數形結合思想在解題中的應用

摘 要：“數”與“形”之間有著緊密的聯系，通過幾何圖形來求解代數問題直觀、形象.文章利用數形結合思想，通過“以形助數”來求解函數的零點、方程的根以及最值問題，通過“以數解形”來求解幾何動態問題.

關鍵詞：數形結合；函數零點；最值問題；動態問題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0032-03

根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想，就是數形結合思想.下面結合具體例子給出數形結合思想的三個應用.

1 利用數形結合求解函數零點與方程的根的問題

利用函數圖象可直觀研究函數的性質，求解與函數有關的方程、不等式問題.

例1 設a∈R，對任意實數x，記f（x）=minx-2，x2-ax+3a-5.若f（x）至少有3個零點，則實數a的取值范圍為.

解析 設g（x）=x2-ax+3a-5，h（x）=x-2，由x-2=0可得x=±2.

要使得函數f（x）至少有3個零點，則函數g（x）至少有一個零點，則△=a2-12a+20≥0，解得a≤2或a≥10.

①當a=2時，g（x）=x2-2x+1，作出函數g（x），h（x）的圖象如圖1所示，此時函數f（x）只有兩個零點，不合乎題意.

②當alt;2時，設函數g（x）的兩個零點分別為x1，x2（x1lt;x2），

要使得函數f（x）至少有3個零點，則x2≤-2，則

a2lt;-2，g（-2）=4+5a-5≥0，解得a∈.

③當a=10時，g（x）=x2-10x+25，作出函數g（x），h（x）的圖象如圖2所示.由圖2可知，函數f（x）的零點個數為3，合乎題意.

④當agt;10時，設函數g（x）的兩個零點分別為x3，x4（x3lt;x4），要使得函數f（x）至少有3個零點，則x3≥2，可得

a2gt;2，g（2）=4+a-5≥0，

解得agt;4，此時agt;10.

綜上所述，實數a的取值范圍是［10，+∞）.

故答案為［10，+∞）.

點評 設g（x）=x2-ax+3a-5，h（x）=x-2，分析可知函數g（x）至少有一個零點，可得出△≥0，求出a的取值范圍，然后對實數a的取值范圍進行分類討論，根據題意可得出關于實數a的不等式，綜合函數圖象可求得實數a的取值范圍［1］.

2 利用數學概念、表達式的幾何意義求解最值、范圍問題

向量、復數、圓錐曲線等數學概念具有明顯的幾何意義，可利用圖形觀察求解有關問題.靈活應用一些幾何結構的代數形式，如斜率、距離公式等.

例2 已知A（2cos15°，2sin15°），O（0，0），且

|OB|=|OC|=2，則AB·AC的取值范圍是.

解析 由題意，OA=4cos215°+4sin215°=2，故A，B，C均在圓心為原點，半徑為2的圓上，如圖3所示.

①當AB為直徑時，

AB·AC=AB·ACcos〈AB，AC〉

=4ACcos〈AB，AC〉，

又ACcos〈AB，AC〉為AC在直徑AB上的投影，故ACcosA∈［0，4］，此時AB·AC∈［0，16］.

②當AB不為直徑時，

AB·AC=AB·ACcos〈AB，AC〉.

設AB=2x，數形結合可得AC在AB上的投影ACcos〈AB，AC〉∈［x-2，x+2］.

故2x（x-2）≤AB·AC≤2x（x+2）.

即2（x-1）2-2≤AB·AC≤2（x+1）2-2.

故當x=1，AB=2時2（x-1）2-2有最小值-2，此時-2≤AB·AClt;16.

綜上可得AB·AC的取值范圍是［-2，16］.

點評 由題意，A，B，C三點均在圓心為原點，半徑為2的圓上，再根據數量積公式，結合幾何意義分析最值求解即可.應用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點到直線的距離；④根式——可考慮兩點間的距離［2］.

3 幾何動態問題中的數形結合

對一些幾何動態中的代數求解問題，可以結合各個變量的形成過程，找出其中的相互關系求解.

例3 已知點M（-5，0），點P在曲線x29-y216=1（xgt;0）上運動，點Q在曲線（x-5）2+y2=1上運動，則PM2PQ的最小值是.

解析 如圖4所示，在雙曲線x29-y216=1中，

a=3，b=4，c=a2+b2=5，圓（x-5）2+y2=1的圓心為C（5，0），半徑長為r=1，所以雙曲線x29-y216=1的左、右焦點分別為M，C.

由雙曲線的定義可得

PM=PC+2a=PC+6，

PQ≤PC+1.

所以PM2PQ≥（PC+6）2PC+1

=（PC+1）+25PC+1+10

≥2（PC+1）·25PC+1+10=20，

當且僅當Q為射線PC與圓C的交點，且PC=4時等號成立.

故PM2PQ的最小值是20.

點評 作出圖形，分析可知PM=PC+6，PQ≤PC+1，利用基本不等式可求得PM2PQ的最小值.

例4 已知點A（1，1），點P是雙曲線C：x29-y27=1左支上的動點，Q是圓D：（x+4）2+y2=14上的動點，則（" ）.

A.雙曲線C的實軸長為6

B.雙曲線C的漸近線為y=±377x

C.PQ的最小值為12

D.PA-PD的最小值為6-10

解析 對于選項A，由雙曲線方程知a=3，則C的實軸長為6，故A正確；

對于選項B，由雙曲線方程知C的漸近線為

y=±73x，故B錯誤；

對于選項C，雙曲線、圓如圖5所示，D（-4，0）為左焦點，當且僅當P為x軸交點，Q為x軸右交點時，PQ最小為12，故C正確；

對于選項D，由F（4，0）為右焦點，|PF|-|PD|=2a=6，則PA-PD=PA+6-|PF|，要使PA-PD最小只需P，A，F共線，此時（PA-PD）min=6-|AF|=6-10，故D正確.

綜上，選ACD.

點評 根據雙曲線方程寫出實軸長、漸近線方程判斷A，B；由圓和雙曲線的位置關系，結合雙曲線的性質、數形結合求PQ的最小值，由F（4，0）為右焦點，根據雙曲線的定義將目標式轉化為PA+6-|PF|即可求最小值.

4 結束語

有些代數問題直接進行代數運算會比較麻煩，若能作出圖形，結合圖形的性質求解就會簡潔得多[3].而對于與幾何圖形有關的最值問題，通過代數方法計算則小題大做，計算繁雜，解題時若能充分考慮幾何關系，比如充分利用“三角形兩邊之和大于第三邊”“兩點之間線段最短”等幾何結論，則會簡化運算.這些都體現了數形結合思想在解題中的優越性.

參考文獻：

［1］ 李鴻昌，朱瀟.活躍在模考試題中的復合函數零點問題[J].數學通訊，2018（15）：30-34.

[2] 李鴻昌.橢圓內接等腰直角三角形的個數問題：從2023年1月武昌區高三期末試卷第8題談起[J].數理化解題研究，2023（31）：71-73.

[3] 趙世鵬.高考數學解題中數形結合思想的應用[J].數理化解題研究，2024（01）：51-53.

［責任編輯：李 璟］