三類函數問題的解法剖析

函數是高中數學中的重要模塊.常見的函數問題有函數解析式問題、單調性問題、最值問題、周期性問題、函數應用問題等.函數問題通常會側重于考查二次函數、指數函數、對數函數等基本初等函數的圖象和性質.筆者對下列三類問題的解法進行了總結，下面結合實例作詳細的介紹.

一、函數運算問題

函數運算問題側重于考查冪函數、指數函數、對數函數等基本公式和運算性質，常用的有 （ an ） n = a、loga M N = logaM - logaN、loga（MN）= logaM + logaN、logaN = logm N logma、logaMn = n logaM（n ∈ R） 等.解答函數運算問題，需根據函數式的結構特征選用合適的運算公式和性質進行運算.

例1

解

本題中涉及了指數函數式、對數函數式，我們需根據公式logaN = b ? ab = N （a gt; 0，a ≠ 1，N gt; 0） 進行指對數互化，靈活運用對數的運算性質loga（MN）= logaM +logaN和換底公式logaN = logbNlogba，來建立 a、b、c 之間的關系.

二、函數圖象問題

函數圖象問題的常見命題形式有：（1）根據函數的解析式畫出函數的圖象；（2）根據函數的圖象求函數的最值、單調區間.解答函數圖象問題，需熟練掌握二次函數y=ax2+bx+c、冪函數y=xa、指數函數y=ax、對數函數y=loga x等函數的圖象和性質，并學會通過平移變換、旋轉變換、對稱變換等作出復雜函數的圖象，以通過研究函數的圖象順利獲得答案.

例2.函數f（x）=的圖象為（）.

解：

該函數的解析式較為復雜，我們無法直接畫出函數的圖象，需仔細研究函數的解析式，令x=-x、xlt;0、xgt;1，將其分別代入函數的解析式，以判斷出函數的奇偶性、單調性，并求得函數的取值范圍.

例3.

解：

我們需先仔細研究函數的圖象，明確函數的單調性、最高點、最低點，以及圖象的變化趨勢；然后選取合適的特殊值代入函數的解析式中，通過排除法找到與圖象相符的函數解析式.

三、函數應用問題

函數在實際生活中的應用較為廣泛.解答函數應用問題，首先需要根據題意確定自變量、因變量，建立合適的函數模型；然后將相關的數據代入函數式中來建立關系式，進而利用基本初等函數的定義、性質、圖象求得問題的答案.

例4.某品牌塑料袋經自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關系為y=y0?ekt，其中y0為初始量，k為光解系數.已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%，則該品牌塑料袋大約需要經過（）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數據：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）

A.20 B.16 C.12 D.7

解：

題目中已告知自變量與因變量的關系式y=y0?ekt，我們只需根據已知的數據求得ek=；再將其代入ekt=10%中，即可利用對數函數的運算性質獲解.

例5.某工廠統計資料顯示，一種產品的次品率p與日產量x（件）（x∈N且0lt;x≤100）之間的關系如下表：

解：

對于問題（1），我們需先根據表格中的數據找出次品率p與日產量x之間的關系，并建立關系式；再根據題意構造出關于日贏利額y和日產量x的函數.對于問題（2），需根據問題（1）中得出的函數解析式進行換元，令t=108-x，通過分離常數配湊出基本不等式，進而求出最值；最后還需檢驗所求的值是否滿足生活實際情況.

總的來說，在解答函數問題時，同學們不僅要靈活運用基本初等函數的基本公式、定義、性質、圖象，還要重點研究函數的解析式、定義域、特殊值，以通過函數運算，研究函數的圖象和性質，獲得問題的答案.

（作者單位：江蘇省如東高級中學）