相切位置巧設置，幾何代數妙切入

摘" 要：涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，因其獨特的形式，成為高考命題中的一個創新應用熱點.本文結合一道圓與拋物線的相切問題，從代數視角與幾何視角切入，合理剖析與應用，歸納總結解題技巧與策略，總結一般性結論與變式拓展，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：拋物線；圓；相切；導數

平面解析幾何中，涉及直線、圓、圓錐曲線之間的位置關系問題，一直是高考命題中的一個重要方向與基本考點.特別是涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，內涵實質豐富，成為新高考數學試卷命題中的一個熱點，也是圓錐曲線知識模塊中考查的一個重點與難點.

1" 問題呈現

（廣東省深圳中學2024屆高三二輪一階測試（2024年3月）數學試卷·8）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，若圓M與拋物線C只有一個交點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑為（" ）.

A. 439

B. 79

C. 32

D. 233

該題以拋物線為問題背景，解題時結合存在同時與拋物線、x軸相切圓這一條件，進而確定相應圓的半徑.問題合理交匯起平面解析幾何中直線、圓與圓錐曲線之間的位置關系，通過相切加以合理融合，巧妙創設問題情境，實現問題的構建與應用.

在實際解決問題時，抓住平面解析幾何中直線、圓、拋物線之間的位置關系，合理轉化直線與圓、直線與拋物線的相切關系，從函數與導數思維、平面幾何思維、平面解析幾何思維等方式切入，進而實現問題的突破與求解.

2" 問題破解

2.1" 函數與導數思維

方法1：導數法.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），設圓M的半徑為r（rgt;0）.

由對稱性，不妨設圓M在x軸上方且與x軸相切于點F，故圓M的方程為（x-1）2+（y-r）2=r2.

將x=y24代入圓M的方程，可得y24-12+（y-r）2=r2.

顯然ygt;0，故r=12yy24-12+y2=（y2+4）232y.

根據題設該關于y的方程恰有一個解，該解恰好是對應圓M與拋物線C唯一交點的縱坐標.

令函數f（y）=（y2+4）232y，ygt;0，注意到limy→0+f（y）=+∞，limy→+∞f（y）=+∞，故r=f（y）min.

由于f′（y）=（y2+4）（3y2-4）32y2，令f′（y）=0，解得y=233.則當y∈0，233時，f′（y）lt;0，函數f（y）單調遞減；當y∈233，+∞時，f′（y）gt;0，函數f（y）單調遞增.

所以r=f（y）min=f233=439，故選擇答案A.

2.2" 平面解析幾何思維

方法2：拋物線的光學性質法.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），設圓M的半徑為r（rgt;0）.

由于圓M與拋物線C只有一個交點，設此點為P.由對稱性，不妨設P在x軸上方，則P（t2，2t），tgt;0，則知圓M與拋物線C在點P處有相同的公切線PN，其中點N為切線PN與x軸的交點，如圖1所示.

連接MF，MP，則MF⊥OF，MP⊥PN.

圖1

過點P作x軸的平行線PQ，利用拋物線的光學性質，設∠QPM=∠FPM=θ，則∠MFP=∠FPM=θ，∠PFN=∠QPF=2θ，所以∠MFN=3θ=90°，解得θ=30°，可得∠NPF=∠PFN=2θ=60°，則有∠PNF=60°，則知切線PN的斜率為tan60°=3.

借助切線法，可知拋物線C在點P處的切線方程為2ty=2（x+t2），即拋物線C在點P處的切線斜率為1t，則有1t=3，解得t=33，則N-13，0.

所以圓M的半徑r=|MF|=|NF|tan30°=43×33=439，故選擇答案A.

方法3：切線性質法1.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），設圓M的半徑為r（rgt;0）.

由于圓M與拋物線C只有一個交點，設此點為P，由對稱性不妨設P在x軸上方，則P（t2，2t），tgt;0，則知圓M與拋物線C在點P處有相同的公切線PN，其中點N為切線PN與x軸的交點，如圖2所示.

圖2

連接MF，MP，則MF⊥OF，MP⊥PN.

借助切線法，可知拋物線C在點P處的切線方程為2ty=2（x+t2），即拋物線C在點P處的切線斜率為1t.

而M（1，r），又由于kMP=2t-rt2-1，結合MP⊥PN，可得1t·2t-rt2-1=-1，整理，可得r=t3+t.

而|MP|=r，則有（t2-1）2+（2t-r）2=r2，整理，可得r=（t2+1）24t.

于是有t3+t=（t2+1）24t，整理，有t2=13，解得t=33，r=t3+t=439，故選擇答案A.

方法4：切線性質法2.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），設圓M的半徑為r（rgt;0）.

由對稱性，不妨設圓M在x軸上方且與x軸相切于點F，故圓M的方程為（x-1）2+（y-r）2=r2.

設圓M與拋物線C的交點為P（x0，y0），x0gt;0，y0gt;0，借助切線法，可得拋物線C在點P處的切線方程為y0y=2（x+x0），即2x-y0y+2x0=0.

借助切線法，又可得圓M在點P處的切線方程為（x0-1）（x-1）+（y0-r）（y-r）=r2.

由于以上兩條切線方程是同一條直線方程，所以有x0-12=r-y0y0=1-x0-ry02x0，

y20=4x0.

解得x0=13，y0=233，r=439，故選擇答案A.

點評：根據平面解析幾何情境下拋物線與圓的位置關系，通過直線與圓、直線與拋物線的相切的位置特征與幾何性質，將解析幾何問題借助導數法、光學性質法以及切線性質法等思維視角來應用，實現問題的突破與解決.

解題時的關鍵是通過極限思維，以拋物線與圓的位置關系中圓的半徑的參數的構建來應用，借助函數與導數的應用來實現.或通過平面解析幾何思維，利用切線性質法，以平面幾何與平面解析幾何的圖形直觀來切入，進而綜合具體問題情境應用來求解.

3" 結論歸納

根據以上問題及其各思維方法與解析過程，可對問題進行一般化處理，得到以下一般性的結論.

結論：已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，若圓M與拋物線C只有一個交點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑為239p.

根據該結論，當p=2時，滿足題設條件時，所求的圓M的半徑r=239p=439，即為以上原問題.變換拋物線方程的形式，以及拋物線的對稱軸位置等，都可以合理來設置與結論相關的應用問題.

4" 教學啟示

此類涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，自身內涵豐富，有圖形的直觀與幾何內涵，可以從幾何視角直觀分析其特征；也有曲線的方程與代數實質，可以從函數視角推理剖析其性質.這就給問題的突破與求解提供更多的思維方式，可以有效開拓與發散數學思維，融合并交匯眾多的數學知識，對提升數學關鍵能力有極大幫助.

教師引導學生依托圓錐曲線的綜合應用問題，通過曲線方程的代數形式以及曲線圖形的幾何直觀，數形結合，巧妙應用.基于此進行結論的歸納與總結，將問題加以一般性推廣與深入應用，利于學生數學思維品質的養成以及數學核心素養的培養.