談談解答隱零點問題的幾個“妙招”

有些函數或導函數雖有零點，但我們根據題目中的條件無法求出該零點的準確值，這類零點被稱為隱零點.隱零點問題的難度一般較大，我們需靈活運用函數的性質、圖象，以及方程、不等式、導函數的性質，才能順利獲得問題的答案.下面主要介紹解答隱零點問題的三個“妙招”.

一、整體代換

在無法求得隱零點的值時，我們往往可以根據題意建立關于隱零點的關系式，這樣就可以用該關系式進行整體代換，從而使問題獲解.

例1.設函數f（x）=e2x-alnx.（1）討論函數f（x）的導函數f′（x）零點的個數；（2）證明：當agt;0時，f（x）≥2a+a ln.

解：

根據題意可得導函數的零點x0滿足e2x0=，于是將其變形為ln x0=ln-2x0，并代入函數式中，通過整體代換求得問題的答案.在進行整體代換時，要注意將代數式進行適當的變形，避免對隱零點取值范圍進行討論.

二、二次求導

如果通過一次求導無法確定導函數零點的取值范圍，就可以嘗試進行二次求導，通過研究導函數的單調性和最值，來確定導函數零點的取值范圍或建立有關隱零點的關系式.

例2.設函數f（x）=ex-1-x-ax2，若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：因為f（x）=ex-1-x-ax2，f′（x）=ex-1-2ax.令g（x）=ex-1-2ax，則g′（x）=ex-2a，設其零點為x0.

因為x≥0，所以ex≥1.當a≤時，g′（x）≥0，則g（x）在[0，+∞）內單調遞增，故g（x）≥g（0）=0，則f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）內單調遞增，可得f（x）≥f（0）=0.當agt;時，若x∈（0，x0），則g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，x0）內單調遞減，所以g（x）lt;g（0）=0，則f′（x）lt;0，所以f（x）在（0，x0）內單調遞減，則f（x）lt;f（0）=0，不符合題意.所以a的取值范圍是（-∞，].

對于該導函數的零點，我們不易將其表示出來，需通過二次求導求得導函數的單調性、最值，從而確定導函數的零點，然后將其作為函數的極值點，就能快速求得函數的最小值.

三、等價轉化

對于較為復雜的隱零點問題，我們可以根據零點的定義建立方程，并據此構造出合適的函數模型，將問題等價轉化為函數的單調性、最值問題，方程的根的問題，不等式問題，通過研究新函數的圖象、性質，利用零點存在性定理，求得問題的答案.

例3.已知函數f（x）=xlnx，（1）證明：f（x）≥-；（2）已知函數g（x）=-x2+x-k，若對區間[，1]上任意x均有f（x）≤g（x）恒成立，求實數k的最大值.

解：

我們先將不等式進行變形，構造函數h（x），將問題等價轉化為k≤h（x）min；然后根據零點存在性定理確定隱零點的個數和范圍，即可快速確定函數h（x）的最小值.

上述三種方法都是解答隱零點問題常用的方法.在解題時，同學們要抓住隱零點的特征，建立有關隱零點的關系式，借助函數的性質、零點存在性定理，順利求得問題的答案.

（作者單位：山西省陽泉市第一中學校）