數列問題中閃爍的數學智慧

摘 要：高中數學數列問題的考查既可以檢驗必備的數學知識，又可以聚焦數學的重點思維.文章將集中關注數列解題中出現的解題思想，觀察思維模式在數列問題中應用的具體步驟及注意事項.

關鍵詞：高中數學；數列解題；構造法

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0016-03

收稿日期：2024-04-05

作者簡介：趙帥（1986.2—），男，山東省平陰人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高考數學中數列作為我們必須掌握的基礎知識，其中的解題方式不僅包含常用的三種方法，還有著與最基礎知識結合的巧妙做法.

數列問題中求數列通項公式是被重點關注部分，與數列求和并駕齊驅.解決這類問題的過程中衍生出的各種數學方法，在其他板塊解題中也是可以遷移應用的.這就是數列作為高中數學必備知識的原因之一，它與其他部分看似割裂，但蘊含的方法卻緊密相連.

1 同型構造法解數列

構造數列的本質是什么？它對我們的解題有著怎樣的幫助？其實它的關鍵在于同構，同構又是什么？就是相同的結構，相同的形式，從而求出數列的通項[1].這種解題方式的本質就是利用了同構的數學思想，可是構造數列從何開始，在過程中又該注意什么問題呢？

1.1 形如an+1=pan+指數函數+常數類型構造例1 已知數列an滿足an=2an-1+2n+1（n≥2），a1=5，求數列an的通項公式.

解析 已知具有一個an與前一項的遞推式，可以發現前一項具有系數2，嘗試將其余部分與an-1結合，得到an+1=2（an-1+1）+2n，出現了一個相同的結構，但是還存在一個指數函數需要解決，構造新數列bn=an+1，再次觀察bn=2bn-1+2n，只需令相鄰兩項間的關系滿足特殊數列便可求解.兩邊同除2n，得bn2n=bn-12n-1+1，此時遞推式可以滿足等差數列，故令cn=bn2n，所以cn=cn-1+1，這是等差數列標志性的遞推式，c1=b12=a1+12=62=3.

所以數列cn是首項為3，公差為1的等差數列，得到cn通項公式cn=3+（n-1）×1=n+2.

即cn=bn2n=n+2，即bn=（n+2）·2n.

因為bn=an+1，

所以an=（n+2）·2n-1（n≥2）.

因為

a1=（1+2）×2-1=5，滿足第二項開始的通項公式，所以數列an的通項公式為an=（n+2）·2n-1（n∈N*）.

點評 在構造過程中，我們重點關注的是相鄰兩項之間的關系，使它們具有相同的形式或者結構從而探究，而這種結構的變換是為了使其滿足我們的特殊數列，利用特殊數列的通項公式，從而寫出最初數列的通項公式.

1.2 一次函數、二次函數型構造

看到這類型題目，我們會產生疑問，它們的遞推式與我們學習的函數極為相似，是否可以通過函數知識進行遷移學習，得出答案呢？還是說它們的本質仍舊是構造同型數列解題呢？

1.2.1 一次函數型構造

例2 已知數列an的首項為a1=4，且滿足an=3an-1+2n-1（n≥2），求數列an的通項公式.

解析 遞推式中除掉含有相鄰項的部分，其余部分與一次函數十分相似，那在這種題目中，我們如何構造數列呢？

我們可以通過將an與an-1構造成具有相同結構的式子進行解題.an-1前的系數為3，將其余部分的系數通過加減變化為相同的系數，注意，我們的前一項為n-1，在變化時也可以將其利用起來，同時為了保證等式的性質，等式左邊也要進行相同的變化，可以得到an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，出現了一個新的形式an+n+1.

故令bn=an+n+1，即

bn=3bn-1（n≥2），

b1=a1+1+1=4+1+1=6.

所以數列bn是首項為6，公比為3的等比數列.

所以bn的通項公式bn=6×3n-1=2×3n.

所以數列an的通項公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

因為a1=2×3-1-1=4，滿足通項公式，所以通項公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

點評 在形如一次函數的數列問題中，相鄰兩項之間的遞推式可以通過加減式子構建等比數列，比如本題中我們根據想要的形式可以反推回去，

an+xn+y=3an-1+2n-1+xn+y

=3an-1+（x+2）n+y-1

=3an-1+（x+2）（n-1）+（x+2）+（y-1）

=3［an-1+x+23（n-1）+（x+2）+（y-1）3］，

x，y均為可以任意取值的常數，為使等式左右兩邊關于an與an-1的式子具有相同結構，故我們進行聯立，解出需要變化的數值.

x=x+23，y=（x+2）+（y-1）3，解得x=1，y=1.

