探究與分布列概率有關的三大最值問題

摘" 要：本文探究了高中數學中與分布列概率相關的三大最值問題.首先，通過將二項分布轉化為數列問題求最值，探討了如何構建數列，并利用數列性質解決二項分布中的最值問題.其次，研究了將二項分布轉化為導數問題求最值的方法，利用導數的性質求解二項分布中事件的最值情況.最后，探討了超幾何分布的概率最值問題，通過分析其特性確定了成功次數的最值情況.本文旨在為高中數學學生提供了解決最值問題的不同方法和途徑，加深了他們對分布列概率的理解，并提高了他們的數學建模能力和問題解決能力.

關鍵詞：探究；分布列概率；最值

1" 二項分布轉化為數列問題求最值

當p給定時，可得到函數f（k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n，這個是數列的最值問題.

pkpk-1=Cnkpk（1-p）n-kCk-1npk-1（1-p）n-k+1=（n-k+1）pk（1-p）=k（1-p）+（n+1）p-kk（1-p）=1+（n+1）p-kk（1-p）.

分析：當klt;（n+1）p時，pkgt;pk-1，pk隨k值的增加而增加；當kgt;（n+1）p時，pklt;pk-1，pk隨k值的增加而減少.如果（n+1）p為正整數，當k=（n+1）p時，pk=pk-1，此時這兩項概率均為最大值.如果（n+1）p為非整數，k取（n+1）p的整數部分，則pk是唯一的最大值.

注：在二項分布［1］中，如果數學期望為整數，那么隨機變量k取得期望值時，概率會達到最大.

例1" 某人在11次射擊中擊中目標的次數為X，若X～B（11，0.8），若P（X=k）最大，則k＝（" ）.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

解析：因為P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，若P（X=k）最大，則P（X=k）≥P（X=k+1），

P（X=k）≥P（X=k-1），化簡得，np+p-1≤k≤np+p，k∈N.代入已知數值得，8.6≤k≤9.6，所以k=9時P（X=k）最大.故選C.

例2" 某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數是""" 次

解析：設9次射擊擊中k次概率P（X=k）=Ck9·0.8k·0.29-k最大.

則

Ck9·0.8k·0.29-k≥Ck-19·0.8k-1·0.210-k，

Ck9·0.8k·0.29-k≥Ck+19·0.8k+1·0.28-k，解得7≤k≤8，即P（X＝7）＝P（X＝8）同時最大，故k＝7或8.

評析：二項分布是一種常見的離散概率分布，用于描述在n次獨立重復試驗中成功次數的概率分布情況.將二項分布問題轉化為數列問題求最值是一種常見的解題思路.通過構建數列，將二項分布中的各個事件概率表示為數列的元素，然后利用數列的性質，如遞推關系、通項公式等，求解出數列的最大值或最小值，從而得到原二項分布中對應事件的最值情況.

2" 二項分布轉化為導數問題求最值

當k給定時，可得到函數f（p）=Cknpk（1-p）n-k，p∈（0，1），這個是函數的最值問題，可以用導數［2］求函數最值與最值點.

分析：f′（p）=Ckn［kpk-1（1-p）n-k-pk（n-k）·（1-p）n-k-1］

=Cknpk-1（1-p）n-k-1［k（1-p）-（n-k）p］=Cknpk-1（1-p）n-k-1（k-np）.

當k=1，2，…，n-1時，由于當plt;kn時，f′（p）gt;0，f（p）單調遞增；當pgt;kn時，f′（p）lt;0，f（p）單調遞減.故當p=kn時，f（p）取得最大值，f（p）max=f（kn）.又當p→0時，f（p）→1；當p→0時，f（p）→0，從而f（p）無最小值.

例3" （2018年全國1卷）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p（0lt;plt;1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

解析：（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=C220p2（1-p）18.求導得f′（p）=C220［2p·（1-p）18-18p2（1-p）17］=2C220p（1-p）17（1-10p）.令f′（p）=0，得p=0.1.當p∈（0，0.1）時，f′（p）gt;0；當p∈（0.1，1）時，f′（p）lt;0.所以f（p）的最大值點為p0=0.1.

例4" 設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為P（X=ak）=xk，P（Y=ak）=yk，xkgt;0，ykgt;0，k=1，2，…，n，nk=1xk=nk=1yk=1.指標D（X‖Y）可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為D（X‖Y）=nk=1xklnxkyk.設X～B（n，p），0lt;plt;1.

（1）若Y～B（n，q），0lt;qlt;1，求D（X‖Y）.

（2）若n=2，P（Y=k-1）=13，k=1，2，3，求D（X‖Y）的最小值.

（3）對任意與X有相同可能取值的隨機變量Y，證明：D（X‖Y）≥0，并指出取等號的充要條件.

解析：（1）不妨設ak=k，則xk=Cknpk（1-p）n-k，yk=Cknqk（1-q）n-k.所以D（X‖Y）=ni=1Cknpk（1-p）n-klnpk（1-p）n-kqk（1-q）n-k=lnp（1-q）q（1-p）·nk=0kCknpk（1-p）n-k+nln1-p1-q·nk=0Cknpk（1-p）n-k=nplnp（1-q）q（1-p）+nln1-p1-q.

