巧妙運(yùn)用向量法，快速求得空間角

空間角是指異面直線(xiàn)之間所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角.常見(jiàn)的空間角問(wèn)題有求空間角的大小、取值范圍、余弦值、最值等.對(duì)于方便或容易建立空間直角坐標(biāo)系的空間角問(wèn)題，我們通常運(yùn)用向量法求解.下面結(jié)合實(shí)例談一談如何運(yùn)用向量法求空間角.

一、求異面直線(xiàn)所成的角

有時(shí)我們很難找到兩條異面直線(xiàn)所成角的平面角，此時(shí)可以根據(jù)立體圖形的特征建立空間直角坐標(biāo)系，給各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)，求得兩條異面直線(xiàn)的方向向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解.若兩條異面直線(xiàn)的方向向量分別為 a、b ，則這兩條異面直線(xiàn)所成角的余弦值為 | | | | | | cos a，b = | | | | | | | | | | | | a?b |a| | | | | b .值得注意的是，異面直線(xiàn)所成角的范圍為（0°，90°].

例1

解

我們先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得出 HA1 、HB1 、C1H 兩兩互相垂直；然后以 H 為原點(diǎn)，HA1 為 x 軸，HB1 為 y 軸，C1H 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，即可快速求得 AC、 A1B1 ，進(jìn)而根據(jù)向量的夾角公式求得兩條異面直線(xiàn)所成角的余弦值.在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要尋找或者構(gòu)造垂直關(guān)系，以找到三條互相垂直且交于一點(diǎn)的直線(xiàn)，快速確定坐標(biāo)軸.

二、求直線(xiàn)與平面所成的角

平面外的直線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線(xiàn)與這個(gè)平面所成的角.直線(xiàn)與平面所成角的范圍為 é ? ù ? 0， π 2 .設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量為 a ，平面 α 的一個(gè)法向量為 n ，直線(xiàn) l 與平面 α 所成的角為 θ ，由向量的夾角公式可得 cos lt;a，ngt;= a?n |a||n| ，則 sin θ = | cos lt;a，ngt; |.值得注意的是，當(dāng)直線(xiàn)與平面平行（或直線(xiàn)在平面內(nèi)）時(shí)，a 與 n 垂直，直線(xiàn) l 與平面 α 所成的角為0；當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，a 與 n 平行，直線(xiàn) l 與平面 α 所成的角為 π 2 .

例2

解

我們需先根據(jù)圖形的特點(diǎn)以及 AD ⊥ AB 的關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系 A - xyz；然后求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn) CD 的方向向量、平面 PAD 的法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求得直線(xiàn) CD 與平面 PAD 所成的角.值得注意的是，直線(xiàn)與平面所成的夾角 θ 、直線(xiàn)與平面的法向量所成的夾角 n， CD 二者互為余角.

三、求二面角

運(yùn)用向量法求二面角，需在建立空間直角坐標(biāo)系后，求得兩個(gè)半平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式求得兩個(gè)法向量的夾角，則該夾角或其補(bǔ)角即為二面角.如圖 3，若 AB 、CD 是二面角 α - l - β 的兩個(gè)半面內(nèi)與棱 l 垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小 θ =lt; AB， CD gt; . 如圖 4、5，若 n1 、 n2 分別是二面角 α - l - β 的兩個(gè)半平面的法向量，則 cos lt; n1， n2 gt;= n1 ? n2 | n1 || n2| ，二面角的余弦值為 cos θ = ±cos lt; n1， n2 gt; .值得注意的是二面角的范圍：[0，π] .

例3

解

一般地，我們要根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，即法向量垂直于平面內(nèi)的兩條互不平行的直線(xiàn)，來(lái)建立方程組，據(jù)此求得平面的法向量.有些題目中沒(méi)有明確告知二面角是否為銳角，此時(shí)需結(jié)合圖形來(lái)判定所求的二面角為銳二面角還是鈍二面角.

總之，求解空間角問(wèn)題，我們需注意以下幾點(diǎn)：（1）根據(jù)幾何圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系.建立的坐標(biāo)系不同，所求得的點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量均有所不同；（2）在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，需注意平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)換：a ∥ b ? a∥ b ，a ⊥ b ? a⊥ b ；（3）注意空間角的取值范圍；（4）靈活運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則以及夾角公式進(jìn)行運(yùn)算.

（作者單位：陜西省榆林市府谷縣第一中學(xué)）