多思維展開，妙歸納變式

摘" 要：圓錐曲線的離心率問題，一直是歷年高考數學試卷中的一個重點與難點，題目場景新穎，形式變化多.本文結合一道橢圓離心率的求值應用，從不同思維視角切入，結合不同的技巧與方法來分析與解決，合理歸納總結一般性結論，巧妙變式與拓展，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：橢圓；離心率；雙曲線

圓錐曲線中的離心率的求值或最值（或取值范圍）問題，往往可以很好交匯并融合平面幾何與平面向量、函數與方程、不等式以及三角函數等相關知識，非常契合高考數學試卷“在知識交匯點處”的命題指導思想.同時又是多種思維方式切入與應用的基地，是數學命題與創新應用的一個重要場景，一直是各類模擬考試與高考試卷中的熱點問題之一.

1" 問題呈現

設F1，F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，直線MF1，MF2分別交橢圓于點A，B，若MF1=2F1A，MF2=3F2B，則橢圓的離心率為（" ）.

A. 321

B. 37

C. 37

D. 217

本題是以平面向量為背景來綜合創設，進而求解橢圓的離心率.為了求解橢圓的離心率，可以將平面向量條件幾何化或者坐標化，從而得到位置參數的等量關系，進而求解對應橢圓的離心率.

具體解決問題時，關鍵是合理引入動態參數，運用設線法、設點法、解三角形法以及焦點弦性質法等方法，通過引入直線，引入點，引入長度，引入角度等方式，或根據已經掌握的“二級結論”進行小題小做等，解決此類圓錐曲線的綜合問題.

2" 問題破解

2.1" 設線思維

方法1：設線法.

依題可知，F1（-c，0），F2（c，0），設M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

如圖1，易知直線MF1的斜率存在，不妨設直線MF1的方程為x=my-c.

圖1

聯立x=my-c，

x2a2+y2b2=1，

消去參數x并整理，

可得（b2m2+a2）y2-2mb2cy+b2（c2-a2）=0.

易知Δgt;0，由韋達定理，可得y0y1=b2（c2-a2）b2m2+a2.

因為點M（x0，y0）在直線MF1上，則有x0=my0-c，即m=x0+cy0.

則有|MF1||F1A|=-y0y1=-y0b2（c2-a2）（b2m2+a2）y0=-y20（b2m2+a2）b2（c2-a2）=-a2y20+b2（x0+c）2b2（c2-a2）=-a2b2-b2x20+b2（x0+c）2b2（c2-a2）=-a2+c2+2cx0c2-a2.

結合MF1=2F1A，可得-a2+c2+2cx0c2-a2=2，整理，可得x0=a2-3c22c.

同理，不妨設直線MF2的方程為x=ny+c.

聯立x=ny+c，

x2a2+y2b2=1，消去參數x并整理，

得

（b2n2+a2）y2+2nb2cy+b2（c2-a2）=0.

易知Δgt;0，由韋達定理，可得y0y2=b2（c2-a2）b2n2+a2.

因為點M（x0，y0）在直線MF2上，則有x0=ny0+c，即n=x0-cy0.

則有|MF2||F2B|=-y0y2=-y0b2（c2-a2）（b2n2+a2）y0=-y20（b2n2+a2）b2（c2-a2）=-a2y20+b2（x0-c）2b2（c2-a2）=-a2b2-b2x20+b2（x0-c）2b2（c2-a2）=-a2+c2-2cx0c2-a2.

結合MF2=3F2B，可得-a2+c2-2cx0c2-a2=3.

整理，有x0=2c2-a2c.

所以a2-3c22c=2c2-a2c，整理，有7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

解后反思：設線法解決圓錐曲線中的綜合問題，是解決直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題中最為常用的一種技巧方法.借助設線法，將直線與圓錐曲線的位置關系問題轉化為相應的方程問題，結合函數與方程思維來轉化與應用，是解決涉及線段長度、弦長、比例關系等相關問題中比較常用的思維方法.設線法的解題過程往往比較煩瑣，運算量比較大.

