淺談一元一次含參方程的教學策略

1 引言

一元一次方程是初中生學習方程的開端，也是初中數學課程的重要組成部分．在該章節的學習拓展中，常常遇到方程的特殊解問題，其中涉及含參方程、整數解問題、方程無窮多解及無解情況的討論．此類題型較有難度，常出現在該類知識點的壓軸題中．其中，一元一次含參方程問題的教學難度較大，學生難以理解，并且對于系數含參的方程需要對解進行討論，容易忽略方程解的多樣性．

2 試題展現

已知a為常數，且無論k取何值，關于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，則a的值為___________．

試題主要表現為含參一元一次方程，其中若干字母為常數．有一個字母出現在未知數的系數中，且無論該字母取何值時，含參方程的解總是x=m．該類試題較多，筆者僅以當前試題為例．

2.1 試題參考答案

把x=2代入方程ak-2x=kx?4，得到

ak-4=2k-4，（a-2）k=0.

因為a為常數，且無論k取何值，關于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，所以a?2=0，解得a=2．

2.2 試題分析

（1）首先，筆者先對試題解法進行分析，本題考查學生對一元一次方程解的理解，其中a為常數，且對于另一字母k無論取何值時，關于x的方程的解總是x=2，說明k的取值與方程的解無關．依據逆向思維，將方程的解x=2帶入原方程中，使得原方程成為一個含有a，k的等式．進而，為避免k值對方程的影響，可想到將k消掉，在合并同類項之后，讓k乘以0，最終解得a=2．

（2）本題給出一個關于x的方程，并指出無論k取何值時，方程的解總是x=2．其中，“總是”二字表示以下2個意義：①該方程有解；②該方程解唯一，且始終都是x=2．但是在本題當中，方程可通過移項、合并同類項得到（k+2）x=ak+4．此時，字母k出現于未知數x的系數當中，當k=?2時，方程轉化為0·x=ak+4．方程為有無窮多解和無解兩種情況．依題意可得，該方程有解，即當a=2時方程有無窮多解，這將與“方程的解總是x=2”提議并不相符，因此用“總是”二字表達該方程解的情況似乎存在“瑕疵”．

（3）人教版七年級數學教參中對方程的概念介紹為“含有未知數的等式”，如若默認該題的未知數x存在（即在合并同類項之后，未知數x的系數不為0），則需要限制k≠?2，這也與題目中的“無論k取何值”相矛盾．

2.3 試題修飾

經過分析發現，此類試題的主要矛盾點在于含參方程中的參數可能使得未知數系數為0，導致方程出現無解或無窮多解的情況，因此可通過對題目進行修飾，仍舊不影響此類題型是一類好的題型．

（1）對k值的任意取值更改為有限條件下的任意取值．題目修改如下：

已知a為常數，且無論k取不為?2的任意數時，關于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，則a的值為 ________．

此方法直接對k值進行限制，當k≠?2時，也就保證了該方程的未知數系數不為0，避免了方程有無窮多解和無解的情況．

（2）將“總是”改為“總有”．題目修改如下：

修改如下：已知a為常數，且無論k取任意值時，關于x的方程ak-2x=kx?4的解總有x=2，則a的值為_______．

“總有”二字包含2層意義：①該方程有解，可能是唯一解，可能是無窮多解；②當方程有唯一解，即x=2為方程的唯一解，當方程有無窮多解時，其中包含x=2．用“總有”代替“總是”二字，可以更好地規避方程具有無窮多解時出現的矛盾．

3 一元一次含參方程的教學策略

筆者將以上試題展現給班級學生時，幾乎沒有學生能發現題目中的矛盾之處，即學生更加關注如何解題，但是很難從方程解的本質去審視題目，這其實也說明學生對于方程解的多種情況并不了解，無法從更高的層面去看待試題和缺乏質疑精神．

