B，令x=3，則g（3）=-g（-1），所以f［g（3）］=f［-g（-1）］=f［g（-1）］，故選項B正確.

對于選項C，令x=3，則g′（3）=g′（-1），所以f［g′（3）］=f［g′（-1）］，故選項C正確.

對于選項D，令x=1，則f′（-1）=-f′（1），所以g［f′（-1）］=g［-f′（1）］，故選項D錯誤.

故選擇答案ABC.

總結提煉：涉及抽象函數的導函數與原函數的對稱性問題，可歸納總結得到以下結論：①若函數f（x）是連續且可導的，原函數f（x）圖象關于直線x=a對稱，則導函數f′（x）圖象關于點（a，0）對稱；②若函數f（x）是連續且可導的，原函數f（x）圖象關于點（a，f（a））對稱，則導函數f′（x）圖象關于直線x=a對稱.

2" 抽象函數的周期性問題

依托抽象函數的原函數，通過求導運算，可以得以確定對應的導函數的圖象具有對應的周期性問題，實現抽象函數的原函數與導函數之間的周期性轉化與應用.

例3" （2023年浙江省Z20名校聯盟（浙江省名校新高考研究聯盟）高三上學期第二次聯考數學試題）（多選題）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f（2x+1）-2x與g（x+2）均為偶函數，則（" ）.

A. g（1）=1

B. 函數f（x+1）x的圖象關于點（0，1）對稱

C. 函數g（x）的周期為2

D. 2024k=1［g（k）-1］［g（k+1）+1］=0

解析：對于選項A，若f（2x+1）-2x為偶函數，則f（2x+1）-2x關于直線x=0對稱，將f（2x+1）-2x縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，可得f（x+1）-x，則函數f（x+1）-x關于直線x=0對稱，即f（x+1）-x為偶函數，所以f（x+1）-x=f（-x+1）+x，則f（x+1）=f（-x+1）+2x，所以f′（x+1）=-f′（-x+1）+2，即g（x+1）=-g（-x+1）+2，令x=0，可得g（1）=-g（1）+2，所以g（1）=1，故選項A正確.

對于選項B，由f（x+1）=f（-x+1）+2x，可得當x≠0時，f（x+1）x=f（-x+1）x+2，即f（x+1）x+f（-x+1）-x=2，令h（x）=f（x+1）x，則h（-x）=f（-x+1）-x，所以h（x）+h（-x）=2，所以函數h（x）=f（x+1）x的圖象關于點（0，1）對稱，故選項B正確.

對于選項C，因為g（x+2）為偶函數，則g（x+2）=g（-x+2），又g（x+1）=-g（-x+1）+2，所以g（x+2）=g［（x+1）+1］=-g［-（x+1）+1］+2=-g（-x）+2，則g（x+4）=g［（x+2）+2］=g［-（x+2）+2］=g（-x），所以g（x+2）+g（x+4）=2，即g（x）+g（x+2）=2，則g（x+4）=g［（x+2）+2］=2-g（x+2）=2-［2-g（x）］=g（x），所以函數g（x）的周期為4，故選項C不正確.

對于選項D，函數g（x）的周期為4，則函數g（k）g（k+1）的周期也為4，由g（x）+g（x+2）=2，可得g（1）+g（3）=2，g（2）+g（4）=2.

則2024k=1［g（k）-1］［g（k+1）+1］=2024k=1［g（k）·g（k+1）-g（k+1）+g（k）-1］=2024k=1［g（k）g（k+1）］-2024k=1g（k+1）+2024k=1g（k）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-g（2025）+g（1）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-g（506×4+1）+g（1）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-2024=506×［g（1）g（2）+g（2）g（3）+g（3）g（4）+g（4）g（5）］-2024=506×［g（2）+g（4）］［g（1）+g（3）］-2024=0，故選項D正確.

故選ABD.

總結提煉：涉及抽象函數的導函數與原函數的周期性問題，經常是對應原函數的關系式中看不出函數的周期性，結合原函數的關系式的求導運算，凸現導函數中的表達式，為進一步確定導函數的周期性打下基礎.

基于此，借助函數的求導運算及其應用，合理構建抽象函數原函數與導函數之間的聯系，為深入研究抽象函數的對稱性、周期性等基本性質提供條件，使問題的分析與解決更加直接、有效，結合合理的邏輯推理與數學運算，成為問題解決的突破口，對于優化數學“四基”，提高“四能”，以及培養數學核心素養等方面都有益處.