高中數學解題教學中學生高階思維能力的培養

摘 要：本文以恒成立求參數問題作為切入點，針對學生在解題過程中的高階思維能力培養路徑進行了詳細探究，旨在為相關學者提供借鑒與參考，不斷提升高中生的高階思維能力.

關鍵詞：高中數學；解題教學；高階思維；恒成立求參數

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0033-03

高階思維是人類思維的高級形式，也是一種高水平的認知基礎.而在傳統的“教師講、學生聽”模式下，學生的思維活動始終停留在淺層階段，難以激活其高階思維，無法滿足新課程標準教學要求.鑒于此，高中數學教師必須聚焦新課程標準下的要求，以解題教學作為主要載體，使學生在針對性訓練中，激活高階思維、促進高階思維的形成與發展.

1 解題教學促進高階思維發展

解題教學是高中數學教學的重要組成，解題過程也是思維發展過程.鑒于此，為了徹底激活學生的高階思維，教師不僅要重視解題教學，還應精心選擇針對性的題目，使學生在典型的例題和針對性的解題訓練中，得到高階思維的發展.

1.1 開放式解題，激活高階思維

在培養學生高階思維能力時，必須打破“教師講，學生聽”的解題模式，要給學生營造一個開放性的解題課堂，使得學生在主動思考、交流與探究中，發展高階思維.

例如，已知x≥1時，xlnxx+1≤m（x-1）恒成立，求實數m的取值范圍.

解析 學生圍繞問題進行思考，各抒己見，最終形成自己的解題思路.在這種教學思路下，教師的引導和補充，形成了最為常規的解題策略：

方法一：

設f（x）=xlnxx+1-m（x-1），則f（x）≤0對x≥1恒成立，且f ′（x）=x+lnx+1（x+1）2-m.令g（x）=x+lnx+1（x+1）2，則有g（1）=12，又因為g′（x）=-x2-2xlnx+1x（x+1）3lt;0，因此g（x）為遞減函數，所以g（x）∈（0，12］.

當m≥12時，f ′（x）≤0，則f（x）遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，因此m≥12；

當0＜m＜12時，根據零點存在性定理，存在唯一x0∈（1，+∞），使得f ′（x0）=0；根據g（x）為遞減函數及f ′（x）=x+lnx+1（x+1）2-m=g（x）-m知，f ′（x）為減函數，故當x∈（1，x0）時，f ′（x）gt;0，所以f（x）在（1，x0）上遞增，從而f（x）gt;f（1）=0，與f（x）≤0不符，因此0＜m＜12不合題意，舍去.綜上得知m≥12.

教師持續引導學生從構造函數的角度出發，尋求新的解題思路.隨即，學生從構造函數的角度出發，又提出了兩種不同的解題思路：

方法二：xlnxx+1≤m（x-1）xlnx≤m（x2-1），令h（x）=xlnx-m（x2-1），

則h（x）≤0對x≥1恒成立且h′（x）=lnx+1-2mx=x（lnx+1x-2m）.

設g（x）=lnx+1x，g′（x）=-lnxx2≤0，因此，g（x）在1，+∞上遞減，所以g（x）∈0，1.

當2m≥1時，h′（x）≤0，因此，h（x）在1，+∞單調遞減，又h（1）=0，所以h（x）≤0；當2m≤0時，h′（x）≥0，因此，h（x）在1，+∞單調遞增，h（1）=0，所以h（x）≥0.

當0＜2m＜1時，h′（x）在1，+∞存在唯一零點，設h′（x0）=0.當x∈（1，x0）時，h′（x）gt;0，因此h（x）在［1，x0）上單調遞減.所以x∈（1，x0）時，h（x）＞0.綜上得出m≥12.

方法三：xlnxx+1≤m（x-1）xlnx≤m（x2-1），令h（x）=xlnx-m（x2-1），h′（x）=lnx+1-2mx.因為h（1）=0，h′（1）=1-2m，h″（x）=1x-2m，令h′（x）=0，x=12m.

當12m≤1時，即m≥12，則有h″（x）≤0，則h′（x）在1，+∞上單調遞減，h′（x）≤h′（1），h′（1）≤0.因此h（x）遞減，即h（x）≤0，即m≥12.

當12m＞1時，即0＜m＜12，h′（x）在（1，12m）上遞增，所以h′（x）＞h′（1），h′（1）＞0，即h（x）＞0，所以0＜m＜12不合題意，應舍去.綜上所述，m≥12.