2.2" 設點思維

方法2：設點法——單點參.

依題可知，F1（-c，0），F2（c，0），設M（x0，y0）.

由MF1=2F1A，MF2=3F2B，

可得A-x0-3c2，-y02，B4c-x03，-y03.

所以x20a2+y20b2=1，

（x0+3c）24a2+y204b2=1，

（x0-4c）29a2+y209b2=1.

將x20a2+y20b2=1代入

，可得2cx0+3c2=a2，

-cx0+2c2=a2.消去x0，可得7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

方法3：設點法——角度參.

依題可知F1（-c，0），F2（c，0），設M（acosθ，bsinθ），θ∈［0，2π）.

由MF1=2F1A，MF2=3F2B.

可得A-acosθ-3c2，-bsinθ2，B4c-acosθ3，-bsinθ3.

所以acosθ+3ca2+sin2θ=4，

4c-acosθa2+sin2θ=9.

整理，有9e2+6ecosθ=3，

16e2-8ecosθ=8，消去cosθ，可得e2=37，由于0lt;elt;1，解得e=37=217.

所以橢圓的離心率為217，故選擇答案D.

解后反思：設點法解決圓錐曲線中的綜合問題，是解決直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題中另一種比較常用的技巧方法.設點時，可以結合應用場景，或代數法設點，或三角法設點都可以有效達到目的.特別是涉及圓錐曲線中的最值（或取值范圍）問題時，經常采用三角法設點.

2.3" 解三角形思維

方法4：余弦定理法.

依題可設|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=3F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=3n.

如圖2，結合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=2m+3n，則知|F2A|=m+3n，|F1B|=2m+2n.

在△MAF2中，利用余弦定理有cos∠AMF2=|MA|2+|MF2|2-|AF2|22|MA|×|MF2|=9m2+9n2-（m+3n）22×3m×3n.

在△MBF1中，利用余弦定理有cos∠F1MB=|MB|2+|MF1|2-|BF1|22|MB|×|MF1|=16n2+4m2-（2m+2n）22×4n×2m.

由cos∠AMF2=cos∠F1MB，得16m2+6mn-27n2=0，

圖2

解得8m=9n或2m=-3n（舍去），則有cos∠AMB=16.

又2a=2m+3n，可得m=3a7，n=8a21.

在△MF1F2中，利用余弦定理有cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1|×|MF2|=4m2+9n2-4c22×2m×3n=3649a2+6449a2-4c22×6a7×8a7=25a2-49c224a2=16，整理，有7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

解后反思：解三角形法處理圓錐曲線綜合問題，是回歸圓錐曲線的平面幾何本質的一種直觀法解題技巧.利用平面幾何與平面解析幾何之間的融合，通過圖形的直觀形象，數形結合來構建對應的三角形，借助三角形的邊或角的信息，通過解三角形思維來分析與解決問題，進而構建對應參數之間的關系與應用，是直觀法處理圓錐曲線問題中的一種比較有效的直觀解題方法.

2.4nbsp; 焦點弦思維

方法5：焦點弦性質法.

依題可設|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=3F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=3n.

利用焦點弦的基本性質：若PQ為橢圓的一條焦點弦，則有1|PF|+1|QF|=2ab2.

則有1m+12m=1n+13n=2ab2，整理，有n=89m.

又結合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=2m+3n，則有m=3a7.

所以1m+12m=32m=32×3a7=2ab2，整理，有4a2=7b2.

所以橢圓的離心率為e=ca=1-b2a2=1-47=217，故選擇答案D.

解后反思：圓錐曲線焦點弦的“二級結論”，對于解決一些圓錐曲線的小題（選擇題或填空題）時有奇效，這也是一些參加競賽或學有余力同學的課外拓展知識與提升內容，在實際解題過程中經常也可以采用.特別針對一些圓錐曲線中的重要“二級結論”，有必要加以理解與掌握.

