摘 要：構造函數在解決與導數有關的解不等式、求取值范圍和比較大小等問題中發揮著重要的作用.通過構造函數可以巧妙地化解題目中的已知條件，同時抽象出題目中隱藏著的函數模型.本文嘗試探討構造函數在解決導數問題中的具體應用類型，通過幾種常見的構造類型展示構造函數解決導數問題的巧妙之處.

關鍵詞：構造函數；導數；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0008-03

導數問題不僅是高中階段數學學習的重點內容，同時也是具有一定難度的內容.在導數題目中，常常出現形式繁雜的式子以及一些看似毫無關聯的條件，讓學生看得云里霧里，不明就里，感到無從下手.構造函數是指對由基本初等函數組成的式子進行適當的變形，構造出我們所需要的函數，充分利用導數的定義和導數的四則運算法則來進行后續的研究.構造函數是解決導數問題的基本方法[1]，對于解決一些與導數有關的解不等式、求取值范圍、比較大小等問題是十分有效的.在構造的過程中，我們可以巧妙地化解一些難題，充分利用題目的已知條件，達到解決問題的目的，在不知不覺中化繁為簡，化難為易.

1 利用f（x）與x構造

一般地，出現nf（x）＋xf ′（x）形式，構造函數F（x）＝xnf（x）；出現xf ′（x）-nf（x）形式，構造函數F（x）＝f（x）/xn．需根據具體情況，靈活構造函數.

例1 已知x∈（0，＋∞），且f（x）＋xf ′（x）＜0，則不等式f（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0的解集是（" ）.

A.（1，2）"" B.（2，＋∞）

C.（0，1） D.[2，＋∞）

解 令y＝xf（x），x∈（0，＋∞），則y′＝f（x）＋xf ′（x），由y′＜0知y＝xf（x）在（0，＋∞）上單調遞減.又因為f（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0，所以（x＋1）f（x＋1）-（x2-1）f（x2-1）＞0，所以x＋1＜x2-1，又因為x2-1＞0，x＋1＞0，得x＞2，所以f（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0的解集是（2，＋∞）.答案：B.

例2 若f（x）對任意x∈R都有f ′（x）＜12，且f（1）＝1，則f（log2x）＞log2x+12的x的取值范圍為．

解 令F（x）=f（x）-12x，則F′（x）=f ′（x）-12＜0，所以F（x）在R上單調遞減．又因為f（1）=1，所以F（1）=f（1）-12=1-12=12，由f（log2x）＞log2x+12得f（log2x）-12log2x＞12，所以F（log2x）＞F（1），故log2x＜1，所以x的取值范圍為0＜x＜2．答案：（0，2）.

在解決上述問題時，我們要充分熟悉常見的函數求導公式和導數的運算法則，仔細觀察題目中已知條件的結構，與導數運算法則相對應，從而找到在導數問題中構造函數的方法.同時，在解題時要合理地結合導數與函數單調性的關系，分析函數圖象，數形結合，以形解數.

2 利用f（x）與ex構造一般地，出現f ′（x）＋nf（x）形式，構造函數F（x）＝enxf（x）；出現f ′（x）-nf（x）形式，構造函數F（x）＝f（x）/e2x．利用f（x）與ex構造函數.

例3 若定義域為R的函數f（x）滿足f ′（x）＋2f（x）gt;0，且f（0）=1，則不等式f（x）gt;1e2x的解集為．

解 構造函數F（x）＝f（x）·e2x，所以F′（x）＝f ′（x）·e2x＋f（x）·2e2x=e2x[f ′（x）＋2f（x）]gt;0，所以F（x）是R上的增函數，且F（0）＝f（0）·e0＝1，由f（x）gt;1e2x可得f（x）e2xgt;1，即F（x）gt;F（0），所以xgt;0，所以原不等式的解集為（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）.

例5 若f（x）在x∈R上有f ′（x）＞f（x）成立，則（" ）.

A.3f（ln5）＞5f（ln3）

B.3f（ln5）＝5f（ln3）

C.3f（ln5）＜5f（ln3）

D.3f（ln5）＝5f（ln3）

解 構造函數g（x）＝f（x）ex，所以g′（x）＝f ′（x）-f（x）ex，因為在x∈R上有f ′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，得g（x）在R上單調遞增.又因為ln3＜ln5，所以g（ln3）＜g（ln5），所以f（ln3）3＜f（ln5）5，即5f（ln3）＜3f（ln5），答案：A.

例6 定義域為R的函數f（x）滿足：f（x）gt;1-f ′（x）且f（0）＝0，f ′（x）是f（x）的導函數，不等式exf（x）gt;ex-1的解集為（" ）.

A.（0，＋∞）"""" B．（-∞，0）∪（1，＋∞）

C．（-∞，-1）∪（0，＋∞）D．（-1，＋∞）

解 構造函數g（x）＝exf（x）-ex，則g′（x）＝

exf（x）＋exf ′（x）-ex．因為f（x）gt;1-f ′（x），所以g′（x）gt;0在R上恒成立，即g（x）在R上單調遞增．又因為f（0）＝0，所以g（0）＝-1，不等式exf（x）gt;ex-1可化為g（x）gt;g（0），所以解集是（0，＋∞）．答案：A

我們知道ex最大的特點就是它的導數與它本身相同，因此一些函數可以與ex結合進行構造.在解決與ex有關的導數問題時，善于觀察條件的結構對于構造函數有很大的幫助，對構造函數的理解往往是一通百通.

