輔助函數與不等式的融合

摘 要：在不等式解題中，我們常常面對復雜的不等式無法一下解出，此時就可以引入輔助函數，利用函數的單調性進行解題.文章通過導數公式構造常見的四種輔助函數從而探究導數不等式的解題思路.

關鍵詞：高中數學；導數公式；構造函數；導數不等式

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0013-03

函數單調性是我們學習函數的重要性質之一，它不僅可以顯示出函數在區間內的運動趨勢，還可以反映函數值的增減變化.本文的解題思路就是利用這一點，將原函數通過導數公式將題目條件構造成一個新函數的導數式，在新函數基礎上求解不等式[1].這個新函數就是我們的輔助函數.

1 構造“冪函數”型輔助函數

構造函數可以從題目條件入手，尋找f（x）與f ′（x）有關的不等式，通過構造輔助函數使其導數式滿足關系式，利用條件中的大小關系和函數單調性，找到與未知不等式有關的函數值進行解答.

例1 已知函數f（x）是定義在區間（0，+∞）上的可導函數，其導函數為f ′（x），且滿足xf ′（x）+2f（x）gt;0，則不等式（x+2 023）f（x+2 023）5lt;5f（5）x+2 023的解集為（" ）.

A.x|xgt;-2 018

B.x|xlt;-2 018

C.x|-2 018lt;xlt;0

D.x|-2 023lt;xlt;-2 018

解析 題目要求的不等式中數值都比較大，是否可以利用函數的單調性解題呢？如果

可以將不等式放在一個函數中，通過分析函數在不同區間內的單調性，從而找到符合不等式的區間達到解題目的，這就是我們構造函數解導數不等式的具體思路.但是如何構造這個全新的函數使得其能夠在求導后滿足題目條件呢？

此時我們可以從函數求導公式入手進行探究.題中條件有一個關于f（x）與f ′（x）的不等式xf ′（x）+2f（x）gt;0，其左邊部分與求導公式類似，兩個函數相乘求導時［f（x）g（x）］′=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x），所以我們需要分析什么形式的函數求導可滿足這個關系式.這個需要構造的輔助函數為兩個函數相乘，其中一個函數已知，是本題中的f（x）；另一個函數中既要有未知數x，求導中還需出現二倍關系，聯想到二次函數，嘗試構造F（x）=x2f（x），將其求導，F′（x）=2xf（x）+x2f ′（x），與題目已知條件類似，比較后發現，構造出的函數多乘一個未知數，但是這個構造函數一定是錯誤的嗎？別忘記，題目中還規定了函數的定義域xgt;0，我們可以發現，在此時多乘一個未知數并不會影響題目的不等式條件，故此時條件變化為x2f ′（x）+2xf（x）gt;0，即F′（x）gt;0，故F（x）在（0，+∞）上單調遞增.但是這個輔助函數與我們要求解的不等式有何聯系呢？

可以先將題目要求不等式變換形式為（x+2 023）2f（x+2 023）lt;52f（5），此時可以看出這個不等式其實是

比較的大小函數值，即F（x+2 023）lt;F（5）.因為F（x）在（0，+∞）上單調遞增，由單調性可知，0lt;x+2 023lt;5，解得-2 023lt;xlt;-2 018，故D選項正確.

2 構造“指數函數”型輔助函數

當題目中沒有明顯的函數提示條件，我們又該如何構造函數呢？

例2 定義在R上的函數f（x）的導函數為

f ′（x），若對任意x，有f（x）gt;f ′（x），且f（x）+2 023為奇函數，則不等式f（x）+2 023exlt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，0）""" B.（0，+∞）

C.（-∞，1e）D.（1e，+∞）

解析 題目條件中f（x）+2 023為奇函數，故我們可以根據奇函數性質推斷f（x）的性質，奇函數在x=0處函數值為零，可得f（0）=-2 023.

但是我們又該如何構造函數呢？題目中出現了指數函數，我們是否可以構造一個與指數函數和f（x）有關的輔助函數，通過尋求這個新函數的單調性求解不等式呢？

先將不等式變形，因為指數函數在定義域內恒大于零，變形后我們發現f（x）exlt;-2 023.因為f（0）=-2 023，e0=1，所以構造F（x）=f（x）ex，通過探究這個新函數的單調性，尋找滿足F（x）lt;F（0）的條件.

F′（x）=f ′（x）-f（x）ex，在定義域內exgt;0恒成立，題目中f（x）gt;f ′（x），所以F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上單調遞減.由單調性可知，xgt;0，故B選項正確.

