例析高中數(shù)學(xué)立體幾何中的體積問題

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，特別是體積問題，考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合能力.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，在傳授學(xué)生立體幾何基礎(chǔ)知識的同時(shí)，還需要傳授學(xué)生相應(yīng)的解題技巧，提高學(xué)生的解題能力，以靈活應(yīng)對新高考中的立體幾何求體積問題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；體積

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0035-03

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，涵蓋諸如立體圖形的性質(zhì)、體積與表面積計(jì)算、空間向量等內(nèi)容[1] .其中體積問題是高考考查的常見且重要的問題，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，還能提高他們的邏輯思維能力，所以掌握體積問題的解題方法和技巧對學(xué)生來說至關(guān)重要.本文針對多面體體積問題的三類常見題型，結(jié)合例題展示具體解決策略，以供參考.

1 公式法和等體積轉(zhuǎn)化型

處理立體幾何中有關(guān)體積計(jì)算問題，一般比較簡單的情形就是能夠直接利用相關(guān)體積公式加以求解[2].等體積轉(zhuǎn)化法是求三棱錐體積的常見方法，換頂點(diǎn)是三棱錐的特性，在求解過程中要盡可能尋找在表面的三個(gè)點(diǎn)，利用好“同底等高”和“同底比例高”.

例1 如圖1所示，在棱長為2的正方體ACBD-A1C1B1D1中，M是線段AB上的動點(diǎn).

（1）證明：AB∥平面A1B1C；

（2）若M是AB的中點(diǎn)，證明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；

（3）求三棱錐M-A1B1C的體積.

解析 （1） 因?yàn)樵谡襟wACBD-A1C1B1D1中， AB∥A1B1，A1B1平面A1B1C，AB平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

（2）在正方體ACBD-A1C1B1D1中，因?yàn)锽C=AC，M是AB中點(diǎn)，所以CM⊥AB.

因?yàn)锳A1⊥平面ABC，CM平面ABC，則CM⊥AA1.

因?yàn)锳B平面ABB1A1，AA1平面ABB1A1，且AB∩AA1=A，所以CM⊥平面ABB1A1.

因?yàn)镃M平面MCC1，

所以平面MCC1⊥平面ABB1A1.

（3）因?yàn)锳B∥平面A1B1C1，所以點(diǎn)M，點(diǎn)A到平面A1B1C的距離相等.故VM-B1A1C=VA-B1A1C=VB1-ACA1=13×2×2×12×2=43.

2 多面體割補(bǔ)型

高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)不規(guī)則幾何體求體積問題，此時(shí)無法直接運(yùn)用公式求解，需要通過分割轉(zhuǎn)化成求若干三棱錐或者四棱錐體積和.在分割組合過程中，多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”.

例2 如圖2，在多面體ABCDEF中，四邊形ADEF為矩形，四邊形ABCD為等腰梯形， BC∥AD， BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分別為EF，CD的中點(diǎn).

（1）求證：MN∥平面ACF；

（2）若DE=2，求多面體ABCDEF的體積.

解析 （1）如圖3，取AD的中點(diǎn)O.連接OM，ON，在矩形ADEF中，因?yàn)镺，M分別為線段AD，EF的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥AF.

又OM平面ACF，AF平面ACF，

所以O(shè)M∥平面ACF.

在△ACD中，因?yàn)镺，N分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)N∥AC.

又ON平面ACF，AC平面ACF，

所以O(shè)N∥平面ACF.

又OM∩ON=O，OM，ON平面MON，

所以平面MON∥平面ACF.

又MN平面MON，所以MN∥平面ACF.

（2）如圖3，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面

ADEF∩平面ABCD=AD，CH平面ABCD，所以CH⊥平面ADEF.圖3 例2解析圖

同理DE⊥平面ABCD.

連接OB，OC，在△ABD中，因?yàn)锳B⊥BD，AD=4，所以O(shè)B=12AD=2.同理OC=2.

因?yàn)锽C=2，所以等邊△OBC的高為3，即CH=3.

