合理歸納巧設置，一輪復習妙設計

摘" 要：立體幾何的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能.立體幾何在高中數學是培養學生直觀想象素養的重要載體，其中動點軌跡問題是學生學習的一個難點，同時也是高考的熱點.本文從立體幾何中的幾類軌跡問題展開，利用現代多媒體教學技術，讓學生體會幾何直觀和空間想象的過程，利用空間圖形來理解和解決數學問題.

關鍵詞：立體幾何；軌跡問題；教學

1" 教學分析

1.1" 內容分析

本節課探究的立體幾何中的軌跡問題是指以立體幾何為載體，研究動點軌跡問題.對立體幾何中動點軌跡問題的探究，有助于滲透數形結合的數學思想，也有利于培養學生直觀想象的數學核心素養.

1.2" 學情分析

本節課的教學對象為高三學生，目前已復習完立體幾何的位置關系與空間角，對解析幾何和立體幾何的知識已經有了一定的基礎，但對高考中知識網絡的交匯點的靈活運用較為薄弱，對研究問題的方法有所欠缺.

立體幾何中的軌跡問題對學生直觀想象的能力要求較高，需要學生把空間問題平面化，劃歸為平面中的軌跡問題來處理.

2" 目標分析

2.1" 教學目標

基于上述教學內容與學情分析，并結合新課標與新高考的要求，確定本節復習課的教學目標如下.

（1）知識與技能：①理解并能正確分析立體幾何中的軌跡是如何產生的，相應地采取何種方法能在立體幾何中確定軌跡；②掌握軌跡問題的解題策略，進一步掌握立體幾何中的位置關系，從而解決平面與球、圓柱、圓錐的截面問題.

（2）過程與方法：①通過以正方體為載體的問題，利用變式訓練，讓學生掌握立體幾何中軌跡問題的解題策略，培養學生的直觀想象能力，發展數學核心素養；②通過小組探究與個人思考相結合的教學模式，培養學生良好的分析問題和解決問題的能力；③通過把空間問題平面化，掌握化歸的數學思想方法.

（3）情感態度與價值觀：①通過把平面與空間中軌跡生成的對比，滲透聯系的觀點和辯證唯物主義世界觀；②通過小組合作與學生課堂展示，培養學生的主體意識、合作能力與創新精神.

2.2" 重點難點

教學重點：掌握立體幾何中的軌跡問題的解題策略，能明確空間幾何中的軌跡.

教學難點：在動點變化的過程中發現不變量，能想象出平面截立體幾何得到的截面軌跡.

3" 教學策略

基于以上分析，可見本節內容，對學生的直觀想象能力提出較高的要求，鑒于此，本節課在教學形式上采用導學案教學.

另外，為了降低學生的思維成本，更好地提高學生的直觀想象能力，本節課在教學技術上采用GeoGebra軟件進行輔助教學.

4" 教學過程

環節一：回顧復習，鋪墊引入.

請同學們回答在下列情況下得到的軌跡是什么？

（1）在平面中到定點距離為定長的點的軌跡是什么？在空間中呢？

（2）在平面中到定直線距離為定長的點的軌跡是什么？在空間中呢？

（3）在平面中與一定點的連線與定直線夾角為定值的點的軌跡是什么？在空間中呢？

教師活動：引導學生對比分析在同一要求下，在平面中與空間中得到的軌跡.

學生活動：準確說出在不同情況下得到的軌跡，培養學生的直觀想象能力.

【設計意圖】通過對比分析平面與空間中的軌跡，讓學生體會“點動成線”“線動成體”，鍛煉學生的直觀想象能力，滲透空間問題平面化的思想，為接下來的例題講解做鋪墊.

環節二：講練結合，掌握方法.

圖1

例1" 如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界運動，且始終保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是""" .

教師活動：讓學生畫出動點P的軌跡，分析如下問題.

（1）如果學生采用幾何法，厘清如下要點：

①你是如何畫出點P的軌跡；

②為什么動點P在變化的過程中能始終保持AP⊥BD1;

③一般地，如果給出條件“動直線l（過定點A）與定直線m垂直”，我們如何得到動點的軌跡.

（2）如果學生采用向量法，厘清如下要點：

①如何設點P的坐標；

②得到軌跡方程x=z，這個方程代表的幾何圖形是什么.

學生活動：獨立完成題目，通過厘清要點的過程，掌握幾何法與向量法.

【設計意圖】通過例1，得到應對條件為動直線l（過定點A）與定直線m垂直的點的軌跡的解題策略，講解幾何法與向量法.

