如何解答三角函數求值問題

三角函數求值問題側重于考查三角函數的定義、性質、誘導公式、同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式等.常見的三角函數求值問題主要有三種類型，即給角求值問題、給值求角問題和給值求值問題.下面結合實例，談一談這三類三角函數求值問題的解法.

一、給角求值問題

給角求值問題的常見命題形式是：由一些非特殊角的三角函數式或值求某個三角函數式的值.我們需將已知角與所求值中的角關聯起來，進行合理的拆分、拼湊，靈活運用兩角和的正弦公式、兩角差的正切公式、二倍角公式、輔助角公式等進行三角恒等變換，將目標式化為含有已知角、特殊角的式子，從而順利求得目標式的值.

例1.求tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值.

解：

本題中 20° 和 40° 都是非特殊角，無法直接求得函數的值.但仔細觀察，可發現 20° + 40° = 60° ，而 60° 是特殊角，于是根據兩角和的正切公式得出 tan 60° = tan（20° + 40°） = tan 20° + tan 40° 1 - tan 20°tan 40° ，就能直接利用特殊角 60° 的正切值求得函數式的值.

例2.求co（2）sc4（o）0（s）0°-s1的值.

解：

該函數式中涉及了根式、分式、非特殊角的三角函數式，較為復雜.我們需先運用二倍角公式，根據同角三角函數的基本關系，將根號下的式子化為平方式，以去掉根號；然后根據輔助角公式、二倍角公式和誘導公式將分子和分母變形為只含有cos 10°式子，就能通過約分化簡函數式.

二、給值求角問題

給值求角問題通常要求根據某些角的三角函數值求一個角的大小.解答這類問題，往往要先建立已知角與所求角、特殊角之間的關系，靈活運用二倍角、輔助角公式、兩角和與差的三角函數公式、誘導公式等，求得所求角的正弦值、余弦值、正切值；然后根據已知條件確定所求角的范圍，進而確定所求角的大小.

例3.已知α，β都是銳角，cosα=，cos（α+β）=，求β.

解法1.

我們先根據同角三角函數的基本關系求出 sin α 的值；然后根據兩角和的余弦公式將 cos（α + β）= -11 14 展開；再將已知的值代入，即可得到一個關于 sin β 和 cos β 的方程；最后結合方程 sin2 β + cos 2 β = 1 求出 cos β 的值

解法2

解法2采用了整體思想，先求出 sin α 和 sin（α + β） 的值；然后將 α + β 看作一個整體，用兩角差的余弦公式將 cos[（α + β）- α] 展開，即可求出 cos β 的值.這種解法避免了解方程，更加簡便.

三、給值求值問題

給值求值問題的常見命題形式是：已知某個角或多個角的三角函數值，求某個三角函數式的值.解答這類問題的關鍵是建立已知式和目標式之間的聯系.首先明確角之間的關系，然后靈活運用拆角和拼角的技巧，將角統一；再根據輔助角公式、二倍角公式、兩角的和差公式將函數名稱統一，以求得所求角的三角函數值；最后根據誘導公式、同角三角函數的基本關系求得問題的答案.

例4

解法1

解法2

解法1是將角3α-β拆分為2α+（α-β），解法2是將角3α-β拆分為2（α-β）+（α+β）；再分別根據誘導公式、兩角的和差公式、二倍角公式求得3α-β的正弦值.

可見，解答三角函數求值問題，不僅要熟練運用相應的公式進行恒等變換，還要善于發現角、函數名稱之間的聯系與區別，通過整體代換統一函數式中的角、函數名稱，以快速求得問題的答案.

本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題《指向拔尖創新人才培養的高中數學探究活動模型的研究》（立項批準號Fjxczx23-287）；2021年度福建省基礎教育課程教學研究課題《“強基計劃”背景下拔尖創新人才培養的實踐研究》（項目編號MJYKT2021-176）階段性研究成果.

（作者單位：黃立，福建省泉州第一中學；蔡雙玉，福建省石獅市石光中學）