由一道根式函數最值問題引發的思考

相較于常規的函數最值問題，含有根式的函數最值問題較為復雜.解答此類問題的關鍵在于采用適當的技巧去掉根號，將問題轉化為常規的函數最值問題來求解.下面以一道根式函數最值題為例，探討一下求解此類問題的方法.

例題：求函數y=3+的最大值.

該函數式涉及了兩個根式，無法直接根據函數的性質來求最值，需先求得函數的定義域；然后將函數式進行適當的變形、構造，以從新的角度找到解題的思路.

一、三角換元法

對于含有根式的函數，通常可以通過三角換元來去掉根式，將問題轉化為三角函數最值問題，以利用三角函數的單調性和有界性來求最值.在換元時，通常要將根式或根號下的式子用三角函數替換，再通過三角恒等變換將函數式化為只含一種三角函數名稱的式子，這樣便于快速求得最值.

解：y=3+=3+×，所以1≤x≤4，則0≤≤1.

設=sin2θ，θ∈[0，]，所以x=3 sin2θ+1，

所以y=3+=3 sinθ+cosθ

=sin（θ+φ），其中tanφ==，

則當θ+φ=時，y取最大值.

運用三角換元法解題的關鍵在于合理設元，以根據誘導公式、二倍角公式等去根號，將函數式化簡.值得注意的是，對于根式，需確保其有意義，并據此確定函數的定義域以及換元后角的取值范圍.

二、構造向量法

向量是連接代數與幾何的“橋梁”.對于含有根式的函數，我們可以將其與向量的模、數量積、幾何意義等關聯起來，構造出合適的向量模型，就可以直接利用向量的數量積、向量三角不等式等來求最值.

解：

我們將目標式視為兩個向量 α =（3， 2）、β=（ x - 1， 4 - x） 的數量積，即可利用向量不等式 α?β= |α|?|β|? cos lt; α，βgt; ≤ |α|?|β| 求得目標式的最值.

三、數形結合法

在求根式函數的最值受阻時，我們可以轉換思考問題的角度，將根式視為兩點之間的距離、圓的方程、反比例函數等，將“數”化“形”，這樣便可借助幾何圖形來尋找目標式取得最值的情形，從幾何角度找到問題的答案.

解：

運用數形結合法解題，需仔細研究目標式，挖掘其幾何意義，構造出合適的幾何圖形，以根據圖中點、直線、曲線的位置關系，根據幾何圖形的性質解題.

四、導數法

運用導數法求根式函數的最值，需先根據求導公式（xn）′=nxn-1以及復合函數的求導法則yx′=yu′?ux′對函數式求導；然后根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，進而確定函數的極值，從而求得函數的最值.

解：

一般地，對根式函數求導的過程較為復雜，且運算量較大，容易出錯，同學們需謹慎計算，避免出錯.

一般來說，三角換元法、數形結合法比較常用，構造向量法較為靈活，導數法較為復雜.雖然根式函數最值問題較為復雜，但是我們只要靈活運用三角換元法、數形結合法、構造向量法、導數法，就能順利破解難題.

（作者單位：江蘇省鹽城市第一中學）