（2）當n=2時，P（X=2）=p2，P（X=1）=2p·（1-p），P（X=0）=（1-p）2，記f（p）=D（X‖Y）=p2ln3p2+2p（1-p）ln6p（1-p）+（1-p）2·ln3（1-p）2=p2lnp2+2p（1-p）ln2p（1-p）+（1-p）2ln（1-p）2+ln3，則f′（p）=4plnp+2p+（2-4p）［ln2p（1-p）+1］-4（1-p）ln（1-p）-2（1-p）=2［lnp-ln（1-p）+（1-2p）ln2］，令g（p）=lnp-ln（1-p）+（1-2p）ln2，則g′（p）=1p+11-p-2ln2gt;0，令φ（p）=1p+11-p-2ln2，則φ′（p）=2p-1p2（1-p）2.當0lt;plt;12時，φ′（p）lt;0，φ（p）單調遞減；當12lt;plt;1時，φ′（p）gt;0，φ（p）單調遞增.可得φ（p）gt;φ12=4-2ln2gt;0，則g（p）單調遞增，而g12=0，所以f′（p）在0，12上為負數，在12，1上為正數，則f（p）在0，12上單調遞減，在12，1上單調遞增，所以D（X‖Y）的最小值為ln3-32ln2.

（3）令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）=1x-1=1-xx.當0lt;xlt;1時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增；當xgt;1時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減.可得h（x）≤h（1）=0，即lnx-x+1≤0，當且僅當x=1時，等號成立，則當xgt;0時，lnx≤x-1，所以ln1x≤1x-1，即lnx≥1-1x，故D（X‖Y）=nk=1xklnxkyk≥nk=1xk·1-ykxk=nk=1（xk-yk）=nk=1xk-nk=1yk=0，當且僅當對所有的k，使xk=yk時等號成立.

評析：另一種解決二項分布中最值問題的方法是將其轉化為導數［3］問題求最值.通過將二項分布中的概率函數轉化為相應的函數表達式，并利用導數的性質，求出函數的極值點，進而確定對應事件的最值情況.這種方法在高中數學中通常涉及利用導數的零點和極值判定法則，對概率函數進行求導，求解過程，從而得到最值情況.

3" 超幾何分布的概率最值

將從（a+b）件產品中取出n件產品的可能組合全體作為樣本點，總數為Cna+b.其中，次品出現k次的可能為CkaCn-kb.令N=a+b，則所求概率為hk（N）=CkaCn-kN-aCnN，

即hk（N）hk（N-1）=CkaCn-kN-aCnNCkaCn-kN-1-aCnN-1=N2-aN-nN+anN2-aN-nN+kN.

令hk（N）hk（N-1）=λ.則當angt;kN時，λgt;1；當anlt;kN時，λlt;1.即當Nlt;ank時，hk（N）是關于N的增函數；當Ngt;ank時，hk（N）是關于N的減函數.所以當N=ank時，hk（N）達到最大值.

例5" 設隨機變量X～H（10，M，1000）（2≤M≤992且M∈N*），H（2；10，M，1000）最大時，E（X）=（" ）.

A. 1.98

B. 1.99

C. 2.00

D. 2.01

解析：隨機變量X～H（10，M，1000），則H（2；10，M，1000）=P（X=2）=C2MC81000-MC101000，由于H（2；10，M，1000）最大.

則有" H（2；10，M，1000）≥H（2；10，M+1，1000），

H（2；10，M，1000）≥H（2；10，M-1，1000）.

即C2MC81000-MC101000≥C2M+1C8999-MC101000，

C2MC81000-MC101000≥C2M-1C81001-MC101000.

整理，得（M-1）（1000-M）≥（M+1）（992-M），

M（993-M）≥（M-2）（1001-M），解得199.2≤M≤200.2，而M∈N*，則M=200，所以E（X）=10M1000=10×2001000=2.00.故選C.

例6" （2023屆四省聯考）一個池塘里的魚的數量記為N.首先，我們從池塘中撈出了200尾魚，并對它們進行了標識.隨后，我們將這些魚放回了池塘.過了一段時間后，我們再次從池塘中撈出了500尾魚.X表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數目.

（1）已知撈出的500尾魚中15尾有標識，試給出N的估計值（以使得P（X=15）最大的N的值作為N的估計值）.

解析：（1）當Nlt;685時，P（X=15）=0；當N≥685時，P（X=15）=C15200C485N-200C500N.記a（N）=C15200C485N-200C500N，則a（N+1）a（N）=C485N+1-200C500NC500N+1C485N-200=（N+1-500）（N+1-200）（N+1）（N+1-200-485）=（N-499）（N-199）（N+1）（N-684）=N2-698N+499×199N2-683N-684.由N2-698N+499×199gt;N2-683N-684，當且僅當Nlt;499×199+68415≈6665.7，則可知當685≤N≤6665時，a（N+1）gt;a（N）；當N≥6666時，a（N+1）lt;a（N）.故N=6666時，a（N）最大，所以N的估計值為6666.

評析：除了二項分布外，超幾何分布［4］也是高中數學中常見的離散概率分布之一，其用于描述從有限個對象中抽取樣本后成功次數的概率分布情況.超幾何分布的概率最值問題涉及在給定參數條件下，成功次數取得最大或最小概率的情況.通過分析超幾何分布的性質，如概率函數的形式，參數條件等，學生可以確定成功次數的最值情況，從而解決與超幾何分布相關的最值問題.

4" 結語

通過本文的研究，我們深入探討了高中數學中與分布列概率相關的三大最值問題.首先，我們學習了如何將二項分布轉化為數列問題求最值，通過構建數列，我們能夠解決二項分布中的最值問題，這為我們提供了一種直觀的思路和方法.其次，我們研究了將二項分布轉化為導數問題求最值的方法，利用導數的性質和技巧，我們能夠更加高效地解決二項分布中的最值問題.最后，我們探討了超幾何分布的概率最值問題，通過分析超幾何分布的特性，我們能夠確定成功次數的最值情況，這為教師在實際問題中的應用提供了重要的參考依據.

參考文獻

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［3］謝賽花.導數在高中數學教學中的運用探究［J］.數理化解題研究，2023（12）：2-4.

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