一元一次含參方程的類型總體而言可以歸類為兩種：（1）未知數系數不含參數；（2）未知數系數含有參數．

（1）對于未知數系數不含參數的含參方程，可通過解一元一次方程的一般步驟解決，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等步驟解方程．因為在此過程中，未知數系數不含參數，因此不需要進行分類討論．

（2）當方程的未知數系數含有參數時，難度則大大提高，主要在于系數中的參數可能導致未知數系數為0，進而使得方程的解為無窮多個或是無解．即在合并同類項后不可輕易地將未知數系數化為1，要對可能的情況進行分類討論．

3.1 牛刀小試，從一個參數開始

在學習完一元一次方程的概念和解方程的方法之后，學生已經掌握了基本的解方程能力，但仍舊局限于普通的一元一次方程．此時，可以先在簡單的一元一次方程中加入一個參數，例如關于x的方程x+k=0，2x-6k=0．值得注意的是，此時添加的參數不在未知數的系數上．讓學生先感受含參方程與普通的一元一次方程其實并沒有什么不同，只不過是用一個字母來代替一個數字而已，建立充分的自信心．

3.2 由淺入深，逐步添加多個參數

邁出第一步之后，學生能夠熟練解決簡單的含參方程，再逐步將參數方程加入括號、分母等，例如關于x的一元一次方程2（2k-5+3x）=5x，2x/3=3k/4+2（k-x），經過一個參數的熟悉之后，學生已經能夠熟練地解出含參方程．此時，可將方程的參數增加至2個，例如2m-3n-3x=5x，-2x/3=n?（3x-m/4），鞏固學生解方程的能力．

在經過以上的練習之后，學生已經能夠熟練掌握一元一次含參方程（系數不含參）的解法，進一步加強解方程中的化歸思想．

3.3 漸入佳境，系數含參增加難度

在學習完普通的一元一次方程和系數不含參方程后，學生容易進入一個誤區：所有的方程都是有解的，并且這個解唯一．因此，在這里可以給學生準備兩道無解和無窮多解的方程題目，讓學生嘗試解決．例如：

（1）2x/3-3=4+3x/2-5x/6．

注 該方程整理后化為0?x=42，即方程無解．

（2）2x/3-3=4+3x-14/2-5x/6．

注 該方程整理后化為0?x=0，即方程有無窮多解．

當學生在解方程的過程中，可能會認為老師給出的題目出錯，與原有的“方程一定有解且唯一”的觀念產生沖突，此時便可以“生長”出新的知識，教師可向學生介紹方程有無窮多解和無解的兩種特殊情況．當學生理解方程解的情況受未知數系數和常數項影響之后，便可讓學生嘗試解決系數含參的方程，例如：關于x的方程kx+3=5，kx+3=5?x，kx+m=5?x．此時應注意引導學生對未知數系數和常數項的分類討論，做到不重復不遺漏，完整地表達方程解的多種情況．

3.4 回歸本質，領悟精髓

在學習完解含參方程之后，學生對一元一次方程概念的理解更加深刻，熟練了化歸思想的應用．在此次學習之后，教師應引導學生在面對一元一次方程相關問題時注意：（1）該方程是否含有參數？（2）如果含有參數，未知數系數是否含有參數？（3）方程解的情況有哪些？進而能夠從更高的角度去思考問題，幫助學生領悟解決一元一次方程問題的精髓所在．

4 結語

一元一次方程的未知數含參問題具有一定的難度，系數含參使得方程可能存在特殊解，這是教學的重難點，要求學生對方程概念和方程解的情況有更高的理解．學生在小學階段已經學習過一元一次方程的相關知識，在七年級對一元一次方程的再學習可以進行適當的拓展提高，這是對已學知識的進一步加深，讓舊知識得到新的“生長”，幫助學生從更高的角度去審視一元一次方程問題，跳出問題看問題．同時，一元一次方程也是學生在初中數學中學習方程的開端，充分理解一元一次方程的相關概念能夠為后續的二元一次方程、分式方程、一元二次方程打好基礎．

參考文獻

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