基于高考題型的高中數(shù)學(xué)解題技巧探究

摘 要：本文聚焦高中數(shù)學(xué)選擇題解題技巧，簡述了數(shù)學(xué)選擇題的特點(diǎn)，并結(jié)合以往高考試題，針對常見選擇題的解題技巧展開了詳細(xì)探究，旨在總結(jié)一套行之有效的選擇題解題技巧，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：選擇題；高中數(shù)學(xué)；高考；解題技巧

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0060-03

選擇題作為高考數(shù)學(xué)題目中的重要組成，占據(jù)著很大的分值比例，素有“得選擇題者得天下”之稱.與其他考試題目相比，選擇題具備構(gòu)思巧妙、概念性強(qiáng)、知識容量大、覆蓋面廣、評分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一等特點(diǎn)，學(xué)生在解答這一類題目時，不僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)

知識，還應(yīng)認(rèn)真審題，充分利用題設(shè)中的已知信息和相關(guān)的選項(xiàng)，靈活運(yùn)用選擇題解題技巧，快速、準(zhǔn)確完成選擇題目的解答[1].

1 基于高考題型的高中數(shù)學(xué)選擇題解題技巧分析

1.1 直接解題法

直接法是一種常見的選擇題解題方法.該方法以題目中所給的已知條件作為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，對題目的答案進(jìn)行推斷、運(yùn)算，最終獲得正確的答案.通常，直接解題法應(yīng)用到數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)概念的辨析，以及運(yùn)算程序相對比較簡單的基礎(chǔ)性題目中.

例如：已知向量a，b滿足a=1，b=3，a-2b=3，則a·b=（" ）.

A.-2" B.-1" C.1" D.2

由a-2b2=a2-4a·b+4b2，又因?yàn)閍=1，b=3，a-2b=3，所以a-2b2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×3=9，最終得出a·b=1.因此，本題正確答案為C.

可以說，在解答選擇題目中，一旦出現(xiàn)了直接考查數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等現(xiàn)象，即可采用直接解題法，對題目中已知條件進(jìn)行深層次挖掘，并結(jié)合考查的知識點(diǎn)進(jìn)行推斷和運(yùn)算，最終完成題目的正確解答.

1.2 排除解題法

針對部分選擇題來說，如果從正面解答存在一定難度，便可從反面的角度出發(fā)，利用逐一排除的方式，將所給選項(xiàng)中不正確的排除在外，則剩余的選項(xiàng)即為正確答案.

例如：已知函數(shù)f（x）=11+2x，則對于任意實(shí)數(shù)x，有（" ）.

A.f（-x）+f（x）=0" B.f（-x）-f（x）=0

C.f（-x）+f（x）=1D.f（-x）-f（x）=13

首先，將A選項(xiàng)代入，即可得出：f（-x）+f（x）=11+2-x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1.

因此，A選項(xiàng)錯誤，C選項(xiàng)正確.

之后，為了進(jìn)一步驗(yàn)證，繼續(xù)將B選項(xiàng)代入f（-x）-f（x）=11+2-x-11+2x=2x1+2x-11+2x=2x-12x+1=1-22x+1.

因?yàn)槠浣Y(jié)果并非常數(shù)，因此可直接排出C、D兩個選項(xiàng).

可以說，在數(shù)學(xué)選擇題解答中，排除法尤為常見.學(xué)生只要通過代入的方式，即可將題目中的干擾項(xiàng)排除，最終得出正確的選項(xiàng).

1.3 數(shù)形結(jié)合解題法

在高中數(shù)學(xué)選擇題解題中，部分題目相對比較抽象，如：方程、函數(shù)等，學(xué)生單純根據(jù)題目中的已知條件，很難得出正確的答案.鑒于此，學(xué)生可借助數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)題目中所給出的數(shù)量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成為曲線、幾何圖形等，之后再結(jié)合曲線或者圖形的性質(zhì)特征，作出相應(yīng)的判斷.

例如：如果過點(diǎn)（a，b）可以做出曲線y=ex的兩條切線，則（" ）.

A.eb＜a B.ea＜b

C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea

解析 根據(jù)圖1所示，如果點(diǎn)（a，b）位于x 軸上，或者x軸下方，只存在一條切線；如果點(diǎn)（a，b）位于曲線上，則只存在一條切線；如果點(diǎn)（a，b）位于曲線上方，則不存在切線.因此，點(diǎn)（a，b）只有位于函數(shù)圖象的下方，并且在x軸上方時，才會存在兩條切線.由此即可得出0＜b＜ea，即D選項(xiàng)正確.可以說，在本題目中，就是利用了函數(shù)圖象的輔助，學(xué)生才能在短時間內(nèi)，高效完成題目的解答.需要說明的是，在利用這一解題方法時，應(yīng)關(guān)注題目中變量的取值范圍，注意圖象準(zhǔn)確性，以免對分析結(jié)果產(chǎn)生影響.

1.4 特例解題法

特例法在解答選擇題時尤為常見，主要是以題干或者選項(xiàng)為出發(fā)點(diǎn)，通過選取特殊的情形，代入題目中的條件，進(jìn)而將特殊函數(shù)或者圖形的位置推導(dǎo)出來，之后再對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出正確的答案[2].

例如：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ∈0，1，μ∈0，1，則（" ）.