教師活動：引導學生從“變問題”與“變條件”兩個角度對例1進行變式訓練與拓展提升.

變式1" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界運動，且始終保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡長度為""" .

變式2" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界運動，且始終保持AP⊥BD1，則AP的最小值為""" .

變式3" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界運動，且始終保持AP⊥BD1，E、F分別為BB1、BC的中點，則三棱錐E-APF的體積為""" .

變式4" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在正方體的表面運動，且始終保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是""" .

變式5" 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在正方體的表面運動，且始終保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡圍成的圖形的長度（面積）為""" .

學生活動：通過小組合作交流，對例1變式問題進行探究.

【設計意圖】通過5個變式訓練，讓學生明晰立體幾何中的軌跡問題考查的方向是軌跡的長度、面積、體積與最值等.找到軌跡所在的位置是第一步，利用軌跡來解決立體幾何中的問題是第二步.

例2" （2021年新高考Ⅰ卷第12題改編）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ∈［0，1］，μ∈［0，1］.

（1）當λ=1時，則點P的軌跡為什么？

（2）當μ=1時，則點P的軌跡為什么？

（3）當λ=12時，則點P的軌跡為什么？

（4）當μ=12時，則點P的軌跡為什么？

（5）當λ+μ=1時，則點P的軌跡為什么？

教師活動：①讓學生畫出參量在不同情況下點P的軌跡；

②分別從向量運算的角度與向量關系分析BP=λBC+μBB1，從而找到點P的軌跡.

學生活動：①畫出參量在不同情況下點P的軌跡；②準確描述BP=λBC+μBB1代表的幾何意義.

【設計意圖】通過例2，引導學生學會從向量運算和向量關系這兩個角度來分析動點P的軌跡，掌握向量法.

例3" 正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2，以點D1為球心，5為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為""" .

教師活動：借助GeoGebra軟件引導學生從以下兩種方法找到交線的軌跡.

（1）截面法.厘清如下要點：

①球面與側面BCC1B1的交線是什么；

②截面的圓心在哪，你是如何找到的.

（2）定義法.厘清如下要點：

①交線的點在變化的過程中是否有不變的量；

②在平面中到定點距離為定長的點的軌跡是什么.

學生活動：在教師的引導下學會用截面法與定義法得到球面與側面BCC1B1的交線，并能準確求出交線長.

【設計意圖】通過例3，掌握截面法（平面截球得到圓）與定義法（平面中到定點距離為定長的點的軌跡是圓），得到找截面圓的圓心的一般方法.

例4" （2008年高考數學浙江卷第10題）如圖2，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（" ）.

圖2

A. 圓

B. 橢圓

C. 一條直線

D. 兩條平行直線

教師活動：借助GeoGebra軟件，引導學生發現動點P的軌跡，分析如下要點.

（1）△ABP的面積為定值等價于什么？

（2）在空間中到定直線的距離為定長的點的軌跡是什么？

（3）平面斜著截圓柱面得到的交線的軌跡是什么？

學生活動：在教師的引導下學會用截面法分析出點P的軌跡為平面斜著截圓柱面得到的交線，因此是橢圓.

環節三：課堂小結，提煉升華.

（1）借助思維導圖，結合學生的小結完成本節課知識點與方法的歸納，搭建知識框架.

（2）引導學生回顧本節課用到的數學思想方法.

學生活動：回顧小結，完成思維導圖，搭建知識框架.

【設計意圖】通過思維導圖進行小結，有助于學生搭建知識框架，發現知識間的聯系，感受本節課所滲透的數學思想方法與考查的能力素養.

5" 教學反思

5.1" 倡導學生主體，教師思維引領

建構主義理論認為，學生是信息加工的主體，是意義的主動建構者.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》高三數學復習課應突出學生知識的意義建構.［1］因此，高三復習教學，不應是教師展示解題的“才藝表演”，更不應只強調靜態數學知識（數學概念、算法、解題技巧等）的獲得.數學教學應該是思維的教學，從這一角度出發，教學就應當給學生充分的時間去思考，給學生更多的機會闡述自己對問題的看法.

5.2" 過程有機設置，信息技術應用

本節課作為高三復習中的難點問題，教師應給予學生充分的時間和空間，進行思考、探究和討論，創造積極的情感體驗和思維碰撞，使課堂教學真正成為師生互動、對話式的主體自主探究與自省研究的學習過程.

此外，本節課采用GeoGebra 軟件與思維導圖進行輔助教學，降低學生的學習成本，提高學生的直觀想象能力，讓數學課堂更加高效.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.