3 利用f（x）與sinx，cosx構造

一般地，出現f ′（x）sinx＋f（x）cosx形式，構造函數F（x）＝f（x）sinx；出現f ′（x）sinx-f（x）cosxsin2x形式，構造函數F（x）＝f（x）sinx；出現f ′（x）cosx-f（x）sinx形式，構造函數F（x）＝f（x）cosx；出現f ′（x）cosx＋f（x）sinxcos2x形式，構造函數F（x）＝f（x）cosx．

例4 已知f（x）的定義域為（-π2，π2），且f（x）為奇函數．當x∈[0，π2）時，有f（x）＋f ′（x）tanxgt;0，則不等式cosx·f（x＋π2）＋sinx.f（-x）gt;0的解集為（" ）.

A.（-π4，π2）

B．（-π4，π2）

C．（-π4，0）D．（-π2，-π4）

解 構造函數g（x）＝f（x）sinx，則g′（x）＝f（x）cosx＋f ′（x）sinx＝[f（x）＋f ′（x）tanx]cosx，當x∈[0，π2）時，f（x）＋f ′（x）tanxgt;0，cosxgt;0，所以g′（x）gt;0，函數g（x）單調遞增．又因為g（0）＝0，所以x∈[0，π2）時，g（x）＝f（x）sinx≥0．因為f（x）是定義在

（-π2，π2）

上的奇函數，所以g（x）是定義在（-π2，π2）上的偶函數．所以不等式cosxf（x＋π2）＋sinxf（-x）gt;0，即sin（x+π2）

·f（x+π2）gt;sinx·f（x），即g（x+π2）gt;g（x），所以|x＋π2|gt;|x|，得到xgt;-π4①，又因為-π2lt;x＋π2lt;π2，所以-πlt;xlt;0②，由①②得不等式的解集是（-π4，0）．答案：C.

例5 已知y＝f（x）對于任意的x∈（0，π2）

滿足f ′（x）·cosx＋f（x）sinx＝1＋lnx，則下列不等式成立的是（" ）.

A.2f （π3）＜f （π4）

B．2f （π3）gt;f （π4）

C．2

f （π3）gt;f （π6）

D．2

f （π6）＜3f （π4）

解 構造函數g（x）＝f（x）cosx，得g′（x）＝f ′（x）cosx＋f（x）sinxcos2x＝1＋lnxcos2x，x∈（0，π2）

．令g′（x）＝0得x＝1e，當x∈（0，1e）

時g′（x）＜0，函數g（x）是減函數，當x∈

（1e，π2）時，g′（x）＞0，函數g（x）是增函數．因為有1e＜π6＜π4＜π3＜π2，所以有g（π6）

＜g（π4）＜g（π3），即

f（π/3）1/2gt;f（π/4）2/2gt;f（π/6）3/2，化簡得

2f （π3）gt;f （π4），

3f （π3）gt;f （π6），

2f （π4）gt;f （π6），故選B．

我們遇到與sinx和cosx相關的式子，往往會想到構造與之相關的函數進行求解.sinx的導數是cosx，而cosx的導數是sinx的相反數，構造時要仔細觀察正負符號，確定合理的函數.

4 構造函數的其他類型

在高考卷中有許多與構造函數有關的導數問題，需要具體地分析題目的條件和結構來確定所構造的函數.這類題目形式靈活多變，往往考查學生的發現、類比、化歸、猜想和歸納等能力，構造函數就是這些能力的具體體現.

例6 （2021·全國乙）設a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04-1，則（" ）.

A．alt;blt;c"" B．blt;clt;a

C．blt;alt;c"" D．clt;alt;b

解 因為b-c＝ln1.02-1.04＋1，所以設f（x）＝ln（x＋1）-1＋2x＋1，得b-c＝f（0.02），

f ′（x）＝

1x+1-221+2x＝1＋2x-（x＋1）（x＋1）1＋2x，當xgt;0時，x＋1gt;1+2x，所以當xgt;0時，f ′（x）＝1＋2x-（x＋1）（x＋1）1＋2xlt;0，所以f（x）在（0，＋∞）上單調遞減，所以f（0.02）lt;f（0）＝0，即blt;c．a-c＝2ln1.01-1.04＋1，設g（x）＝2ln（x＋1）-1＋4x＋1，則a-c＝g（0.01），g′（x）＝2x＋1-421＋4x＝2［1＋4x-（x＋1）］（x＋1）1＋4x，當0lt;xlt;2時，4x＋1＝

2x＋2x＋1gt;x＋1，所以當0lt;xlt;2時，g′（x）gt;0，所以g（x）在（0，2）上單調遞增，所以g（0.01）gt;g（0）＝0，故clt;a，從而有blt;clt;a，故選B.

5 結束語

以上是高中數學中常見的幾種利用構造函數解決導數問題的類型.這類問題的題目條件可能會設置得比較抽象，讓人一開始摸不著頭腦，但是只要認真觀察、理性分析，不難發現構造函數的身影.構造函數具有靈活性和創新性[2]，在具體的解題過程中可能會出現更多其他類型的構造，我們需要具體問題具體分析.歸根結底，我們要有一種構造函數的意識，不論題目條件怎么變化，萬變不離構造，靈活運用構造函數的方法可以幫助我們解決諸如此類的導數問題.

參考文獻：［1］ 鄭顯輝.構造函數在導數中的應用[J].中學數學，2019（07）：53-54.

[2] 張文亭.構造函數在導數問題中的應用[J].數學學習與研究，2015（13）：105-106.

［責任編輯：李 璟］