妙用“三招”解答函數(shù)零點問題

函數(shù)零點問題的常見命題形式有：（1）求函數(shù)零點的大小或取值范圍；（2）判斷函數(shù)零點在某個區(qū)間內的個數(shù).解答函數(shù)零點問題，需建立函數(shù)與不等式、方程之間的聯(lián)系，靈活運用轉化思想.下面結合實例，探究一下解答函數(shù)零點問題的三個“妙招”，供讀者參考.

一、利用零點存在性定理

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，并且f（a）·f（b）lt;0，那么函數(shù)f（x）在該區(qū)間上有零點，該定理被稱為零點存在性定理.運用零點存在性定理求解函數(shù)零點問題，需先判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調性，然后判斷區(qū)間端點處函數(shù)值的乘積是否小于0.

例1.函數(shù)f（x）=log3x+x-3的零點所在的區(qū)間為（）.

A.（0，1）B.（0，2）C.（2，3）D.（3，4）

解：由f（x）=log3x+x-3可知函數(shù)的定義域為（0，+∞），而y=log3x在（0，+∞）上單調遞增，y=x-3在（0，+∞）上單調遞增，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

而f（2）=log32-1lt;0，f（3）=log33+3-3=1gt;0，則f（2）?f（3）lt;0，由零點存在性定理可知函數(shù)f（x）在（2，3）上有零點，故選C.

運用零點存在性定理解題，只需將區(qū)間的端點處的函數(shù)值代入函數(shù)的解析式中，判斷其積是否小于0即可.值得注意的是，根據(jù)零點存在性定理，只能判斷出函數(shù)在某個區(qū)間上是否有零點，無法確定零點的個數(shù).

二、運用數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想是解答函數(shù)零點問題的重要思想.在解答函數(shù)零點問題時，我們需根據(jù)函數(shù)零點的定義，將問題轉化為函數(shù)圖象與x軸的交點，或兩個圖象之間的交點問題來求解.畫出函數(shù)的圖象，研究其與x軸的交點，或兩個圖象之間的交點，即可獲解.

例2.

解

運用數(shù)形結合思想解題的關鍵在于畫出函數(shù)的圖象，明確函數(shù)的變化趨勢、最值點，以便通過直觀的方式找出交點，快速獲得問題的答案.

三、利用函數(shù)的周期性

對于具有周期性的函數(shù)，往往需先令函數(shù)為0，求得函數(shù)在一個周期內的零點或取值范圍；然后根據(jù)函數(shù)的周期性求得函數(shù)在其他周期內的零點或取值范圍.

例3.已知函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且f（1）=f（3）=0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2013，2013]上零點的個數(shù).

解：

運用函數(shù)的周期性解題，需先根據(jù)周期性的定義：f（x）=f（x+T）判斷出函數(shù)的周期T；然后研究函數(shù)在一個周期內的零點，即可根據(jù)函數(shù)的周期性順利解題.

可見，解答函數(shù)零點問題，需靈活運用數(shù)形結合思想、轉化思想、方程思想、分類討論思想等.同學們要熟練掌握這些常用的數(shù)學思想，將其靈活地應用于解題中.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學）