針對上述構造法在解題中需要對函數參數進行討論的現象，教師要引領學生思考：如何將這一步驟省去？在這一問題的引領下，學生再次思考，從新的角度展開了探究：

當x=1時，m∈R；

當x＞1時，m≥xlnxx2-1.令g（x）=xlnxx2-1，則g′（x）=x2（1-lnx）-lnx-1（x2-1）2≤0，即g（x）在1，+∞上遞減，所以m≥limx→1xlnxx2-1，而limx→1xlnxx2-1=limx→1lnx+12x，因此m≥12.

如此一來，學生在開放性的解題課堂中，通過教師的引導、自主思考與探究，在不同角度的解題探究中，得到了高階思維的發展[1].

1.2 融入數學思想，發展高階思維

數學思想是基于數學公理、數學概念、數學公式的概括與抽象，不僅僅是數學知識的本質性認識，也是數學思維的集中體現.鑒于此，教師在開展“恒成立求參數”解題教學時，還應以數學思想作為切入點，使得學生在數學思想的引領下，得到高階思維的發展.

例 若不等式（x+1）ln（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍？

分析 在這一典型的“恒成立求參數”的數學問題中，教師培養學生高階思維能力時，深挖本題目中蘊含的數學思想：轉化思想、分類討論思想，使得學生在解題中感悟數學思想，并在數學思想的輔助下，促進高階思維能力的發展.在具體的解題教學中，首先融入轉化思想，指導學生對題目中的問題進行轉化，構造f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax2-2ax，將原本的不等式轉化成為含參數的函數最值問題.接著，引領學生結合函數知識，融入分類討論的思想進行解答.

1.3 變式訓練，促進高階思維發展

鑒于數學學科的特點，促進高階思維的學習并非“題海戰術”，而是圍繞數學概念、公式與定理、基礎知識等開展變式訓練，以便于學生在變式訓練中，強化核心知識點，理解數學知識內涵和外延，最終在分析問題、解決問題中，促進高階思維的發展.

例如，已知函數f（x）=x2-2ax+1，對于任意x，都

有f（x）≥0，求實數a的取值范圍.

在針對這一“恒成立其參數”的數學問題中，教師在培養學生高階思維能力時，基于變式訓練的內涵，為學生設計了一系列的變式訓練.

變式1 已知函數f（x）=x2-2ax+1，對于任意x∈1，2，都有f（x）≥0，求實數a的取值范圍？

變式2 已知函數f（x）=x2-2ax+1，對于任意x∈1，2，都有f（x）≤0，求實數a的取值范圍？

變式3 已知函數f（x）=x2-2ax-a2，對于任意x∈1，2，都有f（x）≥0，求實數a的取值范圍？

變式4 已知函數f（x）=x2-2ax+1，對于任意x∈1，2，都存在f（x）≥0，求實數a的取值范圍？

變式5 已知函數f（x）=x2-2ax+1，g（x）=2ax，其中a＞0，x≠0.若對于任意x1∈1，2，x2∈2，4，都存在f（x1）＞g（x2）恒成立，求實數a的取值范圍？

2 基于解題教學促進高階思維發展的教學啟示

新課程標準視域下，解題教學不再局限于將問題解答出來，而是以問題作為切入點，使學生在問題分析、問題解決的過程中，促進高階思維的發展，并獲得綜合能力的提升.因此，高中數學教師必須及時更新教學觀念，并從以下幾個方面進行改進和完善.

首先，抓住課堂主陣地，優化解題教學過程.教師在優化解題教學時，要及時轉變直接灌輸的解題教學模式，

精心篩選針對性的題目，為學生打造一個開放式的課堂，使學生結合所學的數學知識，通過思考、交流與探究，最終從不同的維度完成知識的探索.

其次，融入數學思想.高中數學教師在培養學生高階思維時，要轉變“只見知識不見思想”的教學模式，充分利用解題這一環節，將數學思想科學、合理地滲透其中，使學生在解題中內化數學思想，并在數學思想的輔助下，更好地分析問題、探究問題，最終獲得高階思維品質的發展.

最后，培養學生的發散性思維.教師要改變傳統的就題論題現象，帶領學生開展一題多解訓練或者變式訓練，使學生在訓練中，逐漸克服傳統思維的狹隘性.另外，在強化學生發散性思維時，還應強化學生的聯想思維，引領學生從類比的角度進行思考[2].

3 結束語

綜上所述，教師應充分發揮解題教學這一載體，對傳統解題教學模式進行完善和修改，使學生在開放性的解題環境、數學思想的輔助下、一題多變的訓練中，實現數學知識的內化和高階思維的發展.

參考文獻：［1］" 舒華瑛.高中數學解題教學中學生高階思維能力的培養：以恒成立求參數問題為例[J].延邊教育學院學報，2021，35（05）：205-209，214.

[2] 王躍梅.高中數學恒成立問題的解題方法探究[J].新智慧，2018（34）：16.

［責任編輯：李 璟］