3 構造“三角函數”型輔助函數

題目條件均未出現明顯趨勢時，又該從哪里入手構造輔助函數呢？

例3 對任意的x∈（0，π2），不等式f（x）tanxlt;f ′（x）恒成立，則下列不等式錯誤的是（" ）.

A.f（π3）gt;2f（π4）" B.f（π3）gt;2f（1）cos1

C.2f（1）cos1gt;2f（π4）D.2f（π4）lt;3f（π6）

解析 題目中出現了三角函數，而選項中也有三角函數值的有關選項，那是否可以構造一個新的函數使得f（x）與cosx產生聯系，從而根據函數單調性求解不同函數值之間的關系呢？

題目中選項有f（1）cos1，嘗試構造新函數F（x）=f（x）cosx，則

F′（x）=-f（x）sinx+f ′（x）cosx.這個新函數會有具體的單調性嗎？嘗試變形不等式與導數式產生聯系，因為x∈（0，π2），所以sinxgt;0，cosxgt;0，所以f（x）tanxlt;f ′（x）恒等變換為f（x）sinx-f ′（x）cosxlt;0.即F′（x）=-f（x）sinx+

f ′（x）cosxgt;0.故對于任意的x∈（0，π2），F（x）在區間內單調遞增.

對于A選項中有兩個f（x）的取值，那我們嘗試將這兩個取值代入新函數.

F（π3）=12f（π3），F（π4）=22f（π4），根據單調性，F（π4）lt;F（π3），所以12f（π3）gt;22f（π4），化簡得f（π3）gt;2f（π4），故A選項正確.

那么，其余選項是否也可以利用新函數比較呢？

由單調性可知F（π6）lt;F（π4）lt;F（1）lt;F（π3）.

即f（π6）cosπ6lt;f（π4）cosπ4lt;f（1）cos1lt;f（π3）cosπ3.

所以32f（π6）lt;22f（π4）lt;f（1）cos1lt;12f（π3）.

即3f（π6）lt;2f（π4）lt;2f（1）cos1lt;f（π3）.

對比可知，只有D選項中不等式錯誤，故選D.

4 構造“對數函數”型輔助函數

所求不等式明顯與輔助函數間存在差距，不能只利用輔助函數單調性，又該如何求解呢？

例4 已知f（x）是定義在R上的奇函數，f ′（x）為f（x）的導函數，f（12）≠0，且f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，則不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，-1）∪（0，12）∪（2，+∞）

B.（-1，0）∪（12，2）

C.（-1，0）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（0，2）

解析 不等式為二次函數與f（x）的乘積，我們是否可以探究出f（x）的單調性，再根據二次函數在不同區間內的變化得出解集呢？

題目中有一條件f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，我們是否可以與兩函數相乘求出的導數式產生聯系？故構造一個新函數F（x）=f（x）ln（2x），求導得F′（x）=

f ′（x）ln（2x）+f（x）x.由題意可知F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上單調遞減，所以不等式的解集我們需要找到兩個函數與零的大小.因為ln1=0，f（12）≠0，所以F（12）=f（12）ln（2×12）=0.所以在x∈（-∞，12），F（x）gt;0，x∈（12，+∞），F（x）lt;0.

又因為x∈（0，12）時，明顯ln（2x）lt;0，當x∈（12，+∞），ln（2x）gt;0，所以在x∈（0，+∞）時，恒有f（x）lt;0，f（x）是定義在R上的奇函數，所以在

x∈（-∞，0）時，f（x）gt;0.

因為所求不等式為兩個函數相乘，所以我們需要找到它們同時大于零或者小于零的部分.前面的二次函數x2-x-2，可以利用十字相乘法變形為（x-2）（x+1），所以當-1lt;xlt;2時，x2-x-2lt;0，當xlt;-1或xgt;2時，x2-x-2gt;0.

二者需要取交集，即x2-x-2gt;0，f（x）gt;0或x2-x-2lt;0，f（x）lt;0， 解得xlt;-1或0lt;xlt;2.

所以不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是

（-∞，-1）∪（0，2），故D選項正確.

5 結束語

解導數不等式時，我們通常會根據導數公式構造一個新的輔助函數，利用其函數式與所求不等式間存在的關系，從而探索輔助函數的單調性，得到不同取值下的函數值大小，從而求解.

參考文獻：

［1］王勇.高中數學解題中構造函數的有效應用[J].數理化解題研究，2023（31）：50-52.

［責任編輯：李 璟］