3" 結論歸納

對以上問題加以一般化處理，從而可以得到與之相關問題的一般性結論.

結論：設F1，F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，直線MF1，MF2分別交橢圓于點A，B，若MF1=λF1A，MF2=μF2B，其中λgt;1，μgt;1，則橢圓的離心率為λ+μ-2λ+μ+2.

證明：依題可設|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=λF1A，MF2=μF2B，可得|MF1|=λm，|MF2|=μn.

利用焦點弦的基本性質：若PQ為橢圓的一條焦點弦，則有1|PF|+1|QF|=2ab2.

則有1m+1λm=1n+1μn=2ab2，整理，有n=λ（μ+1）μ（λ+1）m.

又結合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=λm+μn，則有m=2（λ+1）aλ（λ+μ+2）.

所以1m+1λm=λ+1λm=λ+1λ×2（λ+1）aλ（λ+μ+2）=2ab2，整理，有4a2=（λ+μ+2）b2.

所以橢圓的離心率為e=ca=1-b2a2=1-4λ+μ+2=λ+μ-2λ+μ+2，即結論得證.

在該結論中，當λ=2，μ=3時，對應的橢圓的離心率為λ+μ-2λ+μ+2=37=217，即為原問題中對應的結果.

4" 變式拓展

橢圓與雙曲線是圓錐曲線中最為典型的兩類曲線，相應的性質與結論經常可以加以合理類比與拓展，基于原橢圓問題，可以合理拓展，得到以下對應的變式問題.

變式" （原創題）設F1，F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，M為雙曲線上一點，直線MF1，MF2分別交雙曲線于點A，B，若MF1=2F1A，MF2=-5F2B，則雙曲線的離心率為""" .

依題可設|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=-5F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=5n.

利用焦點弦的基本性質：若PQ為雙曲線的一條焦點弦，若P，Q在同支時，有1|PF|+1|QF|=2ab2.若P，Q在異支時，有1|PF|-1|QF|=2ab2.

則有1m+12m=1n-15n=2ab2，整理，有n=815m.

結合雙曲線的定義，可得2a=|MF2|-|MF1|=5n-2m，則有m=3a.

所以1m+12m=32m=32×3a=2ab2，整理，有4a2=b2.

所以雙曲線的離心率為e=ca=1+b2a2=1+4=5，故填答案5.

該變式問題是基于雙曲線的焦點弦的基本性質這一“二級結論”來分析與求解.

5" 教學啟示

5.1" 思維技巧歸納，構建知識體系

解決直線與圓錐曲線的位置關系的綜合問題時，經常涉及的解題思維與技巧方法主要包括：①函數與方程思維，通過設點法或設線法來切入，利用聯立對應的圓錐曲線與直線的方程組，利用消參構建對應的方程，進而利用函數與方程思維來展開與應用；②平面幾何思維，通過平面幾何的基本性質，平面向量的線性關系以及解三角形的直觀思維等，回歸平面解析幾何的本質，合理加以數學運算與邏輯推理；③基本性質思維，借助圓錐曲線中一些相應的“二級結論”，涉及焦點弦、焦半徑等，可以直接構建條件與結論之間的聯系，對于問題的分析與求解有奇效.

5.2" 合理類比推理，巧妙拓展應用

在處理圓錐曲線的綜合問題時，經常可以通過圓錐曲線中不同典型題型之間的聯系，通過橢圓、雙曲線、拋物線等之間的相似點、雷同點等，加以合理的類比推理與變式拓展，從而合理加以拓展與應用.

基于此類問題的類比推理與創新應用，可以進一步鞏固對數學基礎知識的理解與掌握，以及基本技巧方法的熟練應用，從而有效開拓學生數學思維，提升數學品質.