此時可以列出an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，然后進行求解.

1.2.2 二次函數型構造

例3 已知數列an的首項為a1=1，且滿足an+1=2an-n2+3n（n∈N*），求數列an的通項公式.

解析 二次函數的構造與一次函數是否有相似之處呢？我們可以利用相同的方式嘗試將遞推式變換，注意在變換過程中，等式左右兩邊關于數列的式子要具有相同的結構.

an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2an-n2+3n+x（n+1）2+y（n+1）+z

=2an+（x-1）n2+（2x+y+3）n+（x+y+z）

=2［an+x-12·n2+2x+y+32·n+x+y+z2］，

等式左右兩邊關于an與an-1的式子要具有相同結構，聯立

x=x-12，y=2x+y+32，z=x+y+z2，解得x=-1，y=1，z=0.

將原式變換為

an+1-（n+1）2+（n+1）=2（an-n2+n）.

令bn=an-n2+n，

則b1=a1-1+1=1-1+1=1.

所以數列bn是首項為1，公比為2的等比數列.所以bn的通項公式bn=1×2n-1=2n-1

所以數列an的通項公式

an=2n-1+n2-n（n∈N*）.

點評 使用這種方式，第一步，確定相鄰兩項的相同結構式；第二步，將等式一邊只具有單獨一項的式子變化為這個相同式；第三步，為使等式性質成立，等式另一邊也進行相同變化；第四步，將變化后的式子整理成我們找到的結構式;第五步，將對應的結構式系數對應解出最終的遞推式［2］.

2 數量關系構造法解數列

當數列中沒有明顯的遞推關系，式子無法進行分割配湊，我們又該如何求解數列的通項公式呢？又該如何構造輔助數列？

2.1 倒數類型構造

例4 已知數列an滿足an+1=an2an+1，a1=1，求數列an的通項公式.

解析 觀察題目，等式左右兩邊均出現了有關的式子且無法分割，面對這種情況我們要怎么處理遞推式呢？

其實可以取倒數構造一個新函數，為什么要取倒數？是因為取倒數后等式明顯出現了一個相同的倒數結構，而且可以利用分式性質將分式化為一個常數與倒數相加的形式，這樣就會出現等差數列的明顯特征.

1an+1=2an+1an=1an+2.

令bn=1an，則b1=1a1=1，bn+1=bn+2.

所以數列bn是首項為1，公差為2的等差數列.

所以bn的通項公式bn=1+（n-1）×2=2n-1.

故數列an的通項公式an=12n-1（n∈N*）.

2.2 對數類型構造

例5 數列an中，a1=2，滿足an+1=a2n，求數列an的通項公式.

解析 觀察題目，遞推關系式中出現平方形式，這種情況優先考慮對數形式，利用對數變化，我們可以將式子降次，寫出通項公式.

因為an+1=a2n，a1=2，所以數列an中的所有項均大于零.

通常取對數我們會以e為底進行對數運算，使用這種方式在于e不易與其他數字相同，不會造成我們在計算中的運算混亂.在運算中由于對數性質，冪次數就會降低.

所以lnan+1=2lnan，出現新的數列bn=lnan，

b1=lna1=ln2.

數列bn是首項為ln2，公比為2的等比數列.

所以bn的通項公式bn=2n-1×ln2.

故數列an的通項公式an=22n-1，n∈N*.

注意，題目開始為了降冪我們取對數，在得出結論時還要進行一次取對數得到原始數列的通項公式.

3 結束語

數列通項公式解題思想主要分為兩部分：構造同型數列和構造數量關系數列.這兩種解題思路都應用了轉化與化歸思想，對遞推關系進行變化.其中在數量關系構造中，我們還跳脫出遞推式本身的加減變換，引入一個全新的關系數列構造，具有整體思維.這些思想在我們的數學解題中都應用廣泛.

參考文獻：

［1］ 趙克發.“先轉化，再構造”，巧解一類數列問題[J].數理天地（高中版），2022（14）：4-5.

［2］ 趙世瑜.求數列通項公式的新視角：構造常數列[J].數理化解題研究，2023（33）：39-41.

［責任編輯：李 璟］