連接BE，所以

VABCDEF=VB-ADEF+VB-CDE=VB-ADEF+VE-BCD

=13SADEF·CH+

13S△BCD·DE=

13×2×4×3+13×12×2×3×2=1033.

3 動點(diǎn)型

立體幾何中的動點(diǎn)型問題屬于難題，對于動點(diǎn)型體積問題又可劃分為定值、最值和取值范圍三類.對于動點(diǎn)定體積問題，關(guān)鍵是找到定底定高；動點(diǎn)體積最值問題通常轉(zhuǎn)化成底或高的最值問題；與最值問題類似，動點(diǎn)體積范圍問題需找到體積上限和下限，運(yùn)算上通常轉(zhuǎn)化成基本不等式或者函數(shù)模型求導(dǎo)解決.

例3 直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，側(cè)面AA1C1C中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動點(diǎn)，有下列判斷，錯(cuò)誤的（" ）.

A.直三棱柱側(cè)面積是4+22

B.直三棱柱體積是13

C.三棱錐E-AA1O的體積為定值

D.AE+EC1的最小值為22

解析 如圖4，由題知底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為

1×2×2+12+12×2=4+22.故A正確；

直三棱柱的體積為V=S△ABC·AA1=12×1×1×2=1，故B不正確；

由BB1∥平面AA1C1C且點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動點(diǎn)，所以三棱錐E-AA1O的高為定值

22，S△AA1O=14×2×2=22，所以VE-AA1O=13×22×

22=16，故C正確；將四邊形BCC1B1沿BB1翻折，使四邊形ABB1A1與四邊形BCC1B1位于同一平面內(nèi)，連接AC1與BB1相交于點(diǎn)E，此時(shí)AE+EC1最小，即

AE+EC1=AC1=AA21+A1C21=22.故D正確.

例4 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD， PA=AB， E為線段PB的中點(diǎn).

（1）若F為線段BC上的動點(diǎn)，證明：平面

AEF⊥平面PBC；

（2）若F為線段BC，CD，DA上的動點(diǎn)（不含A，B），PA=2，三棱錐A-BEF的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由.

解析 （1）因?yàn)镻A=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BC平面ABCD，

所以BC⊥PA.

又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，

所以BC⊥AB， PA∩AB=A.

所以BC⊥平面APB.

因?yàn)锳E平面PAB，所以AE⊥BC.

因?yàn)镻B∩BC=B，所以AE⊥平面PBC.

因?yàn)锳E平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.

（2）由PA⊥底面ABCD，則平面PAB⊥平面ABCD.

所以點(diǎn)F到平面ABE的距離（三棱錐F-ABE的高）等于點(diǎn)F到直線AB的距離，因此，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC，AD上運(yùn)動時(shí)，三棱錐F-ABE的高小于或等于2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時(shí)，三棱錐F-ABE的高為2.

因?yàn)椤鰽BE的面積為S△ABE=12×2×1=1，

所以當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上，三棱錐F-ABE的體積取得最大值，最大值為

V=13×S△ABE×2=23.

所以三棱錐A-BEF體積存在最大值23.

4 結(jié)束語

本文通過分析立體幾何中多面體體積問題的典型例題，探究具有代表性和針對性的解題方式.通過等體積轉(zhuǎn)化和割補(bǔ)思想，將復(fù)雜幾何體化繁為簡，體現(xiàn)了化歸思想.在求解體積問題的過程中，往往會結(jié)合實(shí)際情境， 或?qū)⒘Ⅲw幾何與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合.對于學(xué)生而言，掌握立體幾何的知識與技能是十分必要的， 它不僅是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要部分，而且在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王幼蘭.高中數(shù)學(xué)立體幾何高考試題分析與教學(xué)策略研究[J].考試周刊，2023（23）：89-93.

［2］ 章瑩瑩.關(guān)注立體幾何常考題型[J].數(shù)理化解題研究，2022（34）：25-27.

［責(zé)任編輯：李 璟］