A.當(dāng)λ=1時，△AB1P的周長為定值；

B.當(dāng)μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值；

C.當(dāng)λ=12時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1P⊥BP

D.當(dāng)μ=12時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P

針對選項(xiàng)A來說，即可采用特例法，將P視為CC1的中點(diǎn)，此時，學(xué)生即可結(jié)合相關(guān)知識，得出△AB1P的周長為5+2；當(dāng)P和C1點(diǎn)相重合時，則△AB1P的周長為22+1.由此可見，△AB1P的周長并非定值，因此A選項(xiàng)是錯誤的.

針對B選項(xiàng)來說，需要結(jié)合圖2進(jìn)行分析，當(dāng)μ=1時，可判斷點(diǎn)P在線段B1C1上，因?yàn)锽1C1//平面A1BC，因此直線B1C1上任意一點(diǎn)到平面A1BC上的距離都相等，即為定值.又因?yàn)椤鰽1BC的面積為定值，因此三棱錐P-A1BC的體積也為定值.故該選項(xiàng)正確.

針對選項(xiàng)C來說，如圖2所示，當(dāng)λ=12時，取線段BC、B1C1的中點(diǎn)，分別為E、F，連接EF，則點(diǎn)P在線段EF上.接著，運(yùn)用特例法，將點(diǎn)P取在E點(diǎn)處，則AE⊥BC，EF⊥BC，又因?yàn)锳E∩EF=E，因此BC⊥平面A1AEF，又因?yàn)锳1P平面A1AEF，所以BC⊥A1P，即BP⊥A1P；同理，當(dāng)點(diǎn)P在F處，可證明BP⊥A1P.因此，該選項(xiàng)錯誤.

針對D選項(xiàng)來說，如圖3所示，當(dāng)μ=12，取BB1的中點(diǎn)M、CC1的中點(diǎn)N，可推出點(diǎn)P在線段MN上.再次運(yùn)用特例法，當(dāng)P在N點(diǎn)處，取AC中點(diǎn)D，連接A1D、BD.又因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1，可以推出AN⊥BD；又因?yàn)锳N⊥A1D，因此可推斷出AN⊥平面A1BD；又因?yàn)锳1B平面A1BD，所以A1B⊥AN，又因?yàn)锳N∩AB1=A，因此，A1B⊥平面AB1N.因此，過一點(diǎn)A和定直線A1B垂直的平面有且僅有一個，即只有一點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P.故該選項(xiàng)為正確.

1.5 綜合解題法

綜合解題法就是綜合多種方法，將直接法、特例法、排除法等綜合起來，最終在綜合判斷中得出正確的結(jié)論.通常，在具體的解題過程中，綜合法常常是解決多選題的最佳方法.

例如：圖4是函數(shù)y=sin（ωx+φ）的部分圖象，則sin（ωx+φ）=（" ）.

A.sin（x+π3）"" B.sin（π3-2x）

C.cos（2x+π6）D.cos（5π6-2x）

先根據(jù)圖象求函數(shù)周期T，即T=2×（23π-π6）=π，進(jìn)而將A選項(xiàng)排除；接著，根據(jù)圖象分析，因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象和y軸的交點(diǎn)位于x軸的上方.而當(dāng)x=0時，cos（5π6-2x）=cos5π6=-32＜0.因此，D選項(xiàng)也為錯誤選項(xiàng).由此，即可得出該多選題目的正確答案為B、C.

2 基于高考試題選擇題解題技巧教學(xué)啟示

在高考數(shù)學(xué)選擇題解題中，涉及的方法和技巧非常多，除了上述常見的主要方式之外，還包括估算法、邏輯分析法、構(gòu)造法、直覺判斷法、等價轉(zhuǎn)化法等.在新課標(biāo)背景下，選擇題考查點(diǎn)更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).鑒于此，教師必須聚焦新課標(biāo)下選擇題考查的方向，以及常見的解題技巧，開展針對性的教學(xué).

首先，把握數(shù)學(xué)知識主線，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系.無論選擇題目如何變換，都對學(xué)生的基礎(chǔ)知識提出了更高要求.因此，教師不僅要重視基礎(chǔ)知識教學(xué)，還應(yīng)利用大單元教學(xué)模式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中，逐漸走出“只見樹木不見森林”的弊端，形成系統(tǒng)化的知識體系.

其次，加強(qiáng)問題本質(zhì)研究.鑒于當(dāng)前選擇題考查的方向以及特點(diǎn)，教師在日常教學(xué)中，必須堅(jiān)持深度教學(xué)的原則，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)核心概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理的本質(zhì)，真正完成數(shù)學(xué)知識的深度學(xué)習(xí).

最后，加強(qiáng)選擇題技巧教學(xué).鑒于選擇題的特點(diǎn)，教師在日常教學(xué)中，還應(yīng)結(jié)合針對性的例題，有目的、有計(jì)劃地滲透選擇題解題技巧，使得學(xué)生在日常學(xué)習(xí)和針對性的訓(xùn)練中，逐漸掌握相關(guān)的解題技巧

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3 結(jié)束語

為了快速、正確完成選擇題目的解答，學(xué)生不僅僅要認(rèn)真審題，還應(yīng)掌握相關(guān)的解題方法和技巧，針對不同的題目，選擇不同的技巧，才能真正達(dá)到事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：［1］ 王佩其.新高考數(shù)學(xué)選擇題攻略[J].廣東教育（高中版），2023（04）：18-21.

[2] 楊鑫，張啟兆.新高考數(shù)學(xué)選擇題的解題原則與技巧[J].新世紀(jì)智能，2022（46）：20-22.

［責(zé)任編輯：李 璟］