選用合適的方法，高效解答數(shù)列求和問(wèn)題

數(shù)列求和問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)列試題中.這類問(wèn)題常以解答題的形式出現(xiàn).解答數(shù)列求和問(wèn)題，需熟練運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.下面主要談一談求解復(fù)雜數(shù)列求和問(wèn)題的方法.

一、錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是等比數(shù)列和等差數(shù)列的乘積，那么就可以使用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.先將數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分為等比數(shù)列和等差數(shù)列，并確定等比數(shù)列的公比；然后列出數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式；接著在該式的兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；再將兩式錯(cuò)開一位相減，就可以使差式中的大部分項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新等比數(shù)列；最后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和即可.

例1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=2，a1+a2+a3=12，數(shù)列{bn}滿足bn=an xn（x∈R*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

解：

對(duì)于公比為參數(shù)的數(shù)列，要運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，需分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.本題中對(duì)于x≠1的情形，可以將bn=2n?xn視為等差數(shù)列{2n}和等比數(shù)列{xn}的乘積，運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

二、裂項(xiàng)相消法

對(duì)于某些復(fù)雜數(shù)列，我們可以通過(guò)約分、通分、拆項(xiàng)、分母有理化等方式，將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，這樣和式中互為相反數(shù)的項(xiàng)就會(huì)相互抵消，我們就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算順利求得數(shù)列的和.

例2.

解：

數(shù)列{ } 1 Sn 的通項(xiàng)公式為 1 Sn = 1 2n（n + 1） ，將其拆分為兩項(xiàng)之差 1 Sn = 1 2 （ 1 n - 1 n + 1 ） ，即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法快速求得數(shù)列的和.

三、分組求和法

有些復(fù)雜數(shù)列通過(guò)拆分、重組可以化為幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列，如等比數(shù)列、等差數(shù)列、常數(shù)列的和差，就可以采用分組求和法進(jìn)行求和.將每個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列分成一組，分別根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和即可.

例3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：

先將數(shù)列 {cn} 拆分為兩組 30 ，3 1 ，???，3n - 1 、2 × 1， 2 × 2，???，2n ；然后根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和，即可解題.

上述三種方法都是解答數(shù)列求和問(wèn)題常用的方法.無(wú)論運(yùn)用哪種方法求和，都要先仔細(xì)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，將其進(jìn)行合理的拆分、裂項(xiàng)、變形，以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)列求和問(wèn)題或計(jì)算問(wèn)題，從而達(dá)到化難為易的目的.

（作者單位：江蘇省興化中學(xué)）